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Equazioni parametriche

 

Le equazioni parametriche sono quelle equazioni letterali , dove il valore di una lettera sia tale da rendere vera una condizione. Quindi è quella equazione che ridotta in forma normale ha tutti i coefficienti o parte di essi che contengono un parametro come ad esempio kx² – 3x + k – 1 = 0   con k∈R. Quindi attribuendo valori diversi al parametro k, si ottengono equazioni differenti, ognuna con le proprie soluzioni.

Nel momento in cui ci viene data un’equazione parametrica, di solito la richiesta che viene fatta è quella di determinare per quali valori del parametro le soluzioni dell’equazione soddisfino determinate condizioni.

Elenchiamo le condizioni frequenti che si verificano negli esercizi.

Enunciato forma algebrica cosa fare
una soluzione è nulla x_{{1}}=0 nell’equazione data si deve sostituire alla x lo 0
una soluzione è uguale ad un numero n x_{{1}}=n nell’equazione data si deve sostituire alla x la n
le soluzioni sono opposte x_{{1}}= – x_{{2}} cioè x_{{1}}+x_{{2}}=0 si pone la somma cioè -\frac{b}{a}=0
le soluzioni sono reciproche x_{{1}}= \frac{1}{x_{{2}}} cioè x_{{1}}x_{{2}}=1 si pone il prodotto cioè \frac{c}{a} = 1
le soluzioni sono antireciproche x_{{1}}=-\frac{1}{x_{{2}}}cioè x_{{1}}x_{{2}}=-1 si pone il prodotto cioè \frac{c}{a} = –  1
le soluzioni sono concordi x_{{1}}x_{{2}}>0 si pone il prodotto cioè \frac{c}{a} >0
le soluzioni sono discordi x_{{1}}x_{{2}}<0 si pone il prodotto cioè \frac{c}{a} <0
le soluzioni sono reali e coincidenti x_{{1}}=x_{{2}} si pone il Δ=0
le soluzioni sono reali e distinte x_{{1}},x_{{2}}∈R si pone il Δ>0
le soluzioni non sono reali x_{{1}},x_{{2}}∉R si pone il Δ<0
l’equazione è spuria ax²+bx=0 si pone c=0
l’equazione è pura ax²+c=0 si pone b=0
è assegnata la somma delle soluzioni x_{{1}}+x_{{2}}=n si pone la somma cioè -\frac{b}{a}=n
è assegnata la somma dei reciproci delle soluzioni \frac{1}{x_{{1}}} + \frac{1}{x_{{2}}} =n si pone -\frac{b}{c}}=n
è assegnata la somma dei quadrati delle soluzioni x_{{1}}²+x_{{2}}²= n si pone (-\frac{b}{a}}) ^{2}-2\frac{c}{a}=n
è assegnata la somma dei cubi delle soluzioni x_{{1}} ^{3}+ x_{{2}} ^{3}= n (-\frac{b}{a}) ^{3}-3\frac{c}{a}(-\frac{b}{a})=n
è assegnato il prodotto delle soluzioni x_{{1}}x_{{2}}=n si pone  \frac{c}{a} = n

 

Consideriamo alcuni esempi:

Esempio n°1

Determina il valore del parametro a, affinchè l’equazione x² – 2(a-1)x + 4 + a² =0

abbia radici reali e coincidenti.

Un’equazione di secondo grado ha due soluzioni reali e coincidenti quando il Δ=0. A questo punto si calcola il discriminante e si verifica per quali valori di a esso è uguale a  zero:

Possiamo fare il \frac{\Delta }{4}(\frac{b }{2}) ^{2} -ac = (a – 1)² -(4+ a²)=0 ⇒ a² + 1 -2a -4-a²=0 quindi -2a-3=0 che possiamo scrivere come 2a+3=0 quindi a = -\frac{3}{2}.

A questo punto se andiamo a sostituire il valore della a nell’equazione otteniamo:x² – 2(-\frac{3}{2} -1)x + 4 +( -\frac{3}{2})² =0

x² -\frac{5}{2}x + 4 + \frac{9}{4} facciamo il m.c.m. e otteniamo 4x²  + 20x +25 =0 andandola a svolgere si ottengono come soluzioni x_{{1}}=x_{{2}}-\frac{5}{2}

Esempio n° 2

Nell’equazione kx² -(2k + 1)x + k – 1 =0

determina il valore di k affinchè:

  1. una delle soluzioni sia nulla;
  2. le due soluzioni siano opposte;
  3. le due soluzioni siano reciproche una dell’altra;
  4. una delle radici sia uguale a 3.

1)poniamo x_{{1}}=0, quindi dobbiamo sostituire lo 0 alle x dell’equazione data. Otteniamo:

0 – 0 + k – 1 =0 quindi k=1.

2)dobbiamo porre x_{{1}}=- x_{{2}} cioè x_{{1}}+x_{{2}}=0 quindi si pone la somma -\frac{b}{a}=0. Quindi otteniamo:

\frac{2k + 1}{k}=0 quindi 2k +1=0 ⇒k = -\frac{1}{2}

3)x_{{1}}\frac{1}{x_{{2}}} cioè x_{{1}}x_{{2}}=1  quindi  \frac{c}{a} = 1 cioè c=a ottenendo così k -1=k quindi è impossibile perchè la k va via, quindi questa equazione non può avere reciproci.

4)x_{{1}}=3, quindi vado a sostituire il 3 nelle v dell’equazione e ottengo:

k3² -(2k +1)3 + k – 1=0 ⇒ 9k -6k – 3 + k – 1=0  otteniamo 4k – 4 =0 quindi k= 1

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