L’incertezza e le cifre significative

 

Quando facciamo una misurazione, inevitabilmente compiamo degli errori, che possono dipendere dallo strumento che stiamo usando oppure da chi compie la misurazione.

Per questo gli errori si dividono in errori sistematici ed errori accidentali.

Gli errori sistematici sono dovuti all’imperfezione dello strumento o a imprecisioni nella procedura di misura, mentre gli errori accidentali sono dovuti ad eventi casuali che accadono durante il processo di misurazione.

Quando effettuiamo una misurazione possiamo parlare di precisione di uno strumento, che ci indica se quello strumento è buono di qualità e quindi stabilisce quanto le misure di determinate grandezze sono vicine tra loro.

Un’altra cosa che si prende in considerazione è l’accuratezza che indica quanto quella misurazione si avvicina al valore corretto.

Se per esempio vogliamo misurare il tempo che impieghiamo nel fare i compiti, ed usiamo un orologio analogico ed uno digitale. Quello analogico indica il tempo fino al minuto, invece quello digitale fino al secondo. Ovviamente quello digitale mostra una precisione maggiore.

Per esempio con l’orologio analogico abbiamo impiegato 45 minuti, invece con quello digitale 45 minuti e 15 secondi. Questo vuol cifre che la seconda misurazione ha un numero di cifre significative maggiori.

Per capire meglio, consideriamo un altro esempio, immaginiamo di voler misurare un quaderno. Usiamo prima un metro dove sono segnati solo i centimetri, questo misurerà 24 cm; in seguito usiamo un metro che riporta anche i millimetri, il libro in questo modo misurerà 24,3 cm. Se usassimo uno strumento ancora più preciso potremmo misurare anche i decimi di millimetri. Quindi ogni misurazione può essere soggetta ad errori accidentali o strumentali, è conveniente effettuare più misurazioni dello stesso oggetto e con lo stesso strumento di misura, ciò ci permette di avvicinarci con maggiore probabilità ad un valore attendibile e quindi ci permette di ridurre l’effetto degli errori accidentali.

Quindi alla fine di tutto possiamo dire che l’incertezza di una misurazione dipende sia dallo strumento che si utilizza che dall’abilità dell’operatore.

Per ridurre al massimo gli errori quindi è conveniente fare la media aritmetica di tutte le misurazioni fatte.

La media aritmetica corrisponde al quoziente tra la somma dei risultai riportati e il numero di volte che è stata effettuata la misurazione.

Oltre all’errore assoluto esiste anche quello relativo e_{{r}} che è dato dal rapporto tra l’errore assoluto e la media aritmetica.

L’errore assoluto indica l’incertezza invece l’errore relativo indica la precisione.

Un altro modo per indicare l’incertezza della misura è l’utilizzo delle cifre significative. Esse sono tutte le cifre certe di una misurazione più la prima cifra incerta.

Per capire come si scelgono le cifre significative consideriamo una tabella.

Numero Cifre significative
0,00342 3
0,0342 3
0,342 3
34,2 3
0,3420 4
34,20 4
3420,0 5

 

Le regole per effettuare la scelta delle cifre significative è la seguente:

  • tutti i numeri diversi da zero si considerano cifre significative;
  • gli zeri che precedono, a sinistra, la prima cifra diversa da zero non sono significativi;
  • gli zeri terminali, a destra di una cifra decimale diversa da zero, sono cifre significative;
  • il numero di cifre significative non cambia se si cambia l’unità di misura

Se per esempio si eseguono operazioni di misurazione e si ottengono numeri con cifre non tutte significative, il risultato deve essere arrotondato. Arrotondare un numero significa sostituirlo con un altro che ha meno cifre significative.

L’arrotondamento prevede delle regole:

  • se la prima cifra da eliminare è minore di 5 , la cifra precedente rimane uguale; per esempio 6,9936, arrotondarla a tre cifre significative, diventerà 6,99;
  • se la prima cifra da eliminare è maggiore di 5, bisogna aumentare di uno la cifra precedente, per esempio 67,474, arrotondando a tre cifre significative avremo 67,5;
  • se la prima cifra da eliminare è 5 si può usare indifferentemente la prima e la seconda regola

Per quanto riguarda i calcoli, le cifre significative sono:

  • per l’addizione e la sottrazione, il risultato deve contenere lo stesso numero di cifre decimali del numero che ne contiene il minor numero;

Il risultato dovrà avere tre cifre significative, quindi verrà arrotondato a 10,12 perchè il 4 è più piccolo di 5 e quindi viene arrotondato per difetto.

  • nel caso della moltiplicazione e della divisione, il risultato va arrotondato in modo da avere lo stesso numero di cifre significative del dato che ne possiede di meno.

2,3 + 3,42 = 7,866

Si arrotonda a due cifre significative perchè il numero con minor numero di cifre è il primo fattore. Il risultato è 7,9 perchè abbiamo arrotondato per eccesso.

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