Si chiama disuguaglianza ogni scrittura della forma A>B o A<B la quale esprime che un numero è maggiore o minore di un altro, oppure che, di due date espressioni, una deve assumere valori maggiori o minori dell’altra per determinati valori delle lettere che vi compaiono.

Per le disuguaglianze valgono i seguenti principi:

Proprietà della monotonia dell’addizione

Aggiungendo uno stesso numero, positivo o negativo, da ambedue i membri di una disuguaglianza numerica si ottiene una diseguaglianza dello stesso senso.

Per esempio

a>b       quindi       a+c>b+c    o anche    a – c > b – c

Da qui risulta in particolare che si può trasportare un termine da un membro all’altro cambiando di segno.

Infatti se abbiamo a + b > c   aggiungendo ad entrambe i membri il termine -b si ha

a + b – b  > c – b  cioè     a  > c – b

Il termine b infatti, è passato da una parte all’altra cambiando di segno.

Consideriamo un esempio numerico:

-9 < 15  aggiungendo ad entrambe i membri + 5 otteniamo:

-9 + 5 < 15 + 5 ⇒ -4 < 20    la disuguaglianza è sempre valida

Addizione di disuguaglianze dello stesso senso

Due disuguaglianze dello stesso senso si possono sommare membro a membro, ottenendo così una disuguaglianza dello stesso senso.

Consideriamo due disuguaglianze  a>b  e  c>d

Applicando questa regola abbiamo che a + c > c + d

Quello che vale per l’addizione non vale per la sottrazione. Facciamo un esempio numerico, consideriamo per esempio               3 < 5 e  2 < 8 , sommando membro a membro otteniamo 3+2 < 5 + 8 ⇒ 5 <13 che è una disuguaglianza sempre vera. Invece, se sottraiamo membro a membro otteniamo 3 – 2 < 5 – 8 quindi 1 < -3, ovviamente ciò non può essere vero.

 

Moltiplicazione (divisione) per un numero positivo

Moltiplicando (o dividendo) entrambe i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero positivo, si ottiene una disuguaglianza dello stesso senso.

Consideriamo un numero m >0

a > b  moltiplicando entrambe i membri per m otteniamo ma > mb  ⇒a\m > b\m

Consideriamo un esempio numerico

5 < 7 e moltiplichiamo per + 3, otteniamo 15 < 21 quindi la proprietà è verificata.

Moltiplicazione (divisione) per un numero negativo

Moltiplicando o dividendo entrambe i membri di una disuguaglianza per uno stesso numero negativo, si ottiene una disuguaglianza di senso contrario.

Consideriamo un numero m<0

a > b  moltiplicando entrambe i membri per m otteniamo ma > mb  ⇒ a\m < b\m

Per esempio 7 > 5 moltiplichiamo entrambe i membri per – 1  e otteniamo se non cambiamo verso -7>-5, ovviamente ciò non è vero quindi si deve cambiare il verso del segno e avremo – 7 < -5.

Proprietà dei reciproci di numeri concordi

Dati due numeri concordi e diversi da zero, la diseguaglianza fra i loro reciproci ha senso contrario rispetto a quella fra i numeri stessi.

Consideriamo 2 < 3 e vediamo che la disuguaglianza dei loro reciproci prevede il cambio di verso per essere considerata vera, 1\2 > 1\3.

Prodotto di disuguaglianze dello stesso senso fra numeri positivi

Se moltiplichiamo membro a membro due disuguaglianze dello stesso senso fra numeri positivi, otteniamo una disuguaglianza dello stesso senso.

2 < 5      e   6 < 9

moltiplichiamo membro a membro e otteniamo 2 · 6 < 5 · 9 ⇒ 12 < 54 la disuguaglianza è vera.

 

Programma matematica primo superiore