Equazioni di secondo grado complete

 

La risoluzione di un’equazione completa di secondo grado è:

x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}

Con questa formula si ottengono le soluzioni di qualsiasi equazione completa di secondo grado nella forma :

ax² + bx + c=0.

Ovviamente osservano la formula che permette di risolvere le equazioni di secondo grado si capisce che essa ha soluzioni reali solo se l’espressione b² – 4ac, che si trova sotto la radice quadrata, è un numero positivo o è zero. Perchè nell’insieme R non esiste la radice di un numero negativo.

Per questo motivo b² – 4ac, è detto discriminante dell’equazione e si indica con la lettera greca maiuscola Δ (delta).

Quindi importante da ora in poi che quando troviamo anche solo scritto Δ, si sta parlando di b² – 4ac.

Nello svolgere un’equazione si possono verificare tre casi:

  • Il discriminante è positivo quindi Δ = cioè b² – 4ac >0 e così otteniamo due soluzioni reali e distinte che sarebbero:

x_{{1}}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}         e        x_{{2}}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}

  • Il discriminante è nullo quindi Δ = cioè b² – 4ac =0 e l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti, e dalla formula si ottiene:

x_{{1}}x_{{2}} = -\frac{b}{2a}

Si dice anche che l’equazione ha una soluzione doppia.

  • Il discriminante è negativo, cioè Δ = cioè b² – 4ac <0, poichè il Δ è negativo e quindi sotto la radice non ci può essere un numero negativo, l’equazione non ha soluzioni reali e si dice impossibile nell’insieme R.

 

Vediamo alcuni esempi:

1)x² – 5x + 4= 0

Per meglio capire il procedimento facciamo un riepilogo dei valori che ci servono nella formula:

a= 1, b= -5,  c=4

Δ= b² – 4ac = (-5)² -4(1)(4) 0 25 – 16 = 9

x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}  ⇒   x=\frac{5 \pm \sqrt{25-16} }{2}

x_{{1}}\frac{5 + \sqrt{9} }{2} \frac{5 +3 }{2}  = \frac{8 }{2}  = 4

x_{{2}}=\frac{5 - \sqrt{9} }{2}  = \frac{5 -3 }{2}  = \frac{2 }{2}  =1

Le soluzioni sono x_{{1}}= 4 e x_{{2}}= 1

2)x² – 6x + 9

a= 1, b= -6,  c=9

Δ= b² – 4ac = 36 – 36 =0

Poichè il Δ=0 abbiamo due soluzioni reali coincidenti:

x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}      x_=\frac{6 + \sqrt{0} }{2}  = \frac{6}{2} = 3

x_{{1}}= x_{{2}}= 3 soluzione doppia

3)3x² – x + 5 = 0

a= 3 b= -1,  c=5

Δ= b² – 4ac = 1 -4(3)(5) = 1 -60 = -59

Δ< 0 , l’equazione non ha soluzioni reali.

LA FORMULA RIDOTTA

La formula ridotta si può applicare se il coefficiente della b del termine in di primo grado sia un numero pari. Questa serbe semplicemente per semplificare i calcoli.

La formula è la seguente:

x=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^{2}-ac} }{a}

Il discriminante , cioè il Δ nella formula ridotta è la quarta parte del discriminante della formula normale e si indica con  \frac{\Delta }{4} =( \frac{b}{2})^{2} -ac.

Facciamo degli esempi:

1)x² – 6x + 10=0

la b è pari quindi si può applicare la formula ridotta.

a= 1, b= -6,  c=10

\frac{\Delta }{4} =( \frac{b}{2})^{2} -ac. = (\frac{6}{2})² – 1(10)= 9 – 10 = -1

Δ<0  quindi l’equazione non ha soluzioni reali.

2)3x² -4x +1=0

la b è pari quindi si può applicare la formula ridotta.

a= 3, b= -4,  c=1

\frac{\Delta }{4} =( \frac{b}{2})^{2} -ac =( -\frac{4}{2})² – (3)(1)= 4-1_=3

x=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^{2}-ac} }{a}

x_{{1}}=\frac{2 + \sqrt{4-3} }{3}  = x_{{1}}=\frac{2 +1 }{3}  = 1

x_{{2}}=\frac{2 - \sqrt{4-3} }{3} x_{{2}}=\frac{2 -1 }{3} x_{{2}}=\frac{2 -1 }{3}  = \frac{1}{3}

Le soluzioni sono x_{{1}}=1 3 e x_{{2}} =\frac{1}{3}

Vedi gli esercizi

 

Programma di matematica secondo superiore