Proporzioni e problemi

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Non sempre per risolvere una proporzione si può applicare subito la proprietà fondamentale.

1) ( 20 – x ) : x = 3 : 7  per eliminare la x dal 1° termine si applica la proprietà del comporre

⇒ [ ( 20 – x ) + x] : x = ( 3 + 7 ) : 7

( 20 – x + x ) : x = ( 3 + 7 ) : 7  otteniamo 20 : x = 10 : 7  ⇒ frac{20 cdot x}{20}= frac{20cdot7}{10} = 14

la proporzione iniziale diventa (20 – 14 ) : 14 = 3 : 7  ⇒  6 : 14 = 3 : 7

a questo punto la proporzione è risolta e vale la proprietà fondamentale 6 · 7 = 14 · 3 = 42

2 ) frac{1}{2} : x = frac{9}{16} : ( frac{7}{2} + x )   Applichiamo la proprietà del permutare agli estremi

( frac{7}{2} + x ) : x  = frac{9}{16}:  frac{1}{2}    per eliminare la x al primo termine applichiamo la proprietà dello scomporre.

(frac{7}{2} + x – x ) : x =( frac{9}{16} – frac{1}{2}) : frac{1}{2}   ⇒  frac{7}{2} : x = (frac{9-8}{16} ) : frac{1}{2}   ⇒  frac{7}{2} : x = frac{1}{16}: frac{1}{2}

x · frac{1}{16} = frac{7}{2} cdot frac{1}{2}   ⇒   x · frac{1 cdot 16}{16} =  frac{7}{2} cdot frac{1}{2}  · 16 = frac{112}{4} = 28

La proporzione iniziale diventa: frac{1}{2}: 28 = frac{9}{16} : frac{63}{2}

La proporzione è risolta , vale la proprietà fondamentale  frac{1}{2}cdot frac{63}{2} = 28 · frac{63}{4}

PROBLEMA 1

A una festa il rapporto fra il numero delle ragazze e il numero degli invitati è frac{3}{7}.

Quante sono le ragazze se gli invitati sono 42?

DATI                                                             INCOGNITE

42 = n° invitati                                             x= n° ragazze

frac{3}{7} = rapporto tra ragazze e ragazzi

SVOLGIMENTO

Uguagliando i rapporti si ha : x: 42 = 3 : 7 quindi   x · 7 = 42 · 3 ⇒ frac{x cdot7}{7} = frac{3 cdot42}{7}  quindi x = 18

   
 

PROBLEMA 2

Pia e Anna hanno in comune 60 euro. La somma a disposizione di Pia è frac{3 }{7} di quella di Anna. Quanti euro possiede ciascuna ragazza?

DATI                                                 INCOGNITE

x +y=60 euro                                     x= euro di Pia

x= frac{3 }{7} di y                                               y= euro di Anna

SVOLGIMENTO

Poichè la somma a disposizione di Pia è frac{3 }{7} di quella di Anna, si può scrivere frac{x}{y} = frac{3}{7} cioè

x : y = 3 : 7 applichiamo la proprietà del comporre

( x + y ) : x = (3 + 7) : x    e     (x + y) : y= (3 + 7 ) : 7

60 : x = 10 : 3                          60 : y = 10 : 7

x = frac{3 cdot 60}{10} = 18                            y = frac{7 cdot 60}{10} = 42

PROBLEMA 3

La differenza di età fra Ilaria è il nonno è di  55 anni e il rapporto della loro età è frac{8}{3}. Quanti anni ha Ilaria? E quanti il nonno ?

DATI                                                                      INCOGNITA

x – y = 55                                                                x = età del sonno

x = frac{8}{3} y                                                                    y = età di Ilaria

SVOLGIMENTO

x : y = 8 : 3           applichiamo la proprietà dello scomporre

( x – y ) : x = ( 8 – 3 ) : 8       e      ( x – y ) : y = ( 8 – 3 ) : 3

55 : x = 5 : 8                                   55 : y = 5 : 3                                            sostituisco x – y = 55

frac{5 x}{5} = frac{8 cdot55}{5} = 88 anni                       frac{5 y}{5}= frac{3 cdot55}{5} = 33

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