Polinomi

 

POLINOMI

Si chiama polinomio la somma algebrica di più monomi. I monomi che lo compongono si chiamano termini del polinomio. Il polinomio formato da due termini si chiama binomio, quello formato da tre si chiama trinomio.

Sono polinomi le seguenti espressioni:

3x +5xy-7y+9;     2a-3b+ab;     a² –\frac{1}{2}ab + b².

Quando in un polinomio non compaiono monomi simili si dice che il polinomio è in forma ridotta.

3x +5xy-7x+9=-4x+5xy+9→forma ridotta

Il grado di un polinomio è dato dal massimo tra i gradi dei monomi che contiene.

Esempi:

1)21-6a²+4a-5bc+6b→ è di 2° grado perchè i due monomi di massimo grado sono 6a² e 5bc che hanno grado 2

2)7a³-3a²bc²+\frac{1}{4}abc-6a²→è di 5° grado perchè il monomio di massimo grado è 3a²bc² di grado 5

Inoltre il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei suoi termini rispetto a tale lettera.

Per esempio: ax² + 3x³ + 2a; il grado rispetto ad a sarà 1, invece, rispetto a x sarà 3.

Un polinomio si dice omogeneo se tutti i monomi che lo compongono sono dello stesso grado.

Esempio

5a³+6a²c-7ab²+\frac{8}{9} c³;               –\frac{1}{4}x ^{2}y+\frac{2}{5}xy ^{2}-\frac{2}{3}x ^{3}+\frac{1}{6}xyz.

 

Le lettere che compaiono in un polinomio sono dette variabili o indeterminate perchè pur rappresentando numeri, il loro valore numerico non è assegnato e quindi è variabile

Se si scrive P(x) si parla di un polinomio in una variabile cioè x

P(x)= 3 x^{4}+2x ^{3}-4x ^{2}+5x -6   per x=1

P(1)= 3 (1)^{4}+2 (1)^{3}-4 (1)^{2}+5 (1)^{1}-6=

=3 + 2 – 4 + 5 – 6 = 0

Un polinomio è ordinato rispetto a una lettera se i suoi termini sono disposti in modo tale che gli esponenti di quella lettera sono in ordine crescente o decrescente.

Il polinomio 3x³ + 7ax² + 8  è ordinato secondo le potenze decrescenti della lettera x.

Il polinomio -5a³b + a²b² – 3ab³ è ordinato secondo le potenze decrescenti di a e anche secondo le potenze crescenti di b.

Un polinomio è completo rispetto a una lettera se per tale lettera presenta tutte le potenze, dal grado massimo fino a zero. Il termine di grado 0 di un polinomio, ossia quello in cui non compare alcuna lettera, viene detto termine noto.

2a³ – a² + 4a + 6 è un polinomio completo ed ordinato.

Vedi gli esercizi

 

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