Equazioni biquadratiche

 

Un’equazione si dice biquadratica quando è di quarto grado e manca dei termini contenenti le potenze dell’incognita al grado dispari. La formula generale di tale equazione è:  ax^{4}+bx ^{2}+c=0, con a≠0.

In genere per risolvere questo tipo di equazione si abbassa il grado di essa sostituendo la ×² =t, in modo da calcolare l’equazione ausiliaria di secondo grado in t.

at² +bt + c=0.

Se il Δ<o non ci sono soluzioni reali.

Se il Δ≥0 l’equazione ausiliaria ha due soluzioni distinte e coincidenti, a sua volta effettuando nuovamente la sostituzione per passare da t a x si otterranno diverse soluzioni a seconda dei casi che si verificano.

Se le due radici sono entrambe positive si avranno quattro radici reali: x=± \sqrt{ t_{{1}}}   e   x=± \sqrt{ t_{{2}}}.

Una sola delle radici è positiva quindi l’equazione biquadratica avrà solo due soluzioni reali.

 

Se le radici sono entrambe negative , l’equazione biquadratica non ha soluzioni reali.

Per capire meglio consideriamo un esempio:

4x ^{4} -17x ^{2} +4=0

A questo punto riduciamo il grado dell’equazione ponendo x² = t allora sostituendo otteniamo:

4t² -17t +4=0

Δ = 289- 64 = 225>0

t_{{1}}=\frac{17 +\sqrt{225}}{8}\frac{17 +15}{8}= \frac{32}{8}= 4  ma x²= t quindi x²= 4 ⇒ x= ±2

t_{{2}}= \frac{17 -\sqrt{225}}{8}=\frac{17-15}{8} = \frac{2}{8}\frac{1}{4}  ma x²= t quindi x²=\frac{1}{4}⇒ x= ±\frac{1}{2}

A questo punto visto che le radici sono entrambe positive avremo quattro radici.

 

Programma di matematica secondo superiore