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Esercizi equazioni fratte

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Esercizi sulle equazioni fratte di secondo grado

Esercizio

Svolgi le seguenti equazioni fratte.

1)\frac{2x - 3}{x - 1} – 1 = \frac{x^{2}- 4}{2x - 2}   

2)\frac{x- 1}{2x - 1}  + \frac{x}{x - 1}  = 1 + \frac{5x-4}{2x ^{2}-3x+1}

3)\frac{1}{x -3}  + \frac{3x}{x ^{2}-9}  = \frac{4x-12}{4x ^{2}+24x+36}

4)\frac{13}{(x ^{2}-4)(x+1)}  + \frac{7}{(x +2)(x+1)}  = \frac{1}{x - 2}

5)\frac{2x +1}{x +1}  = \frac{3 - x}{x(x +1)}  + \frac{2x ^{2}}{(x +1)^{2}}

6)\frac{x + 2}{x ^{2}-4x + 4}  = \frac{x - 2}{x -1}  – \frac{x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}

7)\frac{5\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}  – \frac{\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}} = \frac{2}{3}

8)(\frac{2}{x+1} +\frac{1-x}{x^{2}+x} -\frac{3}{x +2x^{2}+x^{3}}): (\frac{x}{x+1}) ^{2} – (\frac{3}{x^{2}})

SVOLGIMENTO

Esercizio

Svolgi le seguenti equazioni fratte.

1)\frac{2x - 3}{x - 1} – 1 = \frac{x^{2}- 4}{2x - 2}   ⇒ \frac{2x - 3}{x - 1} – 1 =\frac{x^{2}-4}{2(x-1)}                 C.E.   x – 1≠0 ⇒ x≠1

il m.c.m. è 2(x- 1)

\frac{4x - 6 - 2x + 2}{2(x-1)} = \frac{x^{2} - 4}{2(x-1)}

4x – 4 – 2x = x² – 4   ⇒  x² – 2x =0  ⇒   x(x – 2)=0  quindi le soluzioni sono x=0 e x= 2

 

2)\frac{x- 1}{2x - 1}  + \frac{x}{x - 1}  = 1 + \frac{5x-4}{2x ^{2}-3x+1}

Scomponiamo 2x² – 3x + 1   il cui Δ= b² – 4ac = 9 – 8 = 1

x_{{1}}= \frac{3 + 1}{4} = 1

x_{{2}}= \frac{3 - 1}{4}= \frac{1}{2}

quindi il risultato della scomposizione è 2(x – \frac{1}{2})(x – 1) che possiamo scrivere anche come (2x – 1)(x – 1)

il m.c.m. dell’equazione sarà  (2x – 1)(x – 1)

\frac{(x-1) ^{2}+x(2x-1)}{(2x-1)(x-1)} = \frac{2x ^{2}-3x+1+5x-4}{(2x-1)(x-1)}             C.E.  2x-1≠0 ⇒ x≠ \frac{1}{2}  e x-1≠0 ⇒ x≠1

x² + 1 – 2x + 2x² – x – 2x² + 3x – 1 – 5x + 4 = 0 otteniamo:

x² – 5x + 4 =0  a questo punto troviamo le radici:

x_{{1}} = \frac{5 + \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5+ 3}{2} = 4

x_{{2}}= \frac{5 - \sqrt{25 - 16}}{2}= \frac{5- 3}{2} = 1  non  è accettabile

3)\frac{1}{x -3}  + \frac{3x}{x ^{2}-9}  = \frac{4x-12}{4x ^{2}+24x+36}

Scomponiamo: x² – 9 = (x -3)(x +3)

                       4x² +24x+36 = 4(x² + 6x + 9) = 4(x + 3)²

\frac{1}{x -3}  + \frac{3x}{(x-3)(x+3)} = \frac{4x - 12}{4(x+3) ^{2}}            C.E.: x-3≠0 ⇒x ≠3  e x+ 3≠0 ⇒x ≠ – 3

il m.c.m è 4(x -3)(x +3)²

\frac{4(x+3) ^{2}+12x(x +3)}{4(x - 3)(x+3) ^{2}} = \frac{(4x - 12)(x-3)}{4(x - 3)(x+3) ^{2}}

4x² +24x +36 + 12x² + 36x =4x² – 12x – 12x + 36

12x² + 84x =0 ⇒ 12x(x + 7)=0 

12x=0 e x+7=0 quindi x=0 e x=-7

4)\frac{13}{(x ^{2}-4)(x+1)}  + \frac{7}{(x +2)(x+1)}  = \frac{1}{x - 2}

Scomponiamo x² – 4 = (x-2)(x+2)

\frac{13}{(x-2)(x+2)(x+1)} + \frac{7}{(x +2)(x+1)} = \frac{1}{x - 2}    C.E.: x-2≠0⇒ x≠2 e x+2≠0⇒ x≠ -2 e x+1≠0⇒ x≠ -1

il m.c.m = (x-2)(x+2)(x+1)

\frac{13+7(x -2)}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{(x +2)(x+1)}{(x-2)(x+2)(x+1)}

13 + 7x – 14 = x² + x + 2x + 2

x² – 4x + 3 =0  troviamo le soluzioni con la formula ridotta.

\frac{\Delta }{4} = 4 – 3 = 1

x_{{1}} = 2 + 1 = 3

x_{{2}}=2 – 1 = 1

5)\frac{2x +1}{x +1}  = \frac{3 - x}{x(x +1)}  + \frac{2x ^{2}}{(x +1)^{2}}      C.E.: x≠ 0 e x+1≠ 0 ⇒ x ≠-1

il m.c.m. e x(x+1)²

\frac{x(x+1)(2x+1)}{x(x+1) ^{2}}  = \frac{(3-x)(x+1)+2x^{3}}{x(x+1) ^{2}}

\frac{(x^{2}+x)(2x+1)}{x(x+1) ^{2}} = \frac{3x + 3 - x^{2} - x + 2x^{3}}{x(x+1) ^{2}}

2x³ + x² + 2x² + x =3x + 3 – x² – x +2x³

4x² – x – 3 =0  troviamo le radici:

x_{{1}} = \frac{1+\sqrt{1+48}}{8} = \frac{1+7}{8} = 1

x_{{2}}=\frac{1-\sqrt{1+48}}{8}= \frac{1-7}{8} = -\frac{3}{4}

 

6)\frac{x + 2}{x ^{2}-4x + 4}  = \frac{x - 2}{x -1}  – \frac{x^{2}}{x^{2} - 3x + 2}

Scomponiamo: x ² – 4x + 4  che è uguale (x – 2)²

                        x² -3x + 2 lo scomponiamo con la regola della somma e del prodotto ottenendo (x-1)(x – 2)

\frac{x+2}{(x-2) ^{2}} = \frac{x-2}{(x-1)} – \frac{x^{2}}{(x-1)(x-2)}   la C.E.: x-2≠0 ⇒ x≠2 e  x-1≠0 ⇒ x≠1

il m.c.m. è (x-1)(x -2)²

\frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)(x-2)^{2}}  = \frac{(x-2)^{3}-x^{2}(x-2)}{(x-1)(x-2)^{2}}

x² – x + 2x – 2 = x³ – 8 – 6x² + 12x – x³ + 2x²

5x² – 11x + 6 =0 calcoliamo le soluzioni.

x_{{1}}= \frac{11+\sqrt{121-120}}{10} = \frac{11+1}{10} =\frac{12}{10}  = \frac{6}{5}

x_{{2}}= \frac{11-\sqrt{121-120}}{10}= \frac{11-1}{10} = 1 non è accettabile 

7)\frac{5\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}  – \frac{\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}} = \frac{2}{3}  C.E.: x+\sqrt{2}≠0 ⇒ x ≠- \sqrt{2}  e x-\sqrt{2}≠0 ⇒ x ≠ \sqrt{2}

m.c.m.: 3 (x+\sqrt{2})(x – \sqrt{2})

\frac{15\sqrt{2}(x - \sqrt{2)}- 3\sqrt{2}(x + \sqrt{2)}}{3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2)}= \frac{2(x + \sqrt{2)}(x - \sqrt{2)}}{3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2)}

15\sqrt{2}x – 30 – 3\sqrt{2}x – 6 = 2(x² – 2)

15\sqrt{2}x – 30 – 3\sqrt{2}x – 6 =2x² – 4

2x² – 12\sqrt{2}x + 32 =0  divido per 2 e ottengo:

x² -6\sqrt{2}x + 16 =0  calcolo le soluzioni con la formula ridotta.

\frac{\Delta }{4}= (-\frac{6}{2} \sqrt{2})²c- 16 = 18 -16= 2

x_{{1}}=3\sqrt{2}+ \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}

x_{{2}}= 3\sqrt{2} – \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

8)(\frac{2}{x+1} +\frac{1-x}{x^{2}+x} -\frac{3}{x +2x^{2}+x^{3}}): (\frac{x}{x+1}) ^{2} – (\frac{3}{x^{2}})

Scomponiamo x² + x = x(x + 1)

                        x³ + 2x² + x = x(x² + 2x + 1) = x (x+1)²

(\frac{2}{x+1} +\frac{1-x}{x(x+1)} -\frac{3}{x (x+1)^{2}}) : \frac{x^{2}}{(x+1)^{2}} -. (\frac{3}{x^{2}})

(\frac{2x(x+1)+(x+1)(1 - x)-3}{x(x+1)^{2}} ) • \frac{(x+1)^{2}}{(x)^{2}} -. (\frac{3}{x^{2}})    C.E.: x≠0 e x+1 ≠0 ⇒x≠-1

\frac{2x ^{2}+2x+x-x ^{2}+1-x-3}{x(x+1)^{2}}• \frac{(x+1)^{2}}{(x)^{2}} -. (\frac{3}{x^{2}})   semplifichiamo (x+1)²

\frac{x ^{2}+2x-2}{x^{3}} -. (\frac{3}{x^{2}})  =0

\frac{x ^{2}+2x-2-3x}{x^{3}} =0

x² – x – 2 =0  calcolo le soluzioni.

x_{{1}}=\frac{1+\sqrt{1+8}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2

x_{{2}}=\frac{1-\sqrt{1+8}}{2}= \frac{1-3}{2} = -1 non è accettabile

 

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