Equazioni di secondo grado complete, matematica secondo superiore

La risoluzione di un’equazione completa di secondo grado è:

x= $\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

Con questa formula si ottengono le soluzioni di qualsiasi equazione completa di secondo grado nella forma :

ax² + bx + c=0.

Ovviamente osservano la formula che permette di risolvere le equazioni di secondo grado si capisce che essa ha soluzioni reali solo se l’espressione b² – 4ac, che si trova sotto la radice quadrata, è un numero positivo o è zero. Perchè nell’insieme R non esiste la radice di un numero negativo.

Per questo motivo b² – 4ac, è detto discriminante dell’equazione e si indica con la lettera greca maiuscola Δ (delta).

Quindi importante da ora in poi che quando troviamo anche solo scritto Δ, si sta parlando di b² – 4ac.

Nello svolgere un’equazione si possono verificare tre casi:

Il discriminante è positivo quindi Δ = cioè b² – 4ac >0 e così otteniamo due soluzioni reali e distinte che sarebbero:

$x_{{1}}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$ e $x_{{2}}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$

Il discriminante è nullo quindi Δ = cioè b² – 4ac =0 e l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti, e dalla formula si ottiene:

$x_{{1}}$ = $x_{{2}}$ = $-\frac{b}{2a}$

Si dice anche che l’equazione ha una soluzione doppia.

Il discriminante è negativo, cioè Δ = cioè b² – 4ac <0, poichè il Δ è negativo e quindi sotto la radice non ci può essere un numero negativo, l’equazione non ha soluzioni reali e si dice impossibile nell’insieme R.

Vediamo alcuni esempi:

1)x² – 5x + 4= 0

Per meglio capire il procedimento facciamo un riepilogo dei valori che ci servono nella formula:

a= 1, b= -5, c=4

Δ= b² – 4ac = (-5)² -4(1)(4) 0 25 – 16 = 9

x= $\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$ ⇒ $x=\frac{5 \pm \sqrt{25-16} }{2}$

$x_{{1}}$ = $\frac{5 + \sqrt{9} }{2}$ = $\frac{5 +3 }{2}$ = $\frac{8 }{2}$ = 4

$x_{{2}}$ = $\frac{5 - \sqrt{9} }{2}$ = $\frac{5 -3 }{2}$ = $\frac{2 }{2}$ =1

Le soluzioni sono $x_{{1}}$ = 4 e $x_{{2}}$ = 1

2)x² – 6x + 9

a= 1, b= -6, c=9

Δ= b² – 4ac = 36 – 36 =0

Poichè il Δ=0 abbiamo due soluzioni reali coincidenti:

x= $\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}$ $x_=\frac{6 + \sqrt{0} }{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

$x_{{1}}$ = $x_{{2}}$ = 3 soluzione doppia

3)3x² – x + 5 = 0

a= 3 b= -1, c=5

Δ= b² – 4ac = 1 -4(3)(5) = 1 -60 = -59

Δ< 0 , l’equazione non ha soluzioni reali.

LA FORMULA RIDOTTA

La formula ridotta si può applicare se il coefficiente della b del termine in di primo grado sia un numero pari. Questa serbe semplicemente per semplificare i calcoli.

La formula è la seguente:

$x=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^{2}-ac} }{a}$

Il discriminante , cioè il Δ nella formula ridotta è la quarta parte del discriminante della formula normale e si indica con $\frac{\Delta }{4} =( \frac{b}{2})^{2} -ac$ .