Distanza di un punto da una retta

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Se consideriamo una retta generica r di equazione ax + by +c  e un punto P (x_{{0}}; y_{{0}}) esterno a tale retta, la distanza dal punto P alla retta è la misura della perpendicolare PH condotta da P alla retta.

Per calcolare la misura di PH si deve conoscere prima di tutto l’equazione della retta passante per P e perpendicolare a r. Si devono poi conoscere le coordinate del punto H, che è l’intersezione delle due rette. Infine, si calcola la lunghezza di PH con la distanza tra due punti.

Applicando tutti questi passaggi si ottiene la seguente regola:

d =\frac{\left \| ax_{{0}}+by_{{0}}+c|}{ \sqrt{ a ^{2}+b ^{2}} }

Si usa il valore assoluto perchè una distanza deve essere sempre positiva. x_{{0} e y_{{0} sono le coordinate del punto e a, b e c sono i coefficienti della retta.

Consideriamo un esempio per capire meglio.

Calcoliamo la distanza dal punto P (3; -2) dalla retta di equazione 2x – y + 1 =0

Quindi ricapitolando i dati che conosciamo abbiamo:

x_{{0} = 3;  y_{{0}= -2;  a = 2;  b= -1;  c= 1

applicando la formula sopra scritta otteniamo:

d =\frac{\left \| 2 \cdot 3-1 \cdot (-2)+1|}{ \sqrt{ 2 ^{2}+1 ^{2}} }  = \frac{\left \| 6+2+1|}{ \sqrt{ 4+1 } }  = d =\frac{9}{ \sqrt{ 5} }

 

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