Disequazioni di secondo grado

 

Una disequazione, ad una sola incognita, si dice di secondo grado , quando è riconducibile alla forma :

ax²+bc + c>0 oppure <0 dove a,b e c sono numeri reali con a≠0, altrimenti la disequazione non sarebbe più di secondo grado.

Per praticità consideriamo sempre i casi in cui a>0, se non fosse così cambiamo tutti i segni di a,b e c e il verso della disequazione in modo da rendere a>0.

Per studiare una disequazione di secondo grado si deve considerare l’equazione associata e cioè ax²+bc + c=0.

Adesso consideriamo separatamente i due casi e cioè: ax²+bc + c>0 e ax²+bc + c<0

Disequazione  ax²+bc + c>0  con a>0.

Le soluzioni sono quei valori che rendono positivo il trinomio;. per determinarla si considera l’equazione associata:

ax²+bc + c=0

Se Δ>0 l’equazione ha due soluzioni x_{{1}} e x_{{2}}.

Poichè partiamo dal presupposto che a>0, la disequazione è verificata dai valori di x che appartengono all’intervallo esterno delle due soluzioni, quindi le soluzioni esterne sono x<x_{{1}} e x>x_{{2}}.

Se Δ=0 l’equazione ha una soluzione doppia che chiamiamo x_{{0}}. La disequazione è verificata per qualsiasi valore di x escluso x= x_{{0}}

Se Δ<0 l’equazione non ha soluzioni reali. La disequazione è verificata per qualsiasi valore di x.

Quando la disequazione è anche ≥  se il Δ=0 la disequazione è verificata per qualsiasi valore di R , senza escludere nulle

 

Disequazione ax²+bc + c<0 con a>0.

Le soluzioni sono i valori di x che rendono negativo il trinomio, anche in questo caso per determinarle si ricorre all’equazione associata: ax²+bc + c=0

Se Δ>0 l’equazione ha due soluzioni x_{{1}} e x_{{2}}.

La disequazione è verificata dai valori di x che appartengono all’intervallo interno delle due soluzioni . Quindi le soluzioni interne sono x_{{1}}<x<x_{{2}}

Se Δ=0 l‘equazione ha una soluzione doppia che chiamiamo x_{{0}}. La disequazione è verificata da nessun valore di x , cioè non ha soluzioni reali.

Se Δ<0 l’equazione non ha soluzioni reali. La disequazione è verificata da nessun valore di x , cioè non ha soluzioni reali.

Quando la disequazione è anche ≤ se il Δ=0 la disequazione è verificata, ha soluzione sono per x_{{0}}.

Per capire meglio ci sono tanti esercizi svolti.

Vedi gli esercizi

 

Programma di matematica secondo superiore