Esercizi equazioni parametriche

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Esercizi sulle equazioni parametriche.

Esercizio n° 1

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

x² – (k +1)x + 1=0

ammette due soluzioni reali  e coincidenti.

Esercizio n° 2

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

x² – 5kx + 2k – 3=0

ha una soluzione x=2

Esercizio n° 3

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

3x² – 5x + k – 6 =0

ammette due soluzioni reciproche

Esercizio n° 4

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

3x² + (2k – 1)x + k – 2 =0

ammette due soluzioni la cui somma è 13

Esercizio n° 5

Data l’equazione parametrica 

kx² + 2(k + 1)x + k + 1 =0

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le due soluzioni sono reali e distinte;

b) una delle soluzioni è x=0;

c) la somma delle soluzioni è uguale a -8;

d) il prodotto delle soluzioni è maggiore di 2.

Esercizio n° 6

Data l’equazione parametrica 

3x² – 2(3k + 2)x +8k =0

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le soluzioni sono reali e distinte;

b) una radice è uguale a 1.

Esercizio n° 7

Data l’equazione parametrica 

kx² – (2k – 1)x + k – 3 =0  con k≠0

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) la somma delle radici è minore di 2;

b) il prodotto delle radice è uguale a 4.

 

Esercizio n° 8

Data l’equazione parametrica 

(k-1)x² -2 (k + 1)x + k +3 =0 

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) la somma delle radici è positiva;

b) il prodotto delle radici è negativo;

Esercizio n° 9

Data l’equazione parametrica 

mx² +2 (3 – m)x -12 =0 con m≠0

determina per quali valori del parametro m sono verificate le seguenti condizioni:

a) le radici sono reali;

b) le radici sono uguali;

c) le radici sono opposte;

d) le radici sono reciproche;

e) una radice è nulla.

Esercizio n° 10

Data l’equazione parametrica 

x² -2 (k – 2)x +k² – 3k =0 

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le soluzioni non sono reali;

b) una radice è nulla;

c) il prodotto è negativo;

d) la somma dei quadrati delle radici è uguale a 4.

Esercizio n° 11

Data l’equazione parametrica 

(k² -1 ) x² -4kx + 4=0   con k≠±1

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le radici sono reali e distinte;

b) le radici sono uguali;

c) le radici sono opposte;

d) le radici sono reciproche;

e) la somma dei reciproci delle radici è uguale a 12.

 

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

x² – (k +1)x + 1=0

ammette due soluzioni reali  e coincidenti.

Si pone il Δ=0  ma il Δ=b² – 4ac quindi Δ=(k + 1) ² – 4 quindi k² + 1+ 2k – 4=0

k² + 2k – 3=0   a questo punto calcoliamoci la k con la formula ridotta

k= -1 ± \sqrt{4} = -1 ± 2

x_{{1}}= 1;  x_{{2}} = -3

Esercizio n° 2

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

x² – 5kx + 2k – 3=0

ha una soluzione x=2.

Si sostituisce 2 alle x dell’equazione, ottenendo:

4 – 10k + 2k – 3=0

-8k + 1 =0 ⇒ k= \frac{1}{8}

Esercizio n° 3

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

3x² – 5x + k – 6 =0

ammette due soluzioni reciproche.

Quindi x_{{1}}= \frac{1}{x_{{2}}} cioè x_{{1}} •x_{{2}} = 1

sappiamo che il prodotto delle radici corrisponde a \frac{c}{a} quindi abbiamo:

\frac{c}{a}= 1 andiamo a sostituire i dati dell’equazione cioè c= k – 6  e a=3.

\frac{k-6}{3}=1  ⇒  k – 6 = 3  ⇒ k= 9

Esercizio n° 4

Determina per quali valori del parametro k l’equazione 

3x² + (2k – 1)x + k – 2 =0

ammette due soluzioni la cui somma è 13.

Quindi x_{{1}} +x_{{2}} = 13 poichè la somma è uguale a -\frac{b}{a} possiamo scrivere anche:

-\frac{b}{a}= 13 quindi \frac{-(2k-1)}{3}= 15  ⇒ -2k + 1 = 45 ⇒  -2k = 44 quindi k= -22

Esercizio n° 5

Data l’equazione parametrica 

kx² + 2(k + 1)x + k + 1 =0

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le due soluzioni sono reali e distinte;

b) una delle soluzioni è x=0;

c) la somma delle soluzioni è uguale a -8;

d) il prodotto delle soluzioni è maggiore di 2.

SVOLGO

a) si pone il Δ >0, poichè il coefficiente della x è un numero pari facciamo il \frac{\Delta }{4}.

\frac{\Delta }{4} = (k +1)² -k(k+1) 

(k +1)² -k(k+1) >0   ⇒   k² + 1 + 2k – k² – k >0    ⇒   k + 1 >0 quindi k > – 1

b) vuol dire che x=0 , quindi vado a sostituire lo 0 nelle x e ottengo:

0 + 0 + k +1=0 ⇒ k= -1

c) x_{{1}} +x_{{2}} = – 8  poichè la somma è uguale a -\frac{b}{a} possiamo scrivere anche:

-\frac{b}{a}= – 8 quindi andando a sostituire otteniamo \frac{-2(k+1) }{k} = -8   ⇒ -2k – 2 =-8k  ⇒   6k = 2 quindi k = \frac{1 }{3}

d) x_{{1}} •x_{{2}} >2 quindi  \frac{c}{a}>2 andando a sostituire otteniamo: \frac{k + 1 }{k}  >2

\frac{k + 1-2k }{k}  > 0 , a questo punto facciamo un falso sistema tra:

-k + 1> 0 ⇒ k < 1

k> 0  

Si prendono le soluzioni positive quindi  0< x< 1

Esercizio n° 6

Data l’equazione parametrica 

3x² – 2(3k + 2)x +8k =0

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le soluzioni sono reali e distinte;

b) una radice è uguale a 1.

SVOLGO

a) Si pone il Δ >0, visto che il coefficiente della x è pari, allora facciamo il \frac{\Delta }{4}= (3k + 2)² – 24

3k² + 12k + 4 – 24 >0  ⇒  3k² + 12k + 28 >0  a questo punto ci calcoliamo i valori delle k con la formula ridotta, facendoci prima il \frac{\Delta }{4}= 36 – 84 < 0 quindi non esiste k ∈R.

b) x= 1, vado a sostituire l’uno alle x e ottengo:

3 – 2(3k +2)1 + 8k =0  ⇒ 3 – 6k – 4 + 8k =0    ⇒ 2k – 1 = 0 quindi k=\frac{1}{2}

 

Esercizio n° 7

Data l’equazione parametrica 

kx² – (2k – 1)x + k – 3 =0  con k≠0

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) la somma delle radici è minore di 2;

b) il prodotto delle radice è uguale a 4.

SVOLGO

a) x_{{1}} +x_{{2}} < 2  quindi -\frac{b}{a}< 2 e sostituendo otteniamo:

\frac{2k - 1}{k} < 2  facendo il m.c.m. otteniamo : \frac{2k - 1-2k}{k}< 0  ⇒ \frac{- 1}{k}< 0   ⇒ \frac{ 1}{k} > 0 quindi k> 0

b) x_{{1}} •x_{{2}} = 4  quindi \frac{ c}{a} =4 sostituendo otteniamo:

\frac{ k -3}{k}=4 quindi k – 3 =4k ⇒  3k = -3 qundi k = -1 che non è accettabile perchè non è reale.

Esercizio n° 8

Data l’equazione parametrica 

(k-1)x² -2 (k + 1)x + k +3 =0 

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) la somma delle radici è positiva;

b) il prodotto delle radici è negativo;

 

SVOLGO

a) x_{{1}} +x_{{2}} >0 quindi -\frac{b}{a}>0 andando a sostituire otteniamo:

\frac{ 2(k +1)}{k-1} >0  svolgiamo un falso sistema tra:

k + 1 >0 ⇒ k> -1  

k – 1 >0 ⇒ k > 1

si prendono le soluzioni positive quindi k< -1 e k > 1

b) x_{{1}} •x_{{2}} < 0  quindi \frac{ c}{a}< 0 , andando a sostituire otteniamo:

\frac{ k + 2}{k - 1} < 0 svolgiamo un falso sistema tra:

k+2 >0 ⇒ k > -2 

k – 1 >0 ⇒ k > 1

si prendono le soluzioni negative quindi -2 < x < 1

 

Esercizio n° 9

Data l’equazione parametrica 

mx² +2 (3 – m)x -12 =0   con  m≠0

determina per quali valori del parametro m sono verificate le seguenti condizioni:

a) le radici sono reali;

b) le radici sono uguali;

c) le radici sono opposte;

d) le radici sono reciproche;

e) una radice è nulla.

SVOLGO

a) si pone Δ ≥ 0, visto che il coefficiente della x è pari facciamo il \frac{\Delta }{4} = \frac{(3-m) ^{2 }+12m}{m}

\frac{(3-m) ^{2 }+12m}{m} ≥ 0  ⇒   \frac{9+m ^{2 }- 6m+12m}{m} ≥  0

m² + 6m + 9 ≥ 0  ⇒  il \frac{\Delta }{4}= 9 – 9 quindi Δ=0 , disequazione  ≥ 0 quindi la soluzione è per ogni x ∈R.

b) x_{{1}}= x_{{2}} quindi poniamo Δ= 0 , visto che il coefficiente della x è pari facciamo il \frac{\Delta }{4}= 9 – 9 =0 quindi         -(3-m )± 0 quindi -3 + m =0 ⇒  m = 3

c) x_{{1}}= –  x_{{2}}  ⇒ x_{{1}}+ x_{{2}} = 0  quindi -\frac{b}{a} = 0  sostituendo otteniamo:

\frac{-2(3 - m)}{m} = 0 ⇒  – 6 + 2m = 0 ⇒  m = 3

d) x_{{1}}= \frac{1}{x_{{2}}} cioè x_{{1}} •x_{{2}} = 1 sostituendo otteniamo:

\frac{c}{a} =1 ⇒ \frac{-12}{m}= 1  ⇒  m = -12

e) x= 0   quindi sostituisco lo 0 alle x e ottengo:

0 + 0 – 12 = 0  quindi è impossibile e non esistono m ∈ R 

Esercizio n° 10

Data l’equazione parametrica 

x² -2 (k – 2)x +k² – 3k =0 

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le soluzioni non sono reali;

b) una radice è nulla;

c) il prodotto è negativo;

d) la somma dei quadrati delle radici è uguale a 4.

SVOLGO

a) Δ<0 , visto che il coefficiente della x è pari facciamo il \frac{\Delta }{4} = (k – 2)² – (k² – 3k)

(k – 2)² – (k² – 3k) <0  ⇒  k² + 4 – 4k –  k² + 3k <0  ⇒  -k < – 4  ⇒  k > 4

b) x=0, sostituiamo lo 0 alle x e otteniamo:

0 – 0 + k² -3k =0  quindi k(k – 3)=0  le soluzioni sono k=0 e k=3

c) x_{{1}}•x_{{2}}< 0   quindi \frac{c}{a} < 0

k² – 3k  < 0  quindi k(k – 3) < 0  faccio il falso sistema tra:

k> 0

k – 3> 0 quindi k > 3

Si prendono le soluzioni negative quindi 0<k< 3.

d) x_{{1}} ^{2} + x_{{2}} ^{2} = 4²  quindi  (-\frac{b}{a}) ^{2} - 2 \frac{c}{a} = 4²

[ 2(k -2)]² – 2(k² – 3k) = 16

[ 2k – 4]² -2k²  + 6k = 16

4k² + 16  – 16k – 2k² + 6k = 16

2k² – 10k =0 ⇒  2k( k – 5) =0

le soluzioni sono k=0 e k=5, ma k=5 non è accettabile  perchè per k> 4 le soluzioni non sono reali

Esercizio n° 11

Data l’equazione parametrica 

(k² -1 ) x² -4kx + 4=0   con k≠±1

determina per quali valori del parametro k sono verificate le seguenti condizioni:

a) le radici sono reali e distinte;

b) le radici sono uguali;

c) le radici sono opposte;

d) le radici sono reciproche;

e) la somma dei reciproci delle radici è uguale a 12.

SVOLGO

a)Δ > 0, poichè il coefficiente della x è pari facciamo il \frac{\Delta }{4} = 4k² – 4(k² – 1)

4k² – 4k² + 4 >0   per ogni k ∈ R 

b) x_{{1}}= x_{{2}}  quindi Δ = 0    4=0 è impossibile quindi non esiste k ∈ R 

c)x_{{1}}= –  x_{{2}}  ⇒x_{{1}}+ x_{{2}} =0  quindi  -\frac{b}{a} =0 andando a sostituire otteniamo:

\frac{4k}{k^{2} -1 }  =0 quindi k=0

d) x_{{1}}= \frac{1}{x_{{2}}} cioè x_{{1}} •x_{{2}} = 1 sostituendo otteniamo:

\frac{c}{a} =1 ⇒ \frac{4}{k^{2} -1 } =1 ⇒  4= k² – 1 ⇒  k² = 5 svolgendola otteniamo k = ± \sqrt{5}

e) \frac{1}{x_{{1}}}+\frac{1}{x_{{2}}}= 12   che si può scrivere come -\frac{b}{c} = 12 quindi  \frac{4k}{4} =12 ⇒ k= 12

 

Programma di matematica secondo superiore

 

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