Un’equazione è fratta se contiene l’incognita in almeno un denominatore. Un’equazione fratta è numerica se tutti i coefficienti sono numeri, invece è letterale se almeno un coefficiente contiene una o più lettere.
= 6 e + 2 = sono equazioni numeriche fratte
e +7a= 2a – 5 sono equazioni letterali fratte
La risoluzione di questo tipo di equazioni avviene come le altre equazioni ma ponendo la condizione di esistenza.
Per esempio risolviamo un’equazione numerica fratta:
C.E. x-1≠0, cioè x≠1
Per risolverla moltiplichiamo entrambe i membri per x – 1 e otteniamo x = 1
A questo punto bisogna controllare se la soluzione è compatibile con la condizione d’esistenza. Visto che la soluzione x = 1 è incompatibile con x≠1 , allora l’equazione è impossibile.
Risolviamo un’equazione letterale fratta:
+ = – +
Poniamo la C.E.
x+2 ≠0 ⇒ x ≠-2
x-3 ≠0 ⇒ x ≠ 3
Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:
Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.
3(a+x)(x-3) +3(x-2a)(x+2) = 2a(x-3)+6x(x+2) + 45
3ax + 3x² -9a -9x +3x² -6ax +6x – 12a =2ax -6a +6x² +12x + 45
-5ax – 15x = 45 + 15a
-5x(a + 3) = 15(a + 3) per a+3 ≠0 ⇒ a ≠-3
Vediamo se la soluzione è valida, quindi se la soluzione è diversa da -2 e 3 ottenuti nella C.E. A questo punto vediamo che la soluzione è uguale ad a≠ – 3, ciò vuol dire che l’equazione -5x(a + 3) = 15(a + 3) si riduce a 0·x = 0 e quindi l’equazione è indeterminata.
Consideriamo un altro esempio:
C.E. x – 2 ≠0 ⇒ x ≠ 2
Dopo aver portare tutte le frazioni a denominatore comune otteniamo:
Moltiplichiamo entrambe i membri dell’equazione per il denominatore comune, in modo da ottenere un’equazione intera.
(x – 2)(x-2)
x- 2 + a + x = 9a + 4
2x = 9a + 4 + 2 – a ⇒ 2x = 8a + 6
x = 4a + 3
Questa soluzione è accettabile solo se risulta verificata la condizione di esistenza della frazione.
Quindi x ≠ 2 diventa:
4a + 3 ≠ 2 4a ≠-3 + 2
4a ≠ -1 a ≠
A questo punto se a = , si ha x = 4 () + 3 = 2. In questo caso la condizione per l’esistenza delle frazioni non è verificata e l’equazione è impossibile.
Se a ≠ , l’equazione è determinata e la soluzione è x = 4a + 3
Se a = , l’equazione è impossibile
