Cubo di un binomio

 

CUBO DI UN  BINOMIO

Il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, più il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.

(a + b)³=(a)³+3(a)²(b)+3(a)(b)²+ (b)³= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a – b)³=(a)³+ 3(a)²(-b) + 3(a)(-b)² + (-b)³= a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(a – 3b)=(a)³+ 3(a)²(-3b) + 3(a)(-3b)² + (-3b)³= a³- 9a²b + 27ab² – 27b³.

(-3a – 2b)³=(-3a)³+ 3(-3a)²(-2b) + 3(-3a)(-2b)²+ (-2b)³= -27a³- 54a²b – 36ab²- 2b³

Bisogna ricordare quando si fa il cubo del trinomio che un numero negativo elevato ad un numero dispari, in questo caso tre rimane negativo.

 

Esercizio

Calcola i cubi di binomi

a) (3a + b)³ =

Si applica la regola (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³, con  A = 3a e B = +b, con A = 3a e B = +b, si ottiene :

= (3a)³ + 3(3a)²(+b) + 3(3a)(+b)² + (+b)³ = 27a³ + 3(9a²)(+b) + 3(3a)(+b²) + b³ =

27 a³ + 27 a²b + 9ab² + b³

b) (2a² – b³)³ =

A = 2a² e B = -b³, applicando la regola si ottiene:

= (2a²)³ + 3(2a²)²(-b³) + 3(2a²)(-b³)² + (-b³)³ =  8 a ^{6}+ 3(4a ^{4})(-b ^{3}) + 3(2a ^{2})(-b ^{6})+ (-b ^{9})=<br />

8 a ^{6}-12a ^{4}b ^{3} + 6a ^{2}b ^{6}-b ^{9}=<br />

c) (-\frac{1}{3}a ^{2} + 2ab)³ =

A =-\frac{1}{3}a ^{2} e B = 2ab, applicando la regola si ottiene:

= (-\frac{1}{3}a ^{2})³ + 3 (-\frac{1}{3}a ^{2})²(2ab) + 3 (-\frac{1}{3}a ^{2}) (2ab)² + (2ab)³ =

= -\frac{1}{27}a ^{6}  +3 (+\frac{1}{9}a ^{4})(2ab) + 3 (-\frac{1}{3}a ^{2}) (4a²b²) + 8a³b³ =

= -\frac{1}{27}a ^{6} +\frac{2}{3}a ^{5}b -4a ^{4}b ^{2} + 8a³b³ =

 

Programma matematica terza media