Esercizi sulla retta di geometria analitica in modo da esercitarsi e capire bene quest’argomento che ritornerà spesso durante il corso di studio.

ESERCIZIO N° 1

Determina l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A(\frac{1}{2}\frac{2}{5}). Verifichiamo inoltre se i punti B(\frac{5}{4}; 1) e C(2; 5) appartengono a tale retta.

ESERCIZIO N° 2

Scrivi l’equazione della retta , passante per l’origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta.

  1. A(-2 ; 0)     B(-2; 10)
  2. A(3; 2)       B(6; 4)

ESERCIZIO N° 3

Scrivi l’equazione delle rette disegnate nei grafici.

ESERCIZIO N° 4

Scrivi in forma implicita le seguenti equazioni.

y = 4x + 8;    y= 1 – 2x ;    y= \frac{3}{4} x – \frac{2}{3} ;   y= \frac{3}{5} x;  y=- \frac{1}{5}x + \frac{2}{3};  y= –\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}

ESERCIZIO N° 5

Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni.

3x-y + 3=0;  4x+2y= 0;  -2x + 5y = -1;  x + y – 1 =0

ESERCIZIO N° 6

In ciascuno dei seguenti casi, verifica se il punto P appartiene alla retta data.

1)P(3; 4)  r: 3x – 2y = 1

2)P(0; 10)  r: \frac{1}{2}y + 2x =5

3)P(1; \frac{1}{2})   r: 3x – y + 1 =0

SVOLGIMENTO

ESERCIZIO N° 1

Determina l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A(\frac{1}{2}\frac{2}{5}). Verifichiamo inoltre se i punti B(\frac{5}{4}; 1) e C(2; 5) appartengono a tale retta.

Poichè la retta che passa per l’origine ha equazione y=mx , vorrà dire che m=\frac{y}{x} quindi m = \frac{ \frac{2}{5}}{\frac{1}{2}} ⇒ m = \frac{2}{5} \cdot 2 = \frac{4}{5} .

La retta cercata è y= \frac{4}{5} x

Per verificare se i punti appartengono alla retta li andiamo a sostituire uno alla volta.

Verifichiamo prima B(\frac{5}{4}; 1) , dall’equazione  y= \frac{4}{5} x otteniamo 1=\frac{4}{5} \frac{5}{4} ⇒ 1=1 quindi il punto B appartiene alla retta.

Verifichiamo ora C(2; 5),dall’equazione  y= \frac{4}{5} x otteniamo 5=\frac{4}{5} • 2 ⇒ 5= \frac{8}{5}  quindi C non appartiene alla retta.

 

ESERCIZIO N° 2

Scrivi l’equazione della retta , passante per l’origine e per il punto A. Verifica se il punto B appartiene alla retta.

  1. A(-2 ; 0)     B(-2; 10)
  2. A(3; 2)       B(6; 4)

 1)A(-2; 0) 

passante per l’origine quindi y= mx ⇒   m=\frac{y}{x} quindi m = 0 perchè y è uguale a 0. La retta cercata è y=0.

Il punto  B(-2; 10) non appartiene alla retta lo si capisce senza effettuare sostituzioni perhè y non è zero.

2)A(3; 2)   

Passa per l’origine quindi l’equazione è  y= mx ⇒   m=\frac{y}{x} quindi m= \frac{2}{3} . La retta sarà y = \frac{2}{3} x.

Per vedere se il punto B appartiene alla retta andiamo a sostituire le sue coordinate nella retta e otteniamo 4 = \frac{2}{3} •6.

Quindi 4=4, ciò vuol dire che il punto appartiene alla retta.

ESERCIZIO N° 3

Scrivi l’equazione delle rette disegnate nei grafici.

ESERCIZIO N° 4

Scrivi in forma implicita le seguenti equazioni.

y = 4x + 8;    y= 1 – 2x ;    y= \frac{3}{4} x – \frac{2}{3} ;   y= \frac{3}{5} x;  y= \frac{1}{5}x + \frac{2}{3};  y= \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}

y = 4x + 8 ⇒ 4x – y + 8 =0

y= 1 – 2x  ⇒ 2x + y – 1 =0

y= \frac{3}{4} x – \frac{2}{3}  si fa il minimo comune multiplo che è 12 quindi avremo 12y = 9x -8 ⇒ 9x – 12y -8=0

y= \frac{3}{5} x ⇒ 5y = 3x ⇒ 3x – 5y =0

y=- \frac{1}{5}x + \frac{2}{3}  il minimo comune multiplo è 15 quindi 15y = – 3x +10 ⇒ 3x+15y – 10=0

y= \frac{1}{2}x + \frac{3}{4} il minimo comune multiplo è 4 quindi 4y = -2x + 3 ⇒ 2x + 4y – 3 = 0

ESERCIZIO N° 5

Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni.

3x-y + 3=0;  4x+2y= 0;  -2x + 5y = -1;  x + y – 1 =0

3x-y + 3=0 ⇒ y = 3x + 3

4x+2y= 0 ⇒ 2y = -4x ⇒ y = -\frac{4}{2}x ⇒ y = -2

-2x + 5y = -1 ⇒ 5y = 2x -1 ⇒  y = \frac{2}{5}x – \frac{1}{5}

x + y – 1 =0 ⇒  y = – x + 1

ESERCIZIO N° 6

In ciascuno dei seguenti casi, verifica se il punto P appartiene alla retta data.

1)P(3; 4)  r: 3x – 2y = 1

Per verificare bisogna vedere se le coordinate del punto soddisfino l’equazione e quindi bisogna sostituirle alle incognite x e y.

3(3)-2(4)=1 ⇒ 9-8 = 1 ⇒ 1=1

P appartiene alla retta

2)P(0; 10)  r: \frac{1}{2}y + 2x =5

\frac{1}{2}•(10) + 2 (0) = 5 ⇒ 5 =5

P appartiene alla retta

3)P(1; \frac{1}{2})   r: 3x – y + 1=0

3(1) – \frac{1}{2}  = -1 ⇒ 3 – \frac{1}{2} = – 1  ⇒ \frac{5}{2} = -1

P non appartiene alla retta

 

Programma di matematica secondo superiore