Le equazioni parametriche sono quelle equazioni letterali , dove il valore di una lettera sia tale da rendere vera una condizione. Quindi è quella equazione che ridotta in forma normale ha tutti i coefficienti o parte di essi che contengono un parametro come ad esempio kx² – 3x + k – 1 = 0 con k∈R. Quindi attribuendo valori diversi al parametro k, si ottengono equazioni differenti, ognuna con le proprie soluzioni.
Nel momento in cui ci viene data un’equazione parametrica, di solito la richiesta che viene fatta è quella di determinare per quali valori del parametro le soluzioni dell’equazione soddisfino determinate condizioni.
Elenchiamo le condizioni frequenti che si verificano negli esercizi.
| Enunciato | forma algebrica | cosa fare |
| una soluzione è nulla |  =0 |
nell’equazione data si deve sostituire alla x lo 0 |
| una soluzione è uguale ad un numero n | =n |
nell’equazione data si deve sostituire alla x la n |
| le soluzioni sono opposte | = – cioè +=0 |
si pone la somma cioè =0 |
| le soluzioni sono reciproche | = cioè •=1 |
si pone il prodotto cioè = 1 |
| le soluzioni sono antireciproche | =-cioè •=-1 |
si pone il prodotto cioè = – 1 |
| le soluzioni sono concordi | •>0 |
si pone il prodotto cioè >0 |
| le soluzioni sono discordi | •<0 |
si pone il prodotto cioè <0 |
| le soluzioni sono reali e coincidenti | = |
si pone il Δ=0 |
| le soluzioni sono reali e distinte | ,∈R |
si pone il Δ>0 |
| le soluzioni non sono reali | ,∉R |
si pone il Δ<0 |
| l’equazione è spuria | ax²+bx=0 | si pone c=0 |
| l’equazione è pura | ax²+c=0 | si pone b=0 |
| è assegnata la somma delle soluzioni | +=n |
si pone la somma cioè =n |
| è assegnata la somma dei reciproci delle soluzioni | + =n |
si pone =n |
| è assegnata la somma dei quadrati delle soluzioni | ²+²= n |
si pone |
| è assegnata la somma dei cubi delle soluzioni | = n |
|
| è assegnato il prodotto delle soluzioni | •=n |
si pone = n |
Consideriamo alcuni esempi:
Esempio n°1
Determina il valore del parametro a, affinchè l’equazione x² – 2(a-1)x + 4 + a² =0
abbia radici reali e coincidenti.
Un’equazione di secondo grado ha due soluzioni reali e coincidenti quando il Δ=0. A questo punto si calcola il discriminante e si verifica per quali valori di a esso è uguale a zero:
Possiamo fare il = -ac = (a – 1)² -(4+ a²)=0 ⇒ a² + 1 -2a -4-a²=0 quindi -2a-3=0 che possiamo scrivere come 2a+3=0 quindi a = .
A questo punto se andiamo a sostituire il valore della a nell’equazione otteniamo:x² – 2( -1)x + 4 +( )² =0
x² x + 4 + facciamo il m.c.m. e otteniamo 4x² + 20x +25 =0 andandola a svolgere si ottengono come soluzioni ==
Esempio n° 2
Nell’equazione kx² -(2k + 1)x + k – 1 =0
determina il valore di k affinchè:
- una delle soluzioni sia nulla;
- le due soluzioni siano opposte;
- le due soluzioni siano reciproche una dell’altra;
- una delle radici sia uguale a 3.
1)poniamo =0, quindi dobbiamo sostituire lo 0 alle x dell’equazione data. Otteniamo:
0 – 0 + k – 1 =0 quindi k=1.
2)dobbiamo porre =- cioè +=0 quindi si pone la somma =0. Quindi otteniamo:
quindi 2k +1=0 ⇒k =
3)= cioè •=1 quindi = 1 cioè c=a ottenendo così k -1=k quindi è impossibile perchè la k va via, quindi questa equazione non può avere reciproci.
4)=3, quindi vado a sostituire il 3 nelle v dell’equazione e ottengo:
k3² -(2k +1)3 + k – 1=0 ⇒ 9k -6k – 3 + k – 1=0 otteniamo 4k – 4 =0 quindi k= 1
Programma di matematica secondo superiore
