Quando una terna di numeri è tale che il quadrato del numero maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due è detta terna pitagorica.

Sono terne pitagoriche:

3; 4; 5       infatti 5²= 3²+4²        cioè  25= 9 + 16

5; 12; 13   infatti 13² = 5² + 12²  cioè 169 = 25 + 144

7; 24; 25  infatti 25² = 7² + 24² cioè  625= 49 + 576

8; 15; 17   infatti  17² = 8² + 15²  cioè  289 = 64 + 225  e così via.

La terna pitagorica 3,4,5 era considerata dai matematici greci la terna pitagorica per eccellenza.

Data una terna di numeri qualsiasi che indichiamo con x, y, z (scritti in ordine crescente) che costituiscono le misure dei dati di un triangolo ABC, possiamo stabilire se ABC è rettangolo verificando che x, y, z formano una terna pitagorica cioè:

z²= x²+y²

Una terna pitagorica è detta primitiva se i tre numeri che la costituiscono sono primi fra loro.

Possiamo ottenere terne pitagoriche moltiplicando o dividendo per uno stesso numero intero o decimale i numeri di una terna primitiva.

 

Dalla terna 3; 4; 5 otteniamo:

  • moltiplicando per 4 avremo  12; 16; 20 che è ancora una terna pitagorica, infatti,  20²=12²+16²;
  • dividendo per 5 avremo  0,6; 0,8; 1  che è ancora una terna pitagorica, infatti, 1²= 0,6²+ 0,8².

Possiamo ricavare due formule per calcolare una terna primitiva partendo da un numero maggiore di 1:

  • se questo numero è dispari, lo chiamiamo d  avremo:

d;   \frac{ d^{2}-1}{2};\frac{ d^{2}+1}{2};

infatti se d=7 troviamo la terna che sarà:

7;  \frac{ 7^{2}-1}{2};\frac{ 7^{2}+1}{2};    ⇒ 7;  \frac{ 49-1}{2}; \frac{ 49+1}{2};  ⇒ 7; \frac{ 48}{2}; \frac{ 50}{2};  ⇒ 7; 24; 25

  • se questo numero è pari, lo chiamiamo p avremo:

2p;  p²-1;   p²+1;

infatti se d= 8 troviamo la terna :

16;  64-1;  64+1  cioè  16; 63; 65.

Vedi gli esercizi

 

Programma geometria seconda media