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Tag Archives: INSIEMI NUMERICI

I numeri naturali

INSIEME DEI NUMERI NATURALI

Si indicano con la lettera N e comprende un insieme di numeri che va da zero a infinito. Questo insieme si dice ordinato  perché dati due numeri si può sempre dire qual è maggiore e qual è minore o se sono uguali. In generale se a è un numero qualsiasi, il suo successivo è a+1.Cioè:

Il successivo di un numero è un altro numero che si ottiene dal primo aggiungendo 1(una unità).Poichè ciò si può fare per qualsiasi numero, ogni numero possiede il successivo.

N={0,1,2,3,……n……n+1…..}.

Lo zero non ha precedente; infatti 0 è il primo numero naturale.

E’ sempre possibile confrontare due numeri naturali e ciò avviene mediante gli operatori relazionali: =, <, >,≠.

Per esempio se scriviamo 3<5<8 si potrà leggere in questo modo: “5 è compreso fra 3 e 8″, cioè 5 è maggiore di tre ma minore di 8.

Tutto ciò che è scritto a sinistra di una uguaglianza o di una disuguaglianza è detto primo membro, ciò che è scritto a destra secondo membro.

I numeri naturali  che si usano per contare si dicono numeri cardinali quindi 1,2.3… ecc. e i numeri che si usano per indicare l’ordine di un gruppo di elementi si dicono numeri ordinali; primo,secondo terzo…. ventesimo ecc.

La rappresentazione dei numeri naturali

I numeri naturali sono ordinati. Per questo motivo possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè su una semiretta sulla quale fissiamo, a partire dal punto di origine O, un verso di percorrenza, che indichiamo con una freccia. Al punto O si farà coincidere il numero 0.

LINEA DEI NUMERI

linea dei numeri

IL NOSTRO SISTEMA NUERICO

Il nostro sistema è detto POSIZIONALE perchè il valore di ogni cifra dipende dalla sua posizione nel numero.

648 = 8  rappresenta l’unità

587 = 8  rappresenta le decine

832  =  8  rappresenta le centinaia

Il nostro sistema è anche detto DECIMALE perchè utilizziamo dieci cifre per scrivere tutti i numeri: 0-1-2–4-5-6-7-8-9 e perchè dieci unità messe insieme formano un’unita dell’ordine successivo.

Infatti se prendo 10 unità queste formano una decina;

10 decine cioè 100 unità formano una centinaia;

10 centinaia cioè 1 000 unità formano una migliaia ;

10 migliaia cioè 10 000 unità formano una decina di migliaia;

10 decine di migliaia cioè 100 000 unità formano una centinaia di migliaia.

I numeri naturali iniziano da 0 e non finiscono mai: infatti, se aggiungi 1 a qualunque numero, formi sempre il numero successivo sino… all’infinito!

Programma matematica primo superiore

Esercizi sulle caratteristiche dei numeri relativi

Esercizi sulle caratteristiche dei numeri relativi

Esercizio n°1

Per ciascun numero relativo stabilisci se è positivo o negativo e il valore assoluto.

a) – 15   E’ un numero negativo e il suo valore assoluto è : \left \| - 15\right \| = 15

b)\frac{3}{4}   E’ un numero positivo e il suo valore assoluto è : \left \| +\frac{3}{4} \right \| = \frac{3}{4}

Esercizio n° 2

Stabilisci  come sono tra loro i numeri di ciascuna coppia.

a)+5 e +\frac{7}{8}     I due numeri sono concordi perchè hanno lo stesso segno.

b) –\frac{5}{6} e + \frac{1}{2}   I due numeri sono discordi perchè hanno segno diverso.

c) -4,5  e  + 4,5  I due numeri sono discordi e poichè \left \| - 4,5 \right \| = \left \| + 4,5 \right \| = 4,5 i due numeri sono opposti.

Esercizi sull’insieme Q dei numeri razionali relativi

Esercizi sull’insieme Q dei numeri razionali relativi

Esercizio n° 1

Riconosci quali numeri appartengono all’insiemne Q.

-3; +\frac{4}{5}; – \sqrt{\frac{5}{3}}\sqrt{9}; – \sqrt{\frac{16}{25}}; + \sqrt{7}

Si ottiene:

a) – 3 ∈  Z^{-} (insieme dei numeri interi negativi)  quindi  – 3 ∈ Q ( insieme dei numeri razionali che è un ampliamento di N).

b) + \frac{4}{5}   Q^{+} (insieme dei numeri razionali positivi) quindi \frac{4}{5} ∈ Q( insieme dei numeri razionali che è un ampliamento di N).

c) \sqrt{\frac{5}{3}}   I^{-}(insieme dei numeri irrazionali negativi)  quindi  \sqrt{\frac{5}{3}} ∉ Q( insieme dei numeri razionali che è un ampliamento di N).

d) – \sqrt{9} ∈  Z^{-} (insieme dei numeri interi negativi) perchè uscendo dalla radice sarà – 3  quindi – \sqrt{9} ∈ Q.

e) – \sqrt{\frac{16}{25}}  ∈  Q^{-}(  insieme dei numeri razionali negativi) perchè può uscire dalla radice e sarà un numero fratto \frac{4}{5}  quindi  – \sqrt{\frac{16}{25}}  ∈ Q.

f)\sqrt{7} ∈  I^{+} (insieme dei numeri irrazionali negativi) quindi + \sqrt{7} ∉ Q( insieme dei numeri razionali che è un ampliamento di N).

Esercizio n° 2

Rappresenta su una retta orientata i numeri razionali.

a) -1,5; +3; -0,5; +1,5; -4,5

RETTA ORIENTATA 1

b) – \frac{1}{6}; + \frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{5}{12};- \frac{11}{12}

RETTA ORIENTATA 2

Esercizi sui numeri interi relativi

Esercizi sui numeri interi relativi

1) Rappresenta su una retta orientata i numeri interi relativi.

-2; +5; -4; +2; -7

Si disegna una retta con una freccia verso destra, si fissa un’unità di misura e il punto di origine O a cui si fa corrispondere il numero 0.

A destra e a sinistra del punto O si riporta l’unità di misura scelta e si ottengono i punti immagine dei numeri +1 e -1. Partendo dai punti ottenuti si riporta un’altra volta l’unità di misura ottenendo i punti immagine dei numeri +2 e -2 e così via.

RETTA ORIENTATA

Retta orientata

Il numero – 2 ha come immagine il punto A.

Il numero + 5 ha come immagine il punto B.

Il numero – 4 ha come immagine il punto C.

Il numero + 2 ha come immagine il punto D.

Il numero – 7 ha come immagine il punto E.

Esercizi sugli insiemi numerici

Esercizi sugli insiemi numerici

1) Stabilisci la natura di ciascun numero.

128 ; 3,45; \frac{13}{7}\frac{16}{4}\sqrt{\frac{25}{81}}\sqrt{15}.

a) 128    E’ un numero naturale, quindi:                        128 ∈ N

b) 3,45  E’ un numero decimale finito, quindi :           3,45 ∈  Q^{+}

c) \frac{13}{7}      E’ una frazione , quindi :                                   \frac{13}{7} ∈  Q^{+}

d)\frac{16}{4}      E’ una frazione, quindi:                                      \frac{16}{4} ∈  Q^{+}     semplificando si ottiene: \frac{16}{4} = 4 ∈ N

e)\sqrt{\frac{25}{81}}  Si ottiene:                                                              \sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{5}{9} ∈  Q^{+}

f) \sqrt{15}    Poichè 15 non è un quadrato perfetto, otteniamo:      \sqrt{15} ∈  I^{+}

Ovviamente tutti i numeri precedenti appartengono all’insieme  R^{+}.

2) Per ciascuna operazione stabilisci in quali insiemi numerici è risolvibile.

12 + 9;  15 :5 ;   8 – 16; 8: 5

a) 12 + 9       E’ un’addizione di numeri naturali quindi è risolvibile negli insiemi N,  Q^{+} ed  R^{+}.

b) 15 : 5         E’ una divisione tra numeri naturali ed essendo 15 : 5 = 3, l’operazione è risolvibile negli insiemi N , Q^{+} ed  R^{+}.

c) 8 -16         Il secondo numero è maggiore del primo, la sottrazione non si può eseguire in nessuno degli insiemi N , Q^{+} ed  R^{+}.

d) 8 : 5      Il risultato non è un numero naturale, quindi l’operazione non è risolvibile nell’insieme N; essendo 8:5=\frac{8}{5}, l’operazione è risolvibile negli insiemi  Q^{+} ed  R^{+}.

Numeri irrazionali relativi e numeri reali relativi

L’unione dei numeri irrazionali preceduti dal segno più  I^{+}  e l’insieme dei numeri irrazionali preceduti dal segno meno  I^{-} costituisce l’insieme dei numeri irrazionali relativi:

 I^{+} ∪  I^{-} = I

L’ unione degli insiemi Q e I costituisce l’insieme R dei numeri reali:

Q ∪ I = R 

Rappresentiamo l’insieme R su una retta orientata:

237

Come per l’insieme  R^{+} a ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta orientata e, viceversa, a ogni punto sulla retta orientata corrisponde un numero reale.

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L’insieme Q dei numeri razionali positivi

I numeri razionali positivi sono un insieme costituito dallo 0 e dai numeri razionali preceduti dal segno +: questo insieme si indica con  Q^{+}:

 Q^{+} = \left \{ 0,+\frac{1}{3},+1,+2,+ \frac{7}{3},... \right \}

I numeri razionali preceduti dal segno – costituiscono l’insieme dei numeri razionali negativi  Q^{-}.

L’unione degli insiemi  Q^{+} e Q^{-} costituisce l’insieme Q dei numeri razionali relativi:

 Q^{+} ∪ Q^{-} = Q

Possiamo rappresentare l’insieme Q su una retta orientata:

236

Vedi esercizi

Programma matematica terza media

Numeri interi relativi

Per descrivere alcune situazioni non bastano l’insieme N , Q^{+} I^{+} R^{+}, ma ne occorrono altri che sono preceduti da un segno.

Per esempio la temperatura può essere sia +6, che -6 ….,un debito di 100 euro si indica con -2oo e così via.

I numeri preceduti dal segno + o dal segno – sono detti numeri relativi.

I numeri preceduti dal + si dicono numeri positivi e sono maggiori di zero; i numeri preceduti dal segno si dicono numeri negativi e sono minori di zero.

Con questi numeri possiamo eseguire le sottrazioni in cui il sottraendo è maggiore del minuendo.

I numeri relativi Z costituiscono un ampliamento degli insiemi N , Q^{+} I^{+} R^{+}.

I numeri naturali N sono formati dallo 0 e dai numeri interi positivi e coincidono con l’insieme  Z^{+} dei numeri interi positivi.

 N =Z^{+} =\left \{ 0, +1, +2, +3, +4,... \right \}

I numeri interi con segno – costituiscono l’insieme dei numeri interi negativi che si indica con il simbolo  Z^{-}.

 Z^{-}= \left \{ -1, -2, -3, -4,... \right \}

L’unione degli insiemi  Z^{+} e  Z^{-} costituisce l’insieme Z dei numeri interi relativi.

 Z^{+}∪  Z^{-}= Z

Possiamo rappresentare Z su una retta orientata:

235

La distanza dallo 0 è detto valore assoluto.

Vedi gli esercizi

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Dai numeri naturali ai numeri reali positivi

DALL’INSIEME DEI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI POSITIVI

Gli insiemi numerici ( N  dei numeri naturali,  Q^{+} dei numeri razionali positivi, l’insieme  I^{+} dei numeri irrazionali positivi e l’insieme  R^{+} dei numeri reali positivi) non sono indipendenti e separati tra loro, ma sono l’uno l’ampliamento dell’altro.

Nell’insieme N dei numeri naturali è sempre possibile eseguire l’addizione, la moltiplicazione e l’elevamento a potenza. In simboli:

se a,b ∈ N  allora  a+b ∈ N    a·b ∈N   a² ∈ N

Le operazioni inverse: sottrazione, divisione  ed estrazione di radice quadrata non sempre hanno risultato in N.

Ecco perchè c’è la necessita di ampliare l’insieme dei numeri naturali, quindi, introduciamo l’insieme  Q^{+} dei numeri razionali positivi che ha come elementi i numeri decimali finiti o periodici che si possono ottenere da frazioni aventi per numeratore e denominatore numeri naturali. L’ insieme   Q^{+} un’ampliamento dell’insieme N  e quindi N  è un sottoinsieme di  Q^{+}, in simboli si scrive:

N ⊂  Q^{+}

Nell’insieme  Q^{+} è sempre possibile eseguire oltre che l’addizione, la moltiplicazione e l’elevamento a potenza anche la divisione. In simboli:

se a,b ∈   Q^{+}    allora    a+b ∈ Q^{+}     a·b ∈ Q^{+}       a^{n} ∈  Q^{+}    \frac{a}{b} ∈  Q^{+}

L’estrazione di radice e la sottrazione non sempre hanno risultato  Q^{+}.

Per rendere sempre possibile l’operazione di estrazione di radice, anche di numeri che non sono quadrati perfetti, si introduce l’insieme  I^{+} dei numeri irrazionali positivi, cioè dei numeri decimali illimitati non periodici che non si possono ottenere da una frazione. Questi numeri sono radici non esatte o numeri come π o altri ancora.

L’nsieme  I^{+} (dei numeri razionali positivi) non comprende l’insieme  Q^{+} ma lo affianca e la loro unione genera l’insieme  R^{+} dei numeri reali assoluti. In simboli si scrive:

 Q^{+} ∪  I^{+} =  R^{+}

I due insiemi sono disgiunti:

 Q^{+} ∩  I^{+} = ∅

Nell’insieme  R^{+} è sempre possibile eseguire  l’addizione, la moltiplicazione, l’elevamento a potenza, la divisione e l’estrazione di radice. Anche in  R^{+} la sottrazione non è possibile: dovremo quindi ampliare gli insiemi numerici fin qui usati con i numeri dotati di segno che ci permettono di eseguire sempre la sottrazione e cioè l’insieme Z dei numeri interi relativi.

Vedi gli esercizi

Programma matematica terza media

L’insieme dei numeri razionali assoluti

Tutti i  numeri razionali assoluti formano un nuovo insieme che si indica con  Q^{+}. Nell’insieme  Q^{+} è sempre possibile eseguire la divisione, che quindi è un’operazione interna a  Q^{+}.

L’insieme  Q^{+} è un ampliamento dell’insieme N, ovvero l’insieme  Q^{+} contiene l’insieme N:  N⊂ Q^{+}.

Quindi l’insieme N è un sottoinsieme dell’insieme  Q^{+}.

Quindi ogni numero naturale si può scrivere sotto forma di numero razionale assoluto.

  • Ogni frazione con il numeratore uguale a 0 è uguale al numero naturale 0, ovvero il numero 0 si può sempre scrivere sotto forma di frazione con numeratore uguale a 0:

\frac{0}{1} = 0:1 = 0 ;      \frac{0}{10} = 0:10= 0 ;    \frac{0}{105}  = 0:105= 0…..

  • Ogni frazione apparente con il numeratore uguale al denominatore è uguale a 1; ovvero il numero 1 si può sempre scrivere sotto forma di frazione con numeratore e denominatore uguali:

\frac{5}{5}  = 5:5 = 1;        \frac{22}{22}  = 22:22 = 1;     \frac{35}{35}  0 35:35 = 1…..

  • Ogni frazione con il denominatore uguale a 1 o con il numeratore multiplo del denominatore è uguale a un numero naturale, ovvero ogni numero naturale si può sempre scrivere sotto forma di frazione con denominatore uguale a 1 o numeratore multiplo del denominatore:

\frac{5}{1}  = 5:1 = 5;     \frac{10}{5}  = 10:5 = 2;    \frac{45}{9} = 45:9 = 5…..

Anche i numeri razionali , come i numeri naturali, possono essere rappresentati su una retta orientata.

numeri razionali

rappresentazione numeri razionali assoluti

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