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Tag Archives: ESERCIZI MATEMATICA SECONDA MEDIA

Problemi del tre semplice inverso

La proporzionalità diretta e inversa si applicano per risolvere molti problemi pratici. Se nel problema figurano tre valori di grandezze direttamente proporzionali e si vuole trovare il quarto si ha un problema del tre semplice diretto, se le grandezze sono inversamente proporzionali si ha un problema del tre inverso.

PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE INVERSO

PROBLEMA 1

Per dipingere le pareti di 12 appartamenti, 3 imbianchini impiegano 15 giorni. Quanti giorni occorreranno a 5 imbianchini per portare a termine lo stesso lavoro ?

Le grandezze coinvolte sono due: il numero d’imbianchini e il numero di giorni di lavoro. Esse sono inversamente proporzionali perchè raddoppiando o triplicando il numero d’imbianchini i giorni di lavoro diventeranno \frac{1}{2} , \frac{1}{3} di quelli iniziali, il loro prodotto è costante 3 · 15= 5 · x

Nello schema  di sotto sono stati riportati i dati del problema con l’incognita x, le frecce di verso contrario indicano che le due grandezze sono inversamente proporzionali. Quindi seguendo il verso delle frecce si ottiene la proporzione risolutiva del problema e cioè 3: 5= x : 15 da cui x = \fra {3 \cdot 15}{5} = 9 n° di giorni che occorrono ai 5 imbianchini.

tabella tre semplice 2

tabella del tre semplice

PROBLEMA 2

Una scala che sale al secondo piano di una casa è formata da 32 scalini alti 18 centimetri. Quanti gradini dovrebbe avere la stessa scala se l’altezza del gradino fosse di 16 centimetri?

Le grandezze altezza dello scalino e numero di scalini sono inversamente proporzionali, quindi inseriamo queste grandezze nella tabelle con le frecce orientate in verso opposto.

tabella tre semplice 3

tabella del tre semplice

la proporzione sara 18 :16= x : 32 ⇒ x= \fra {18 \cdot 32}{16}= 36. Quindi occorrono 36 gradini alti 16 cm.

PROBLEMA N° 3

A un gruppo di 8 soldati impegnati in una perlustrazione in montagna vengono0 consegnati viveri per 9 giorni. Prima della partenza 2 soldati sono destinati ad altro incarico. In quanti giorni i 6 soldati rimasti consumeranno la stessa quantita di viveri?

PROBLEMA DEL TRE INVERSO

problema del tre inverso

PROBLEMA N° 4

Un libro ha 180 pagine e 42 righe per pagina. Quante pagine avrebbe lo stesso libro se ogni pagina avesse 36 righe?

Le grandezze che compaioni nel problema sono inversamente proporzionali, perchè se raddioppasse il numero di righe per pagina basterebbe la metà delle pagine per la scrittura del libro. Se le righe per pagina fossero la metà di quelle date raddoppierebbe il numero delle pagine necessarie. Indichiamo con x il numero di pagine necessarie se ogni pagina avesse 36 righe.

PROBLEMA DEL TRE INVERSO 3

Vedi problemi del tre semplice diretto

Programma matematica seconda media

Problemi del tre semplice diretto

La proporzionalità diretta e inversa si applicano per risolvere molti problemi pratici. Se nel problema figurano tre valori di grandezze direttamente proporzionali e si vuole trovare il quarto si ha un problema del tre semplice diretto, se le grandezze sono inversamente proporzionali si ha un problema del tre inverso.

PROBLEMI DEL TRE SEMPLICE DIRETTO

PROBLEMA 1

Per preparare una torta al cioccolato per 8 persone si usano 200 g di cioccolato fondente. Quanto cioccolato fondente occorre per preparare la stessa torta per 14 persone?

Le grandezze coinvolte nel problema sono due : la quantità di cioccolato (in g) e il numero di persone. Esse sono direttamente proporzionali poichè raddoppiando o triplicando il numero di persone raddoppia o triplica la quantità di cioccolato, il loro rapporto è costante : \frac{200}{8}= \frac{x}{14}.

Si predispone uno schema in cui si trascrivono i 3 dati noti e l’incognita x del problema. Si inseriscono due frecce: una che va dalla x verso il termine noto e l’altro con lo stesso verso poichè le due grandezze sono direttamente proporzionali.

tabella tre semplice 1

tabella del tre semplice inverso

 

Seguendo il verso delle frecce riportate in tabella, si può scrivere la proporzione risolutiva del problema:

14 :8= x:20  da cui   x =\frac{200\cdot 14}{8} = 350 g quantità di cioccolato da usare.

PROBLEMA 2

Un campanile alto 24 metri proietta un’ombra di 32 metri. Qual è la lunghezza di un’ombra proiettata da un palo alto 9 metri?

L’altezza del campanile e la lunghezza dell’ombra sono grandezze direttamente proporzionali, poichè se raddoppia o triplica l’altezza del campanile, raddoppia o triplica anche la lunghezza dell’ombra proiettata. Una volta inserite le grandezze note e l’incognita in una tabella con frecce nello stesso verso essendo grandezze direttamente proporzionali, possiamo ricavare la proporzione finale e quindi la x.

tabella tre semplice

tabella del tre semplice inverso

PROBLEM N° 3

A uno spettacolo di beneficenza erano presenti 800 persone per un incasso di 9600 euro.

Alla replica dello spettacolo si è avuto un incasso di 8640 euro. Quante persone erano presenti al secondo spettacolo se il prezzo d’imgresso è rimasto invariato?

problemi del tre semplicw

problema del tre semplice

PROBLEMA N° 4

Una pompa può aspirare 12 l di acqua in 6 secondi. Quanti litri di acqua può aspirare in 15 secondi?

Si tratta di grandezze direttamente proporzionali perchè se raddoppia o triplica il tempo a disposizione per aspirare l’acqua, raddoppia o triplica anche la quantità d’acqua aspirata.

Chiamiamo x la quantità d’acqua aspirata in 15 secondi.

problemi del tre semplice 1

problema del tre semplice

PROBLEMA N° 5

In un negozio del Canton Ticino è esposta una camicia che costa 24 franchi svizzeri. Sapendo che oggi il franco svizzero vale 0,62 euro, calcola quanto costa la camicia in euro.

La quantità di franchi svizzeri e di euro sono grandezze direttamente proporzionali.

Conosciamo il cambio unitario, ossia il cambio in euro di un franco svizzero, e vogliamo calcolare il cambio totale x.

problemi del tre semplice 5

problema del tre semplice

PROBLEMA N° 6

Un lettore mp3 venduto su un sito internet statunitense costa 200 dollari. Sapendo che un dollaro statunitense vale circa o,69 euro, quanto costa in euro il lettore?

problemi del tre semplice 6

Vedi problemi del tre semplice inverso

 

 

 

Proplemi di ripartizione semplice diretta

Questi problemi consistono nel dividere un numero in parti proporzionali a più numeri dati : la somma delle parti ottenute deve essere uguale al numero dato. La proporzionalità può essere diretta o inversa per cui si distinguono problemi di RIPARTIZIONE SEMPLICE DIRETTA E DI RIPARTIZIONE SEMPLICE INVERSA.

Programma matematica seconda media

RIPARTIZIONE SEMPLICE DIRETTA

PROBLEMA 1

In una villetta abitata da 3 famiglie la spesa per il mantenimento del giardino viene suddivisa in parti direttamente proporzionali al numero di componenti di ogni famiglia: 2, 3, 6. Se la spesa complessiva è stata di 363 euro, quale sarà la quota che dovrà pagare ogni famiglia?

Indicando con x,y,z, la quota di ciascuna famiglia che è direttamente proporzionale al numero di componenti di ogni famiglia si ha:

x: 2 = y : 3 = z : 6

11 = il numero totale dei componenti

Applicando la proprietà del comporre e ricordando che la somma di tutte le quote è 363 euro otteniamo:

363 : 11=x : 2                       363 : 11=y : 3                           363 : 11=z : 6

x =\frac{363\cdot 2}{11}= 66 euro           y =\frac{363\cdot 3}{11} = 99 euro            z= \frac{363\cdot 6}{11} = 198 euro

La somma degli importi calcolati deve essere uguale alla spesa complessiva infatti ( 66 + 99 + 198) = 363 euro.

PROBLEMA 2

Tre soci formano una società versando uno 3600 euro, il secondo 4500 euro e il terzo 6000 euro. Alla fine dell’anno l’utile della società ammonta a 2350 euro. A quanto ammonta il guadagno di ciascun socio?

L’utile dovrà essere ripartito per tutti e tre i soci in proporzione alle quote che hanno versato. Indicando con x,y, z le somme che spettano ai tre soci si ha :

x : 3600=y : 4500=z : 6000

Poichè sappiamo che l’utile totale x +y +z è 2350 euro e il capitale sociale è 3600+ 4500 + 6000 = 14100, applicando la proprietà dell’uguaglianza di più rapporti abbiamo:

2350 : 14100= x : 3600                          2350 : 14100 = y : 4500                2350 : 14100 = z : 6000

x =\frac{2350 \cdot 3600}{14100}= 600                                  y = \frac{2350 \cdot 4500}{14100}= 750                           z= \frac{2350 \cdot 6000}{14100}= 1000

PROBLEMA 3

Dividi il numero 780 in parti direttamente proporzionali ai numeri 12 e 14.

Indicando con x e y le parti che vogliamo trovare, scriviamo i dati del problema.

x : 12 = y : 14

x + y = 780

Applichiamo la proprietà dell’uguaglianza di più rapporti all’antecedente in modo da ottenere la somma x + y, che conosciamo.

(x + y) : (12 + 14 ) = x : 12 = y : 14

Sostituendo 780 alla somma x + y otteniamo due proporzioni nelle incognite x e y.

780: 26 = x : 12               780 : 26 = y : 14

Risolviamo le proporzioni per trovare x e y.

x = \frac{780 \cdot12}{26} = 360

y = \frac{780 \cdot14}{26} = 420

PROBLEMA N° 4

Suddividi il numero 330 in parti direttamente proporzionali ai numeri 2, 4 e 5.

Indicando le tre parti con x,y e z si ha:

x : 2 = y : 4= z : 5                e     x+y+z = 330

Risolvendo:

(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = x : 2

(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = y : 4

(x + y + z) : (2 + 4 + 5) = z : 5

sostituenzo x + y+ z con 330, si ottiene:

330 : 11 = x : 2                        330 : 11 = y : 4                    330 : 11 = z : 5

x= \frac{330 \cdot2}{11} = 60                          y = \frac{330 \cdot4}{11} = 120                 z = \frac{330 \cdot5}{11} = 150

PROBLEMA 5

Tre operai hanno percepito la somma di 3 000 euro per un lavoro fatto insieme. Se il primo ha lavorato 6 giorni, il secondo 10 giorni e il terzo 9 giorni, quanto spetterà a ciascuno?

Dati                                                                               

x , y, z sono direttamente proporzionaliv ai numeri 6 , 10, 9

 Incognite

x = somma spettante al primo operaio

y = somma spettante al secondo operaio

z = somma spettante al terzo operaio

Svolgimento

x : 6 = y : 10 = z : 9             e            x + y + z = 3 000

( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9)  = x : 6

( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9)  = y : 10

( x + y + z ) : ( 6 + 10 + 9)  = z : 9

Quindi sostituendo i dati che conoisciamo avremo:

3 000 : 25 = x : 6              →               x = \frac{3000 \cdot6}{25} = 720 euro

3 000 : 25 = y : 10            →               y = \frac{3000 \cdot10}{25} = 1 200 euro

3 000 : 25 = z : 9              →               z = \frac{3000 \cdot9}{25} = 1 080 euro

Verifica 

x + y + z = 720 + 1 200 + 1 080 = 3 000

Problemi sulla percentuale

In questi problemi le incognite possono essere P, la percentuale totale , r, il tasso percentuale, T, il numero su cui vogliamo calcolare la percentuale.

Problema 1

Durante un sondaggio relativo allo sport preferito proposto in una scuola, su 800 alunni, 240 hanno detto di preferire il nuoto. Qual è la % che preferisce il nuoto?

 

Problema 2

In un gregge di 150 pecore il 20% è nero. Quante sono le pecore nere?

Problema 3

In un sacchetto di caramelle alla frutta il 25 % è al gusto pesca. Se le caramelle alla pesca sono 16, quante caramelle contiene il sacchetto?

Problema 4

Un negozio pratica lo sconto del 30% su tutti gli articoli sportivi in vendita promozionale. Se acquisto un paio di sci che costava 286 euro, quale sconto totale ottengo?

Indichiamo con x lo sconto totale sul prezzo del paio di sci

Problema 5

In una scuola di 1240 alunni ne sono stati promossi 1178. Qual è il tasso percentuale di promossi rispetto al numero di alunni iscritti?

Problema 6

In un’indagine svolta fra gli alunni che frequentano una scuola media l’85% cioè 391 alunni ha indicato come sport preferito il calcio. Quanti sono gli alunni di quella scuola?

Problema 7

In un esame universitario il 12 % degli studenti viene bocciato. Qual è la percentuale dei promossi?

Problema 8

Un commerciante compera una certa quantità di merce per 150 000 euro. Sapendo che il commerciante vuole guadagnare il 20 % di quanto pagato, calcola a quale prezzo deve rivendere la merce.

Problema 9

In un condominio di 25 alloggi, 7 appartamenti sono abitati da famiglie formate da più di tre persone, 10 appartamenti da famiglie di tre persone e 8 appartamenti da famiglie di solo due persone. Esprimi in percentuale le singole situazioni.

Problema 10

Giorgio compra un televisore che costa 286 euro ottenendo uno sconto del 5 %. Quanto viene pagato il televisore?

Problema 11

Un cappotto costa 96 euro, ma il negoziante lo fa pagare 90 euro. Qual è il tasso di sconto che ha praticato?

Problema 12

Il comandante di una caserma che ha in forza 500 uomini decide di mandare in licenza 150 soldati e di mandarne in trasferta altri 50. Quale percentuale di uomini rimane in caserma?

Problema 13

L’anno scorso il prezzo di una borsa era di 154 veuro. Quest’anno il suo costo è aumentato di 4,62 euro. Qual è stato l’aumento percentuale ?

Problema 14

Dopo le feste il costo di un profumo è stato ribassato da 54,40 euro a 46,24 euro. Quak è stato il ribasso percentuale?

Dati

54,40 euro = costo iniziale

46,24 euro = costo finale

Incognita

ribasso percentuale = r = ?

Svolgimento

Poichè è richiesto il ribasso percentuale, la parte percentuale corrisponde alla diminuizione del costo, quindi:

Problema 15

In una corsa ciclistica alla partenza si sono presentati 280 corridori. Se il 25% di questi si è ritirato, quanti corridori hanno concluso la corsa?

Problema 16

Il signor Rossi acquista un televisore. Poichè paga subito gli viene concesso uno sconto del 18 % pari a 90 euro. Quanto costava il televisore?

Problema 17

A seguito del rinnovo contrattuale, un impiegato ha avuto un aumento del 5%. Se il nuovo stipendio mensile è di 1 642,20 euro, a quanto ammontava lo stipendio prima dell’aumento?

Problema n° 18

Su un cartone di latte da 500 ml c’è scritto: ” Latte parzialmente scremato. Grasso max 1,8%. Quanti ml di grasso contiene il cartone di latte? Se un bicchiere medio contiene 200 ml di latte, quanti ml di grasso contiene?

Problema n° 19

In pizzeria, con gli amici, ricevi il seguente conto: “4 pizze: 20 euro. Bibite: 5 euro. 2 dessert: 4 euro. Servizio: 15% (sul totale)”. Quanto dovete pagare in tutto?

Problema n° 20

Tre persone decidono di fondare una società in cui è richiesto un capitale complessivo di 200 000 euro. La prima persona versa il 25%, la seconda il 35% e la terza la parte rimanente. Calcola quanto versa ciascun socio.

Problema n° 21

Due persone ereditano 2500 euro, Una delle due ha diritto al 25% dell’eredità. A quale percentuale ha diritto la seconda persona? Qual è la somma ricevuta da ciascuna?

Problema n° 22

Un agronomo ha compiuto l’analisi di un terreno. Dal referto di laboratorio risulta che il campione era formato da: 50% sabbia; 20%  limo; 19% argilla; 7% scheletro; il restante è formato da sostanze organiche. Sapendo che il campione esaminato era di 4,5 kg, determina il peso delle varie parti.

 

Svolgimento

Problema 1

Durante un sondaggio relativo allo sport preferito proposto in una scuola, su 800 alunni, 240 hanno detto di preferire il nuoto. Qual è la % che preferisce il nuoto?

DATI                                                             INCOGNITE

T= 800                                                              x=r= ?

p=240

SVOLGIMENTO

T : 100= p : r   ⇒800 : 100=240 : x                 800 · x= 100 · 240 ⇒      \frac{800\cdot x}{800} =\frac{100\cdot240 }{800}⇒     x = 30

Il 30 % degli intervistati preferisce il nuoto.

Problema 2

In un gregge di 150 pecore il 20% è nero. Quante sono le pecore nere?

DATI                                                             INCOGNITE

T=150;   r = 20                                                 x=p=?

SVOLGIMENTO

T : 100=p : r                150 : 100 = x : 20            \frac{x\cdot 100}{100}\frac{20\cdot 150}{100} ⇒    x= 30  numero delle pecore nere

Per calcolare la parte percentuale si moltiplica il totale per il tasso percentuale e si divide per 100 p= \frac{T\cdot r}{100}

Problema 3

In un sacchetto di caramelle alla frutta il 25 % è al gusto pesca. Se le caramelle alla pesca sono 16, quante caramelle contiene il sacchetto?

DATI                                                               INCOGNITE

p=16 ;   r = 25                                                        x=T=?

SVOLGIMENTO

T:100= p:r otteniamo       x:100=16:25                      \frac{x\cdot 25}{25} =\frac{100\cdot 16}{25} ⇒ x=64  numero di caramelle nel sacchetto

Per calcolare il totale si moltiplica la parte percentuale per 100 e si divide per il tasso percentuale: T =\frac{p\cdot 100}{r}

Problema 4

Un negozio pratica lo sconto del 30% su tutti gli articoli sportivi in vendita promozionale. Se acquisto un paio di sci che costava 286 euro, quale sconto totale ottengo?

Indichiamo con x lo sconto totale sul prezzo del paio di sci

DATI                                      INCOGNITE

T= 286                                        x=p=?

r = 30

Da cui:       T : 100= p : r                P=\frac{T\cdot r}{100}

286: 100 = x : 30

x = \frac{286\cdot 30}{100} = 858

Risposta : lo sconto totale è di 858 euro

Problema 5

In una scuola di 1240 alunni ne sono stati promossi 1178. Qual è il tasso percentuale di promossi rispetto al numero di alunni iscritti?

DATI                                             INCOGNITE

T=1240                                                x=r=?

p= 1178

SVOLGIMENTO

Indicando con x il numero di alunni promossi ogni 100 alunni iscritti, consideriamo la proporzione :

T:100= p:r

r=\frac{P\cdot 100}{T}

1240:100=  1178 : x  ⇒  \frac{1240\cdot x}{1240} =\frac{1178\cdot 100}{1240}   ⇒  x= 95

Risposta: il tasso percentuale dei promossi è 95%.

Problema 6

In un’indagine svolta fra gli alunni che frequentano una scuola media l’85% cioè 391 alunni ha indicato come sport preferito il calcio. Quanti sono gli alunni di quella scuola?

DATI                                          INCOGNITE

p=391                                          x=T=?

r=84

SVOLGIMENTO

T:100= p:r

T=\frac{P\cdot 100}{r}

Indicando con x il numero degli alunni che frequentano quella scuola, abbiamo la seguente proporzione:

391: 85 = x : 100  ⇒   \frac{85\cdot x}{85} = \frac{391\cdot 100}{85} ⇒ x= 460.

Risposta: Gli alunni che frequentano quella scuola sono 460.

Problema 7

In un esame universitario il 12 % degli studenti viene bocciato. Qual è la percentuale dei promossi?

Per trovare la percentuale dei promossi è sufficiente sottrarre al totale espresso in percentuale la percentuale di bocciati:

100% – 12% = 88%

Problema 8

Un commerciante compera una certa quantità di merce per 150 000 euro. Sapendo che il commerciante vuole guadagnare il 20 % di quanto pagato, calcola a quale prezzo deve rivendere la merce.

Importo pagato 150 000 euro

il 20 % dell’importo pagato è:      \frac{20}{100} · 150 000 = 30 000 euro

Per guadagnare il 20 %, il commerciante deve quindi rivendere la merce a :

150 000 euro+ 30 000 euro = 180 000 euro

Problema 9

In un condominio di 25 alloggi, 7 appartamenti sono abitati da famiglie formate da più di tre persone, 10 appartamenti da famiglie di tre persone e 8 appartamenti da famiglie di solo due persone. Esprimi in percentuale le singole situazioni.

La frazione corrispondente agli alloggi abitati dalle famiglie di più di tre persone è :

\frac{7}{25}   per far diventare il denominatore 100 moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4.

\frac{7\cdot4 }{25 \cdot4} = \frac{28 }{100} = 28 %

Per le famiglie formate da tre persone si ha:

\frac{10 }{25}  per far diventare il denominatore 100 moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4.

\frac{10\cdot4 }{25 \cdot4} = \frac{40 }{100} = 40 %

Per le famiglie costituite da due sole persone si ottiene:

\frac{8}{25} per far diventare il denominatore 100 moltiplichiamo numeratore e denominatore per 4.

\frac{8\cdot4 }{25 \cdot4} = \frac{32}{100} = 32 %

Problema 10

Giorgio compra un televisore che costa 286 euro ottenendo uno sconto del 5 %. Quanto viene pagato il televisore?

Prezzo originario televisore = 286 euro

Tasso di sconto = 5

Sconto = \frac{prezzo originario  \cdot tasso di sconto }{100} = \frac{286 \cdot 5 }{100} = 14,30

Prezzo effettivamente pagato = prezzo originario – sconto = 286 – 14,30 = 271,70 euro

Problema 11

Un cappotto costa 96 euro, ma il negoziante lo fa pagare 90 euro. Qual è il tasso di sconto che ha praticato?

Il valore effettivo dello sconto praticato: Prezzo originario – prezzo pagato = 96 – 90 = 6 euro

Impostiamo la proporzione che ci permette di calcolare il tasso di sconto r.

r : 100 = sconto : prezzo originario

r : 100 = 6 : 96       →         5 = \frac{100 \cdot 6 }{96} = 6,25 %

Problema 12

Il comandante di una caserma che ha in forza 500 uomini decide di mandare in licenza 150 soldati e di mandarne in trasferta altri 50. Quale percentuale di uomini rimane in caserma?

Soldati in caserma = totale soldati – (soldati in licenza + soldati in trasferta)

Soldati in caserma = 500 – ( 150 + 50) = 500 – 200 = 300

Per trovare la percentuale x di soldati che rimane in caserma impostiamo la proporzione.

x : 100 = soldati in caserma : totale dei soldati

x : 100 = 300 : 500   →  x = \frac{300 \cdot 100}{500}= 60 %

Problema 13

L’anno scorso il prezzo di una borsa era di 154 veuro. Quest’anno il suo costo è aumentato di 4,62 euro. Qual è stato l’aumento percentuale ?

Dati

154 euro = costo della borsa

4,62 euro = aumento

Incognita

aumento percentuale = r = ?

Svolgimento

Si applica la proporzione :

t : 100 = p : r

dove: T = 154 euro                p = 4,62 euro               r = x        quindi:

154 : 100 = 4,62 : x

x = \frac{100 \cdot 4,62}{154} = 3 %     aumento percentuale

Problema 14

Dopo le feste il costo di un profumo è stato ribassato da 54,40 euro a 46,24 euro. Quak è stato il ribasso percentuale?

Dati

54,40 euro = costo iniziale

46,24 euro = costo finale

Incognita

ribasso percentuale = r = ?

Svolgimento

Poichè è richiesto il ribasso percentuale, la parte percentuale corrisponde alla diminuizione del costo, quindi:

T = 54,40                     p = (54,40 – 46,24) = 8,16                                 r = x

Applicando la proporzione T : 100 = p : r si ottiene :

54,40 : 100 = 8,16 : x

x = \frac{100 \cdot 8,16}{54,40} = 15 %

Problema 15

In una corsa ciclistica alla partenza si sono presentati 280 corridori. Se il 25% di questi si è ritirato, quanti corridori hanno concluso la corsa?

Dati                                                                                                   Incognita

280 = n° corridori alla partenza                                                 n° corridori che hanno concluso una corsa = ?

25 % = percentuale di corridori ritirati

Svolgimento

Si applica la proporzione T : 100 = p : r  dove il valore totale T è costituito dal n° dei corridori alla partenza e la parte percentuale p è data dal n° dei corridori che si sono ritirati:

T = 280                  r = 25 %                    p = x             quindi:

280 : 100 = x : 25   →          x = \frac{280 \cdot 25}{100} = 70  n° di corridori ritirati

280 – 70 = 210 n° corridori che hanno concluso la gara.

Problema 16

Il signor Rossi acquista un televisore. Poichè paga subito gli viene concesso uno sconto del 18 % pari a 90 euro. Quanto costava il televisore?

Dati                                                                                              Incognita

18% = percentuale di sconto                                                   costo iniziale del televisore?

90 euro = sconto

Svolgimento

Si applica la proporzione:

T : 100 = p : r

dove T è il costo del televisore senza lo sconto, p è lo sconto e r è lo sconto percentuale:

T = x            p = 90 euro             r = 18 %     quindi:

x : 100 = 90 : 18   →   x = \frac{100 \cdot 90}{18} = 500 euro    costo del televisore

Problema 17

A seguito del rinnovo contrattuale, un impiegato ha avuto un aumento del 5%. Se il nuovo stipendio mensile è di 1 642,20 euro, a quanto ammontava lo stipendio prima dell’aumento?

Dati                                                                                                     Incognita

5 % = aumento percentuale                                                                stipendio mensile prima dell’aumento = ?

1 642,20 euro = nuovo stipendio mensile

Svolgimento

T = stipendio mensile prima dell’aumento = x                p = 1 642,20 euro nuovo stipendio

r = 100 + 5 = 105 %

nuovo stipendio in percentuale , quindi la proporzione diventa:

x : 100 = 1 642,20 : 105   →  x = \frac{100 \cdot 1642,20}{105} = 1 564 euro      stipendio mensile prima dell’aumento

Problema n° 18

Su un cartone di latte da 500 ml c’è scritto: ” Latte parzialmente scremato. Grasso max 1,8%. Quanti ml di grasso contiene il cartone di latte? Se un bicchiere medio contiene 200 ml di latte, quanti ml di grasso contiene?

Dati                                                                                                     Incognita

500 ml = cartone del latte                                                                    grasso del cartone del latte =?

1,8% = percentuale di grasso                                                                grasso di 200 ml di latte= ?

200 ml = contenuto di un bicchiere

Svolgimento

Si applica la proporzione:

T : 100 = p : r   quindi                 500 : 100 = x : 1,8

x = \frac{500 \cdot 1,8}{100}  = 9 ml    quantità di grasso in un cartone di latte

Applichiamo un’altra proporzione:         500 : 9 = 200 : x

x = \frac{9 \cdot 200}{500}  = 3,6 ml   quantità di grasso in 200 ml di latte

Problema n° 19

In pizzeria, con gli amici, ricevi il seguente conto: “4 pizze: 20 euro. Bibite: 5 euro. 2 dessert: 4 euro. Servizio: 15% (sul totale)”. Quanto dovete pagare in tutto?

Dati                                                                                                     Incognita

20 € = prezzo 4 pizze                                                                             prezzo da pagare=?

5 € = prezzo bibite

4 € = prezzo dessert

15%  = servizio sul totale

Svolgimento

totale senza servizio = 20 + 5 + 4 = 29 €

Si applica la proporzione:

T : 100 = p : r   quindi                      29 : 100 = x : 15              x = \frac{29 \cdot 15}{100}  = 4,35 €

totale con servizio = 29 + 4,35 = 33,35€

Problema n° 20

Tre persone decidono di fondare una società in cui è richiesto un capitale complessivo di 200 000 euro. La prima persona versa il 25%, la seconda il 35% e la terza la parte rimanente. Calcola quanto versa ciascun socio.

Dati                                                                                                     Incognita

3 = numero degli investitori                                                                  euro versati da ognuno=?

200 000 € = capitale complessivo

25% = ciò che ha versato il primo investitore

35% = ciò che ha versato il secondo investitore

40% =  ciò che ha versato il terzo investitore

Svolgimento

Si applica la proporzione:

T : 100 = p : r   quindi                    200 000 : 100 = x : 25              x = \frac{200000 \cdot 25}{100}   = 50 000€ 1° investitore

T : 100 = p : r   quindi                    200 000 : 100 = x : 35               x= \frac{200000 \cdot 35}{100}  = 70 000€ 2° investitore

200 000- 50 000- 70 000 = 80 000 € 3° investitore

Problema n° 21

Due persone ereditano 2500 euro. Una delle due ha diritto al 25% dell’eredità. A quale percentuale ha diritto la seconda persona? Qual è la somma ricevuta da ciascuna?

Dati                                                                                                     Incognita

2500€ = somma ereditata da due persone                                      percentuale ereditata dalla 2° persona?

25% = eredità di uno dei due                                                              somma ricevuta da ognuna ?

Svolgimento

Si applica la proporzione:

T : 100 = p : r   quindi       2500 : 100 = x : 25             x= \frac{2500 \cdot 25}{100}  = 625 €  1° persona

100% – 25% = 75%  percentuale ricevuta dalla seconda persona

2500 – 625 = 1875€   eredità seconda persona

Problema n° 22

Un agronomo ha compiuto l’analisi di un terreno. Dal referto di laboratorio risulta che il campione era formato da: 50% sabbia; 20%  limo; 19% argilla; 7% scheletro; il restante è formato da sostanze organiche. Sapendo che il campione esaminato era di 4,5 kg, determina il peso delle varie parti.

Dati                                                                                                     Incognita

50% contenuto sabbia                                                                           peso delle varie parti?

20% contenuto limo

19% contenuto argilla

7% contenuto scheletro

4,6 kg  quantità campione

Svolgimento

Si applica la proporzione:

T : 100 = p : r           4,5 : 100 = x : 50             x = \frac{4,5 \cdot 50}{100}  = 2,25 kg         contenuto sabbia

T : 100 = p : r           4,5 : 100 = x : 20              x = \frac{4,5 \cdot 20}{100}  = o,9 kg          contenuto limo

T : 100 = p : r           4,5 : 100 = x : 19               x = \frac{4,5 \cdot 19}{100}  = 0,855 kg       contenuto argilla

T : 100 = p : r           4,5 : 100 = x : 7                 x = \frac{4,5 \cdot 7}{100}  = o,315               contenuto scheletro   

Restante parte  4,6 – 2,25 – 0.9 – 0,855 – 0,315 = 0,18

Espressioni con i numeri decimali

NUMERI DECIMALI LIMITATI

Calcola il valore dell’espressione:

1) 0,53 +  [ 0,32 + 0,6 :(1,5 – 0,7 ) ]=

 1° modo:

0,53 +  [ 0,32 + 0,6 :(1,5 – 0,7 ) ]=

=0,53 +  [O,32 + 0,6 : 0,8) ] =

=0,53 +  [ 0,32 + 0,75  ] =

0,53 + 1,07 = 1,60

2° modo: si trasformano i numeri decimali nelle corrispondenti frazioni generatrici.

0,53 +  [ 0,32 + 0,6 :(1,5 – 0,7 ) ]=

=\frac{53}{100}+ [\frac{32}{100}+\frac{6}{10} : (\frac{15}{10}– \frac{7}{10}) ] =

=\frac{53}{100}+ [\frac{32}{100}+\frac{6}{10} : \frac{8}{10} ] =

=\frac{53}{100}+ [\frac{32}{100}+\frac{6}{10} x \frac{10}{8} ]=

=\frac{53}{100}+ [\frac{32}{100}+\frac{6}{8}  ]=

=\frac{53}{100}+  [\frac{32}{100}+\frac{3}{4}  ]=

=\frac{53}{100}+  [\frac{32 +75}{100} ]=

=\frac{53}{100}+  \frac{107}{100} = \frac{160}{100} = 1,6

2) (0,75 + 0,4) x 2,5 – 0,5 x (0,75 – 0,4) =

1° modo

(0,75 + 0,4) x 2,5 – 0,5 x (0,75 – 0,4) =

=1,15 x 2,5 – 0,5 x 0,35 =

= 2,875 – 0,175 = 2,7

2° modo

(0,75 + 0,4) x 2,5 – 0,5 x (0,75 – 0,4) =

= ( \frac{75}{100} + \frac{4}{10} ) x \frac{25}{10} – \frac{5}{10} x ( \frac{75}{100} – \frac{4}{10}) =

Semplificando:

= ( \frac{3}{4} + \frac{4}{10} ) x \frac{5}{2} – \frac{1}{2} x ( \frac{3}{4} – \frac{2}{5} ) =

= ( \frac{15 + 8}{20} ) x \frac{5}{2} – \frac{1}{2} x ( \frac{15 - 8}{20} ) =

\frac{23}{20} x \frac{5}{2} –  \frac{1}{2} x \frac{7}{20} =

semplificando:

=\frac{23}{4} x \frac{1}{2} –  \frac{1}{2} x \frac{7}{20} =

\frac{23}{8} – \frac{7}{40} = \frac{115-7}{40} = \frac{108}{40} = \frac{27}{10} = 2,7

3) [0,2³ x 5 + 2,5² : (0,5 : 0,4) + 1,21] : (3,45 : 0,3 – 9)=

1° modo

[0,2³ x 5 + 2,5² : (0,5 : 0,4) + 1,21] : (3,45 : 0,3 – 9)=

[0,008 x 5 + 6,25 : 1,25 + 1,21 ] : (11,5 – 9)=

= [0,04 + 5 + 1,21 ] : 2,5 =

= 6,25 : 2,5 = 2,5

2° modo

[0,2³ x 5 + 2,5² : (0,5 : 0,4) + 1,21] : (3,45 : 0,3 – 9)=

[ ( \frac{2}{10}) ³ x 5 + ( \frac{25}{10})² : (\frac{5}{10} : \frac{4}{10}) + \frac{121}{100}   ] : (\frac{345}{100} :\frac{3}{10} – 9)=

facciamo delle semplificazioni

= [( \frac{1}{5} )³ x 5 + ( \frac{5}{2})² : (\frac{5}{10} : \frac{4}{10}) + \frac{121}{100}   ] : (\frac{345}{100} :\frac{3}{10} – 9)=

= [ \frac{1}{125}  x 5 + \frac{25}{4} : (\frac{5}{10} x \frac{10}{4}) + \frac{121}{100}   ] : (\frac{345}{100}\frac{10}{3} – 9)= abbiamo trasformato dove possibile le divisioni in moltiplicazioni;

semplificando:

= [ \frac{1}{25} + \frac{25}{4} : \frac{5}{4} + \frac{121}{100}   ] : (\frac{23}{2} – 9)=

= [ \frac{1}{25} + \frac{25}{4} x  \frac{4}{5}\frac{121}{100}   ] : (\frac{23 - 18}{2})=

= [ \frac{1}{25} + 5+ \frac{121}{100}   ] : \frac{5}{2} =

= [ \frac{4 + 500 + 121}{100}   ] : \frac{5}{2} =

\frac{625}{100} x \frac{2}{5} = \frac{5}{2} = 2,5

 

NUMERI DECIMALI ILLIMITATI E LIMITATI

4)

num

(\frac{18}{10} – \frac{7}{9} x 2 ) : ( \frac{34-3}{9} – \frac{124-12}{90} – \frac{18-1}{9} )=

= (\frac{18}{10} - \frac{14}{9}) : (\frac{31}{9} - \frac{112}{90}- \frac{17}{9} ) =

= ( \frac{162-140}{90}) :( \frac{310-112-170}{90}) = \frac{22}{90}:\frac{28}{90} = \frac{22}{90}x\frac{90}{28} =\frac{11}{4} =o,7  857142 periodico

5)

espressioni

espressioni con i numeri decimali

Programma matematica seconda media

Proporzioni e problemi

Non sempre per risolvere una proporzione si può applicare subito la proprietà fondamentale.

1) ( 20 – x ) : x = 3 : 7  per eliminare la x dal 1° termine si applica la proprietà del comporre

[ ( 20 – x ) + x] : x = ( 3 + 7 ) : 7

( 20 – x + x ) : x = ( 3 + 7 ) : 7  otteniamo 20 : x = 10 : 7  ⇒ \frac{20 \cdot x}{20}= \frac{20\cdot7}{10} = 14

la proporzione iniziale diventa (20 – 14 ) : 14 = 3 : 7  ⇒  6 : 14 = 3 : 7

la proporzione è risolta e vale la proprietà fondamentale 6 · 7 = 14 · 3 = 42

2 ) \frac{1}{2} : x = \frac{9}{16} : ( \frac{7}{2} + x )   Applichiamo la proprietà del permutare agli estremi

\frac{7}{2} + x ) : x  = \frac{9}{16}:  \frac{1}{2}    per eliminare la x al primo termine applichiamo la proprietà dello scomporre.

(\frac{7}{2} + x – x ) : x =( \frac{9}{16} – \frac{1}{2}) : \frac{1}{2}   ⇒  \frac{7}{2} : x = (\frac{9-8}{16} ) : \frac{1}{2}   ⇒  \frac{7}{2} : x = \frac{1}{16}: \frac{1}{2}

x · \frac{1}{16} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}   ⇒   x · \frac{1 \cdot 16}{16} =  \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}  · 16 = \frac{112}{4} = 28

La proporzione iniziale diventa: \frac{1}{2}: 28 = \frac{9}{16} : \frac{63}{2}

La proporzione è risolta , vale la proprietà fondamentale  \frac{1}{2}\cdot \frac{63}{2} = 28 · \frac{63}{4}

PROBLEMA 1

A una festa il rapporto fra il numero delle ragazze e il numero degli invitati è \frac{3}{7}.

Quante sono le ragazze se gli invitati sono 42?

DATI                                                             INCOGNITE

42 = n° invitati                                             x= n° ragazze

\frac{3}{7} = rapporto tra ragazze e ragazzi

SVOLGIMENTO

Uguagliando i rapporti si ha : x: 42 = 3 : 7 quindi   x · 7 = 42 · 3 ⇒ \frac{x \cdot7}{7} = \frac{3 \cdot42}{7}  quindi x = 18

PROBLEMA 2

Pia e Anna hanno in comune 60 euro. La somma a disposizione di Pia è \frac{3 }{7} di quella di Anna. Quanti euro possiede ciascuna ragazza?

DATI                                                 INCOGNITE

x +y=60 euro                                     x= euro di Pia

x= \frac{3 }{7} di y                                               y= euro di Anna

SVOLGIMENTO

Poichè la somma a disposizione di Pia è \frac{3 }{7} di quella di Anna, si può scrivere \frac{x}{y} = \frac{3}{7} cioè

x : y = 3 : 7 applichiamo la proprietà del comporre

( x + y ) : x = (3 + 7) : x    e     (x + y) : y= (3 + 7 ) : 7

60 : x = 10 : 3                          60 : y = 10 : 7

x = \frac{3 \cdot 60}{10} = 18                            y = \frac{7 \cdot 60}{10} = 42

PROBLEMA 3

La differenza di età fra Ilaria è il nonno è di  55 anni e il rapporto della loro età è \frac{8}{3}. Quanti anni ha Ilaria? E quanti il nonno ?

DATI                                                                      INCOGNITA

x – y = 55                                                                x = età del sonno

x = \frac{8}{3} y                                                                    y = età di Ilaria

SVOLGIMENTO

x : y = 8 : 3           applichiamo la proprietà dello scomporre

( x – y ) : x = ( 8 – 3 ) : 8       e      ( x – y ) : y = ( 8 – 3 ) : 3

55 : x = 5 : 8                                   55 : y = 5 : 3                                            sostituisco x – y = 55

\frac{5 x}{5} = \frac{8 \cdot55}{5} = 88 anni                       \frac{5 y}{5}\frac{3 \cdot55}{5} = 33

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Programma matematica seconda media