Applicazione delle proprietà delle proporzioni

Risolviamo la seguente proporzione:

(7 – x ): x= $\frac{3}{5}$ : 2 applicando la proprietà del comporre, abbiamo:

(7 – x + x) : x = ( $\frac{3}{5}$ + 2 ) : 2 ⇒ 7 : x = $\frac{13}{5}$ : 2

$\frac{13 \cdot x}{5}$ = 7 · 2 ⇒ $\frac{ 5\cdot13 \cdot x}{5\cdot 13}$ = 14 · $\frac{5}{13}$ ⇒ x = $\frac{70}{13}$

( $\frac{3}{5}$ + x ): $\frac{2}{3}$ = x : $\frac{1}{2}$ applicando la proprietà dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti, abbiamo:

( $\frac{3}{5}$ +x – x):( $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}$ )=x : $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{3}{5}$ : $\frac{1}{6}$ = x : $\frac{1}{2}$ ⇒ $\frac{1}{6}$ ·x= $\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}$

$\frac{6\cdot x}{6}$ = $\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{2}\cdot6$ ⇒ x= $\frac{9}{5}$

PROBLEMA 1

Calcolare due numeri sapendo che la loro somma è 36 e che stanno tra loro come 7 : 5.

DATI

x+y = 36

x: y = 7 : 5

SVOLGIMENTO

Applicando alla proporzione la proprietà del comporre abbiamo:

(x + y ) : x=(7+5) : 7 e (x+y) :y=(7+5) : 5

Sostituendo a x+y il valore 36 indicato dal problema, abbiamo:

36 : x =12 : 7 e 36 : y = 12 : 5 quindi:

12 · x = 36 · 7 e 12 · y = 36· 5

$\frac{12\cdot x}{12}= \frac{36\cdot 7}{12} = 21$ e $\frac{12\cdot y}{12}= \frac{36\cdot5}{12}= 15$

Risposta: i due numeri sono 21 e 15

PROBLEMA 2

Calcolare due numeri sapendo che la loro differenza è 12 e che stanno fra loro come 7 : 5. Indicando con x il numero maggiore e con y il numero minore, possiamo scrivere i dati.

DATI

x – y = 12

x : y = 7 : 5

SVOLGIMENTO

Applicando alla proporzione la proprietà dello scomporre abbiamo:

(x – y ) : x= (7 – 5) : 7 e (x – y ) : y = (7 – 5) : 5.

Sostituendo a x – y il valore 12 indicato dal problema, abbiamo:

12 : x = 2 : 7 e 12 : y = 2 : 5 quindi

2 · x = 12 · 7 e 2 · y = 12 · 5

$\frac{2 \cdot x}{2}$ = $\frac{12 \cdot 7}{2}$ ⇒ x=42 e $\frac{2\cdot y}{2}$ = $\frac{12\cdot 5}{2}$ ⇒ y =30

Programma matematica seconda media

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