IL CONNETTIVO LOGICO “o” E L’OPERAZIONE DI DISGIUNZIONE
L’operazione di disgiunzione, che unisce due proposizioni p e q mediante la parola “o”, viene indicata con questo simbolo: ∨.
Allora, la disgiunzione di p e q si scrive p ∨ q e si legge”p o q”.
Nella lingua italiana la congiunzione “o” ha due significati diversi. Consideriamo la proposizione : “Oliver è nato o a Modena o a Milano”.Con questa frase intendiamo dire che Oliver non può essere nato in entrambi i luoghi. Si dice in questo caso che la “o” rappresenta una disgiunzione esclusiva cioè esclude una delle due possibilità.
Per esempio:
Invece, la frase” Giorgio corre o Maria fa il compito”, significa che può accadere sia che Giorgio corra, sia che Maria faccia i compiti, o anche entrambe le cose. In questo caso parliamo di “o” non esclusiva.
Consideriamo il caso in cui “o” abbia un significato inclusivo.
Consideriamo i due enunciati:
p: Giorgio corre q: Maria fa il compito colleghiamoli con il connettivo “o” e otteniamo:
Giorgio corre o Maria fa il compito
Unendo i due enunciati con il connettivo “o” effettuiamo un’operazione logica detta disgiunzione. Calcoliamo il valore di verità di p∨q conoscendo i valori di verità di p e q:
Se p è vera e q è vera allora p∨q è vera
Se p è falsa e q è vera allora p∨q è vera
Se p è vera e q è falsa allora p∨q è vera
Se p è falsa e q è falsa allora p∨q è falsa
La disgiunzione di due enunciati è falsa solo se entrambi gli enunciati sono falsi.
La disgiunzione logica ha un legame con l’operazione di unione negli insiemi. Consideriamo i due enunciati:
p: x è un numero naturale <8 q: x è un numero naturale >3
p∨q: x è un numero naturale <8 o >3.
Nel linguaggio degli insiemi, possiamo affermare che il numero x appartiene all’insieme:
P={x| x ∈ N e x< 8} o l’insieme S={x| x ∈ N e x>3} quindi P∪S={x| x ∈ N con x< 8 o x>3}.
Gli elementi di P∪S sono tutti i numeri naturali.
Programma matematica primo superiore
Programma matematica terza media
Esercizio n° 1
Date le proposizioni semplici p e q scrivi la proposizione composta p ∨ q e stabilisci il suo valore di verità.
a) p: Milano è la capitale d’Italia (F)
q: Londra è la capitale della Germania (F)
p∨q: Milano è la capitale d’Italia o Londra è la capitale della Germania (F)
b) p: Il triangolo rettangolo ha due angoli retti (F)
q: Il triangolo rettangolo ha due angoli complementari (V)
p∨q: Il triangolo rettangolo ha due angoli retti o il triangolo rettangolo ha due angoli complementari (V)
Esercizio n° 2
Data la proposizione composta: p∨q: Mara studia inglese o guarda la televisione determina il suo valore di verità in ciascuna situazione.
a) Mara studia inglese e non guarda la televisione
Le proposizioni semplici sono:
p: Mara studia inglese (V)
q: Mara guarda la televisione (F)
La proposizione risolutiva è vera perchè è formata da una proposizione vera (p) e una falsa (q).
b) Mara non studia inglese e guarda la televisione
p è falsa e q è vera, quindi p∨q è vera.
c) Mara non studia inglese e non guarda la televisione
p è falsa e q è falsa, quindi p∨q è falsa
Esercizio n° 3
Date le proposizioni p e q, scrivi le proposizioni composte e costruisci la tavola di verità.
p: 20 è un quadrato perfetto
q: 20 è un multiplo di 4
p ∧ q : 20 è un quadrato perfetto e un multiplo di 4
p ∨ q : 20 è un quadrato perfetto o un multiplo di 4
| p | q | p ∧ q | p ∨ q |
| F | V | F | V |
