Esercizi disequazioni di secondo grado

 

Esercizio

Esegui le seguenti disequazioni di secondo grado.

1)2x²  – 5x -3 > 0

2)-x² + x + 2  > 0

3)x² – 36 ≤ 0

4)3x² – 2x + 4  > 0

5)9x² – 12x + 4 <0

6)x² – 4x + 4  ≤ 0

7)x² – \frac{13}{6}x + 1 <0

8)x² – \frac{7}{4}x – \frac{15}{8}> 0

9)x² + 10x + 34  <0

10)9x² – 30x + 25 >0

11)81x² + 18x + 1 ≤ 0

12)4x² – 12x + 9≥ 0

13)3(x – 1)(x + 3)  >7 + 2(3x – 2)

14)(x + 5)² – (x-1)(2x +1)  > 13(x +2)

15)[ x²-(1 – x²) ](1 – 2x)+10 < 3(x -1) +x(1 – x)

16)[x -4(1 -x) + 2 ](1 -x)< x -2(1 – 2x)

17)\frac{1}{3}(x +1) + \frac{3}{4}(x – 1) <(x -3)² + 1

18)(\frac{x}{2} + 1)² – \frac{5}{4} > \frac{5}{8}x

19)2(x+5)² – (x -3)(x+3) >2(6x + 5) +22x

20)(x +5)² -8(-x -5) + (-4)² ≤0

SVOLGIMENTO

 

Esercizio

Esegui le seguenti disequazioni di secondo grado.

1)2x² – 5x -3 > 0

Prima di tutto ci calcoliamo il discriminante, cioè il delta (Δ)= b² – 4ac = (-5)² -4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 

Considero l’equazione associata:

2x² – 5x -3=0

La regola per calcolarci le radici è x= \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}  

x_{{1}}=\frac{5+\sqrt{49}}{4} = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3

x_{{2}}=\frac{5-\sqrt{49}}{4}\frac{5-7}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}

Poichè questa disequazione è maggiore di zero con  a>0 e il Δ> 0 , le soluzioni apparterranno all’intervallo esterno, quindi x<-\frac{1}{2} e x> 3

2)-x² + x + 2  > 0

rendiamo a >0, per fare ciò cambiamo i segni a tutti e invertiamo il segno della disequazione. Ottenendo:

x² – x – 2  < 0

Δ= 1 +8 = 9>0

Considero l’equazione associata:

x² – x – 2 =0

x_{{1}}\frac{1 + \sqrt{9}}{2} =  \frac{1 +3}{2} = 2

x_{{2}}= \frac{1 -\sqrt{9}}{2}=\frac{1 -3}{2} = -1

Quindi a l’abbiamo resa >0, il Δ>0, disequazione <0  allora le soluzioni apparterranno all’intervallo interno. Quindi avremo che x è compreso tra -1 e 2 e si scrive  -1< x<2

3)x² – 36 ≤ 0 Scriviamo l’equazione associata:

x²= 36  quindi x =± \sqrt{36}  quindi x = ±6

A questo punto poichè la a>0, il Δ>0 e la disequazione è  ≤ 0 le soluzioni sono interne , quindi -6≤ x≤ 6

4)3x² – 2x + 4  > 0

Δ= 1 – 12 = -11<0 

Scriviamo l’equazione associata:

3x² – 2x + 4 =0

Quindi disequazione > 0, Δ<0   il risultato è tutto R.

5)9x² – 12x + 4 <0

Δ= 144 – 144 =0

Scriviamo ‘equazione associata:

9x² – 12x + 4=0

x= \frac{12}{18} = \frac{2}{3}

a>0, Δ=0, disequazione <0 nessun valore di x è soluzione della disequazione.

6)x² – 4x + 4  ≤ 0

\frac{\Delta }{4}= 4-4=0

Scriviamo l’equazione associata:

x² – 4x + 4=0

x= 2

a>0, Δ=0, disequazione ≤0 . Non esiste soluzione ad eccezione di x=2

 

7)x² – \frac{13}{6}x + 1 <0

6x² -13x +6  <0

Δ=169- 144=25>0

Scriviamo l’equazione associata:

6x² -13x +6 =0

x_{{1}}\frac{13+\sqrt{25}}{12} =\frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}

x_{{2}}=\frac{13-\sqrt{25}}{12} = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

Poichè a>0, Δ>0, disequazione <0, le soluzioni saranno interne. Quindi \frac{2}{3}<x<\frac{3}{2}

8)x² – \frac{7}{4}x – \frac{15}{8}> 0

Considero l’equazione associata:

x² – \frac{7}{4}x – \frac{15}{8}=0

\frac{\Delta }{4}= 49 + 120 = 169 

x_{{1}}=\frac{7 + \sqrt{169}}{8} = \frac{7 +13}{8} = \frac{20}{8}\frac{5}{2}

x_{{2}}=\frac{7 - \sqrt{169}}{8}\frac{7 -13}{8}-\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}

Visto che a>0, il Δ>0 e la disequazione >0 le soluzioni sono esterne quindi: x< -\frac{3}{4}, x> \frac{5}{2}

9)x² + 10x + 34  <0

L’equazione associata è:

x² + 10x + 34 =0

\frac{\Delta }{4}= 25 – 34 = -9<0

Quindi a>0, Δ<0, disequazione <0 Non esistono soluzioni.

10)9x² – 30x + 25 >0

L’equazione associata è:

9x² – 30x + 25=0

\frac{\Delta }{4}= 225 – 225 =0

x = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}

Quindi a>0, Δ=0, disequazione >0 le soluzioni saranno tutte escluso \frac{5}{3}

11)81x² + 18x + 1 ≤ 0

L’equazione associata è:

81x² + 18x + 1

\frac{\Delta }{4}= 81 – 81 =0

x= -\frac{9}{81} = -\frac{1}{9}

a>0 , Δ=0 , disequazione ≤ 0 l’unica soluzione è x= -\frac{1}{9}

12)4x² – 12x + 9≥ 0

L’equazione associata è:

4x² – 12x + 9=0

\frac{\Delta }{4}= 36 – 36 =0

a>0 , Δ=0 , disequazione≥ 0 le soluzioni sono tutto R

13)3(x – 1)(x + 3)  >7 + 2(3x – 2)

(3x – 3)(x + 3) > 7 + 6x – 4

3x² + 9x – 3x – 9 > 7 + 6x – 4

3x² + 6x6x – 9 – 7 + 4 > 0

3x² – 12 >0

x² – 4 >0

L’equazione associata è x²=4 quindi x= ±2

a>0 , Δ>0, disequazione >0 soluzioni esterne, quindi x <-2 e x>2

14)(x + 5)² – (x-1)(2x +1)  > 13(x +2)

x² + 25 + 10x – (2x² + x – 2x – 1) > 13x + 26

x² +25 + 10x -2x² – x + 2x + 1 > 13x + 26

-x² + 11x – 13x + 2626 >0

-x² – 2x >0, cambiamo i segni :

x² +2x <0.

L’equazione associata è:

x² +2x=0 metto in evidenza la x e ottengo: x(x +2)=0

Le soluzioni saranno x= 0 e x+2=0 ⇒x=-2

ma a>0 , Δ>0, disequazione <0, le soluzioni saranno interne quindi -2<x<0

15)[ x²-(1 – x²) ](1 – 2x)+10 < 3(x -1) +x(1 – x)

[x²-(1 + x² – 2x)](1 – 2x) + 10 < 3x – 3 + x – x²

[-1 –  + 2x)](1-2x)+10 <4x – 3 – x²

(-1 +2x)(1-2x)+10 <4x – 3 – x²

-1 + 2x + 2x – 4x² + 10 – 4x + 3 + x²<0

-3x² +12 <0

x² – 4 >0 . L’equazione associata è:

x² – 4 =0 ⇒ x= ±\sqrt{4} quindi x = ±2

ma a>0 , Δ>0, disequazione >0 , le soluzioni saranno esterne. Quindi x<-2, x>2

 

16)[x -4(1 -x) + 2 ](1 -x)< x -2(1 – 2x)

[x -4+4x +2 ](1 -x)< x – 2 + 4x

(5x -2)(1 – x)< 5x – 2

5x – 5x² – 2 + 2x <5x – 2

-5x² + 2x <0

5x² – 2x >0

x(5x – 2)>0  L’equazione associata e:

x(5x – 2)=0. Quindi le soluzioni sono x=0 e 5x-2=0⇒x= \frac{2}{5}

ma a>0 , Δ>0, disequazione >0. Le soluzioni sono esterne, quindi x<0 e x>\frac{2}{5}

17)\frac{1}{3}(x +1) + \frac{3}{4}(x – 1) <(x -3)² + 1

\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\frac{3}{4}x – \frac{3}{4}< x² + 9 – 6x + 1

\frac{4x + 4 + 9x - 9 - 12x ^{2} - 108 + 72x - 12}{12}<0

-12x² + 85x – 125 <0

12x² – 85x + 125>0

Δ= 7225 – 6000= 1225

x_{{1}}\frac{85 + \sqrt{1225}}{24} = \frac{85+35}{24}\frac{120}{24}= 5

x_{{2}}=\frac{85 - \sqrt{1225}}{24}\frac{85-35}{24}\frac{50}{24}\frac{25}{12}

ma a>0 , Δ>0, disequazione >0. Le soluzioni sono esterne, quindi x< \frac{25}{12} e x>5

18)(\frac{x}{2} + 1)² – \frac{5}{4} > \frac{5}{8}x

\frac{x ^{2}}{4} + 1 + x – \frac{5}{4}\frac{5}{8}x

2x² + 8 + 8x – 10 > 5x

2x² + 3x – 2 >0

L’equazione associata è:

2x² + 3x – 2=0

Δ= 9 + 16 =25

x_{{1}}\frac{-3 + \sqrt{25}}{4}\frac{-3 +5}{4} = \frac{1}{2}

x_{{2}}\frac{-3 - \sqrt{25}}{4}\frac{-3 -5}{4}=-2

ma a>0 , Δ>0, disequazione >0. Le soluzioni sono esterne, quindi x< -2 e x>\frac{1}{2}

19)2(x+5)² – (x -3)(x+3) >2(6x + 5) +22x

2(x² + 25 + 10x) – ( x² -9) > 12x + 10  + 22x

2x² + 50 + 20x – x² + 9 > 12x + 10 + 22x

x² + 20x – 34x +49 >0

x² – 14x + 49 >0

L’equazione associata è:

x² – 14x + 49=0

\frac{\Delta }{4}= 49 -49=0

x=7

ma a>0 , Δ=0, disequazione >0. Le soluzioni sono tutto R escluso x=7

20)(x +5)² -8(-x -5) + (-4)² ≤0

x² + 25 + 10x + 8x + 40 + 16 ≤0

x² + 18x + 81 ≤0 L’equazione associata è:

x² + 18x + 81=0

\frac{\Delta }{4}= 81 -81=0

x= -9

ma a>0 , Δ=0, disequazione≤0 La soluzione è solo x= -9

 

Programma di matematica secondo superiore