Le equazioni di secondo grado

 

Un’ equazione è di secondo grado o quadratica se l’esponente maggiore con cui compare la x  nella forma normale è 2. Quindi si ha ax²+bx + c =0 con a≠0 perchè altrimenti l’equazione diventa di primo grado. Le lettere a,b,e c sono dei numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione, invece c si può chiamare anche termine noto.

Un’equazione di secondo grado si dice incompleta quando il coefficiente b o il coefficiente c, o entrambi sono uguali a zero.

A seconda del coefficiente che manca l’equazione di secondo grado prende un nome diverso:

  • se b= 0, cioè manca il termine della x e quindi avremo ax²+c=0, l’equazione si dice pura;
  • se c =0, cioè manca il termine note, avremo ax²+bx=0, l’equazione si dice spuria;
  • se b=0 e anche c=0 allora abbiamo solo ax²=0, l’equazione si dice monomia.

Le equazioni di secondo grado non si risolvono ome quelle di primo grado ma hanno un procedimento diverso anche perchè la x al quadrano non si può sommare con la x semplice.

Consideriamo le diverse equazioni:

Equazioni pure

Tali equazioni sono quelle in cui manca la b che è accanto alla x di primo grado quindi ax²+c=0 con .

Possiamo avere due casi:

  • quello in cui a e c hanno segno opposto quindi avremo ax²-c=0 ⇒ x²= \frac{c}{a} ⇒ x= ±\sqrt{\frac{c}{a}}, in questo caso l’equazione ha due soluzioni opposte.

Per esempio :

x² – 4=0

x² = 4 ⇒ x= ± \sqrt{4} ⇒ x= ±2

  • quello in cui a e c sono concordi quindi  ax²+ c=0, avremo x²=- \frac{c}{a} ⇒ x= ± \sqrt{-\frac{c}{a}} in questo caso poichè una radice non può essere main negativa, l’equazione non ha soluzioni reali.

Per esempio:

x² + 16 = 0

x² = – 16 ma a questo punto non esiste la radice di un numero negativo quindi non si può procedere perchè ciò è impossibile in R.

 

Equazioni spurie

Nelle equazioni spurie manca il termine noto quindi ci troviamo in una situazione del genere: ax²+bx=0 con a,b diversi da zero.

Per risolvere questo tipo di equazione si mette in evidenza la x e avremo x(ax+b)=0 quindi l’equazione di secondo grado si è trasformata nel prodotto di due fattori uguagliato a zero. Per la legge dell’annullamento del prodotto almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero, quindi dovremo avere :

x=0 oppure  ax+b=0

Queste due equazioni risolte separatamente danno il risultato dell’equazione spuria.

x_{{1}}= 0 e x_{{2}} = -\frac{b}{a}

Possiamo quindi affermare che un’equazione spuria ha sempre due soluzioni reali, una delle quali è nulla.

Consideriamo un esempio:

x² – 3x =0 metto in evidenza la x e ottengo:

x(x -3) =0

le soluzioni saranno x= 0 e  x-3=0⇒ x=3

Equazioni monomie

In questo tipo di equazioni manca sia il termine di primo grado sia il termine noto quindi si ha solo ax²=0.con a≠0.

Questo tipo di equazione ha una sola soluzione cioè x=0. Di solito si dice che un’equazione monomia di secondo grado ha due soluzioni coincidenti x_{{1}}=x_{{2}}=0, che si può dire anche soluzione doppia.

Per esempio :

2x²=0

x²=0 ⇒ x=0

Vedi gli esercizi

 

Programma di matematica secondo superiore