Un’ equazione è di secondo grado o quadratica se l’esponente maggiore con cui compare la x  nella forma normale è 2. Quindi si ha ax²+bx + c =0 con a≠0 perchè altrimenti l’equazione diventa di primo grado. Le lettere a,b,e c sono dei numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione, invece c si può chiamare anche termine noto.

Un’equazione di secondo grado si dice incompleta quando il coefficiente b o il coefficiente c, o entrambi sono uguali a zero.

A seconda del coefficiente che manca l’equazione di secondo grado prende un nome diverso:

  • se b= 0, cioè manca il termine della x e quindi avremo ax²+c=0, l’equazione si dice pura;
  • se c =0, cioè manca il termine note, avremo ax²+bx=0, l’equazione si dice spuria;
  • se b=0 e anche c=0 allora abbiamo solo ax²=0, l’equazione si dice monomia.

Ovviamente ci sono anche le equazioni complete trattate in un altra pagina.

Le equazioni di secondo grado non si risolvono come quelle di primo grado ma hanno un procedimento diverso anche perchè la x al quadrano non si può sommare con la x semplice.

Consideriamo le diverse equazioni:

Equazioni pure

Tali equazioni sono quelle in cui manca la b che è accanto alla x di primo grado quindi ax²+c=0 con .

Possiamo avere due casi:

  • quello in cui a e c hanno segno opposto quindi avremo ax²-c=0 ⇒ x²= \frac{c}{a} ⇒ x= ±\sqrt{\frac{c}{a}}, in questo caso l’equazione ha due soluzioni opposte.

Per esempio :

x² – 4=0

x² = 4 ⇒ x= ± \sqrt{4} ⇒ x= ±2

  • quello in cui a e c sono concordi quindi  ax²+ c=0, avremo x²=- \frac{c}{a} ⇒ x= ± \sqrt{-\frac{c}{a}} in questo caso poichè una radice non può essere main negativa, l’equazione non ha soluzioni reali.

Per esempio:

x² + 16 = 0

x² = – 16 ma a questo punto non esiste la radice di un numero negativo quindi non si può procedere perchè ciò è impossibile in R.

 

Equazioni spurie

Nelle equazioni spurie manca il termine noto quindi ci troviamo in una situazione del genere: ax²+bx=0 con a,b diversi da zero.

Per risolvere questo tipo di equazione si mette in evidenza la x e avremo x(ax+b)=0 quindi l’equazione di secondo grado si è trasformata nel prodotto di due fattori uguagliato a zero. Per la legge dell’annullamento del prodotto almeno uno dei due fattori deve essere uguale a zero, quindi dovremo avere :

x=0 oppure  ax+b=0

Queste due equazioni risolte separatamente danno il risultato dell’equazione spuria.

x_{{1}}= 0 e x_{{2}} = -\frac{b}{a}

Possiamo quindi affermare che un’equazione spuria ha sempre due soluzioni reali, una delle quali è nulla.

Consideriamo un esempio:

x² – 3x =0 metto in evidenza la x e ottengo:

x(x -3) =0

le soluzioni saranno x= 0 e  x-3=0⇒ x=3

Equazioni monomie

In questo tipo di equazioni manca sia il termine di primo grado sia il termine noto quindi si ha solo ax²=0.con a≠0.

Questo tipo di equazione ha una sola soluzione cioè x=0. Di solito si dice che un’equazione monomia di secondo grado ha due soluzioni coincidenti x_{{1}}=x_{{2}}=0, che si può dire anche soluzione doppia.

Per esempio :

2x²=0

x²=0 ⇒ x=0

Vedi gli esercizi

 

Programma di matematica secondo superiore