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Equazioni binomie e trinomie

 

Un’equazione si dice binomia se la sua forma normale è: ax ^{n}+b=0 dove n è un numero intero positivo e a è diverso da zero.

Ovviamente se n= 1 oppure è uguale a 2 allora l’equazione è riconducibile a una di primo grado o di secondo grado.

Negli altri casi bisogna esplicitare la x ^{n}= -\frac{a}{b} quindi x= \sqrt[n]{-\frac{a}{b}}

L’esistenza di soluzioni reali dipende dai valori che hanno a e b e dal valore dell’indice della radice.

Si possono distinguere due casi e cioè quelle in cui l’indice n è dispari, quindi le soluzioni esistono sempre. Per esempio  x^{3}+8=0 → x³ = -32 quindi x= \sqrt[3]{-8} = -2.

Oppure il caso in cui n è pari. In questo caso a sua volta dobbiamo considerare il caso in cui a e b hanno segni concordi, quindi l’equazione binomia non ha soluzioni reali. Dall’esempio lo capiamo:  x^{4}+16 =0 quindi x=\sqrt[4]{-16}, ma sappiamo che una radice con indice pari non può avere un radicando negativo.

Poi abbiamo il caso in cui a e b sono discordi quindi -\frac{b}{a} risulta essere un numero positivo, quindi l’equazione binomia ha due soluzioni reali e opposte. Per esempio :  x^{4} -16 =0 quindi x= ± \sqrt[4]{16} = 4.

 

Le equazioni trinomie sono quelle scritte nella forma:

 ax^{2n}+bx ^{n}+c=0 dove n è un numero interno e a≠0.

Con n= 2 si ottiene un’equazione biquadratica.

Ma per risolvere tali equazioni trinomie si usa lo stesso metodo che si usa per le equazioni biquadratiche. Il primo passaggio da fare è sostituire  x^{n} = t, in questo modo si abbassa il grado dell’equazione.

Per esempio:  x^{6}-28x ^{3}+27 =0

Poniamo  x^{3}= t e lo andiamo a sostituire nell’equazione trinomia e otteniamo:

t^{2} -28t + 27 =0

A questo punto ci calcoliamo le radici come una normale equazione di secondo grado completa.In questo caso possiamo usare la formula ridotta perchè il coefficiente della t è pari-

x_{{1}} = +14 + \sqrt{196- 27} = 14 – 13 = 1

x_{{2}}= 14 – \sqrt{196- 27}= 14 + 13 = 27

A questo punto andiamo a ritrasformare la t in x e otteniamo:

 x^{3} = 1 e  x^{3} = 27 quindi x = ±1 e x= ± 3

 

Programma di matematica secondo superiore

 

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