Esercizi potenze ad esponente razionale

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Esercizi potenze ad esponente razionale

Esercizio n°1

Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.

1) 25 ^{\frac{3}{2}}; 27 ^{\frac{4}{3}}; 8 ^{-\frac{2}{3}}; 

2)(4a ^{6}b ^{4}) ^{\frac{3}{2}}; (9a ^{4}b ^{8}) ^{-\frac{2}{3}}; 

3)(\frac{x^{4}}{y^{2}}) ^{\frac{3}{2}}; (27\frac{x^{3}}{y^{6}}) ^{-\frac{3}{2}}; (5a ^{\frac{3}{2}}b^{\frac{5}{6}}c) ^{\frac{1}{2}}

Esercizio n° 2

Scrivi sotto forma di radice le seguenti potenze con esponente razionale.

4)  64^{ -\frac{1}{3}} ;   4^{ -\frac{3}{2}} ;    2^{ -\frac{5}{3}} ;   ; \frac{9}{4}^{ -\frac{3}{2}}

5) (- \frac{1}{2}a^{ 3} b ^{4}c) ^{-2}

6) ( 5a^{ \frac{3}{2}} b^{ \frac{3}{4}}c ^{2}) ^{{ \frac{1}{2}}}

Esercizio n° 3

Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali e poi applica quando è possibile la proprietà delle potenze.

7)a ^{2}b \sqrt[3]{ab^{2}};   \sqrt[3]{a(a+b)^{2}} ;  \sqrt[5]{x^{2}\sqrt{yz}} ;  \sqrt[3]{x-z} .

8) \sqrt[3]{(x+y)\sqrt{(x+y)} };  \sqrt[3]{\sqrt{a^{3}b} } ^{};   (a+b)\sqrt[3]{\frac{a+b}{a\sqrt{ab}}}

 

Esercizio n° 4

Semplifica le seguenti espressioni con esponenti razionali. Supponendo che le basi siano positive.

9) ( - \frac{1}{3}) ^{-3} a^{\frac{3}{2}} b ^{-\frac{2}{3}} \cdot ( - \frac{1}{3}) ^{4}a^{-\frac{5}{4}}b

10) 2 ^{-1} [ (2 ^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}) ^{-1}+ (3 ^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2}}) ^{-1}] : 3 ^{-\frac{1}{2}}

11) \frac{(x+2) ^{\frac{1}{2}}(x ^{2}-4) ^{-\frac{1}{2}}}{(x-2) ^{-1}(x ^{2}-2x) ^{-\frac{3}{2}}} : (\frac{(x-2) ^{-\frac{1}{2}}}{x ^{\frac{1}{2}}} ) ^{-3}

 

SVOLGIMENTO

Esercizio n°1

Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.

1) 25 ^{\frac{3}{2}}; 27 ^{\frac{4}{3}}; 8 ^{-\frac{2}{3}}; 

  • 25 ^{\frac{3}{2}} = \sqrt{25^{3}}  = \sqrt{(5^{2})^{3}}  = \sqrt{5^{6}  =semplificando il 6 dell’esponente con l’indice della radice si ottiene:  5 ^{3} = 125
  • 27 ^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{27^{4} = \sqrt[3]{(3^{3})^{4} = \sqrt[3]{3^{12} =3 ^{4} = 81
  • 8 ^{-\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8 ^{-2}} = \sqrt[3]{(2^{3}) ^{-2}} = \sqrt[3]{2^{-6}}} = semplificando si ottiene 2 ^{-2} = \frac{1}{4}

2)(4a ^{6}b ^{4}) ^{\frac{3}{2}}; (9a ^{4}b ^{8}) ^{-\frac{2}{3}}; 

  • (4a ^{6}b ^{4}) ^{\frac{3}{2}} = \sqrt[]{(4a ^{6}b ^{4}) ^{3}}= \sqrt[]{4^{3}a ^{18}b ^{12}} = \sqrt[]{2^{6}a ^{18}b ^{12}} = 2 ^{3}\left \| a^{9}|b ^{6}
  •  (9a ^{4}b ^{8}) ^{-\frac{2}{3}}=  \sqrt[3]{(9a ^{4}b ^{8}) ^{-2} } = \sqrt[3]{(3)^{-4}(a )^{-8}(b )^{-16} } =  \sqrt[3]{\frac{1}{(3)^{4}}\cdot\frac{1}{(a )^{8}}\cdot\frac{1}{(b )^{16}} }=  \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{a ^{2}}\cdot\frac{1}{b^{5}} \sqrt[3]{\frac{1}{(3)}\cdot\frac{1}{(a )^{2}}\cdot\frac{1}{(b )} }

3)(\frac{x^{4}}{y^{2}}) ^{\frac{3}{2}}; (27\frac{x^{3}}{y^{6}}) ^{-\frac{3}{2}}; (5a ^{\frac{3}{2}}b^{\frac{5}{6}}c) ^{\frac{1}{2}}

 

  • (\frac{x^{4}}{y^{2}}) ^{\frac{3}{2}}= \sqrt{(\frac{x^{4}}{y^{2}})^{3}} = \sqrt{(\frac{x^{12}}{y^{6}})} semplificando verrà  \frac{x^{6}}{y^{3}}
  • (27\frac{x^{3}}{y^{6}}) ^{-\frac{3}{2}} = \sqrt{(27\frac{x^{3}}{y^{6}})^{-3}}  = \sqrt{(3^{3}\frac{x^{3}}{y^{6}})^{-3}}  = \sqrt{(3^{-9}\frac{x^{-9}}{y^{-18}})}  = \sqrt{(\frac{1}{3})^{9}(\frac{y^{18}}{x^{9}})}  = (\frac{1}{3})^{4}(\frac{y^{9}}{x^{4}})\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{x})} =

\frac{1}{81}\cdot\frac{y^{9}}{x^{4}}\sqrt{\frac{1}{3x}}

  • (5a ^{\frac{3}{2}}b^{\frac{5}{6}}c) ^{\frac{1}{2}} =   \sqrt{(5a ^{\frac{3}{2}}b^{\frac{5}{6}}c) }}  =    \sqrt{\sqrt{5^{3}} \cdot \sqrt[6]{b^{5}}\cdot c}   

Esercizio n° 2

Scrivi sotto forma di radice le seguenti potenze con esponente razionale.

4)  64^{ -\frac{1}{3}}  = \frac{1}{64} ^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4 ^{3}}} = \frac{1}{4}

4^{ -\frac{3}{2}} ;  = \frac{1}{4} ^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{4 ^{3}}}  = \frac{1}{\sqrt{(2^{2}) ^{3}}}  = \frac{1}{\sqrt{(2^{3}) ^{2}}}  = \frac{1}{2^{3}}  = \frac{1}{8}

2^{ -\frac{5}{3}}  = \frac{1}{\sqrt[3]{2^{5}}}  = \frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}\cdot2^{2}}}  = \frac{1}{2\sqrt[3]{2^{2}}}  = \frac{1}{2\sqrt[3]{4}}

; \frac{9}{4}^{ -\frac{3}{2}}  = \frac{4}{9} ^{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}^{3}}  = \sqrt{\frac{4}{9}^{2}\cdot\frac{4}{9}^{}}  =  \frac{4}{9}\sqrt{\frac{4}{9}^{}}  = \frac{4}{9}\sqrt{\frac{2}{3}^{2}}  = \frac{4}{9}\cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{27}

5) (- \frac{1}{2}a^{ 3} b ^{4}c) ^{-2} = (-\frac{2}{a^{3}b ^{4}c} ) ^{2} = -\frac{4}{a^{6}b ^{8}c^{2}}

6) ( 5a^{ \frac{3}{2}} b^{ \frac{3}{4}}c ^{2}) ^{{ \frac{1}{2}}} = (5\sqrt{a^{3}} \cdot \sqrt[4]{b^{3}}\cdot c ^{2}) ^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5\sqrt{a^{3}} \cdot \sqrt[4]{b^{3}}\cdot c ^{2}} = \sqrt{\sqrt{5^{2}a^{3}} \cdot \sqrt[4]{b^{3}}\cdot c ^{2}}  considero ogni moltiplicazione da sola:

\sqrt[4]{5^{2}a^{3}} \cdot \sqrt[8]{b^{3}} \cdot c

Esercizio n° 3

Scrivi sotto forma di potenza con esponente razionale i seguenti radicali e poi applica quando è possibile la proprietà delle potenze.

7)a ^{2}b \sqrt[3]{ab^{2}};   \sqrt[3]{a(a+b)^{2}} ;  \sqrt[5]{x^{2}\sqrt{yz}} ;  \sqrt[3]{x-z}  =

  • a ^{2}b \sqrt[3]{ab^{2}} =  a^{2}b\cdot a ^{\frac{1}{3}} \cdot b ^{\frac{3}{2}} =  a^{2+ \frac{1}{3}}b^{1+ \frac{3}{2}} =  a^{ \frac{7}{3}}b^{ \frac{5}{2}}
  •   \sqrt[3]{a(a+b)^{2}} =  a^{ \frac{1}{3}}(a+b)^{ \frac{3}{2}}
  • \sqrt[5]{x^{2}\sqrt{yz}}  = 
  • \sqrt[3]{x-z}  = (x-z) ^{\frac{1}{3}}

8)\sqrt[3]{(x+y)\sqrt{(x+y)} };  \sqrt[3]{\sqrt{a^{3}b} } ^{};   (a+b)\sqrt[3]{\frac{a+b}{a\sqrt{ab}}}

  •  \sqrt[3]{(x+y)\sqrt{(x+y)} }= \sqrt[3]{\sqrt{(x+2) ^{2}(x+y)}}  = \sqrt[3]{\sqrt{(x+2) ^{3}}}  = \sqrt[6]{{(x+2) ^{3}}}  = 
  • \sqrt[3]{\sqrt{a^{3}b} } ^{}; = \sqrt[6]{a ^{3}b}}  = a ^{\frac{3}{6}}b^{\frac{1}{6}} = a ^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{6}}
  • (a+b)\sqrt[3]{\frac{a+b}{a\sqrt{ab}}}  =

Esercizio n° 4

Semplifica le seguenti espressioni con esponenti razionali. Supponendo che le basi siano positive.

9) ( - \frac{1}{3}) ^{-3} a^{\frac{3}{2}} b ^{-\frac{2}{3}} \cdot ( - \frac{1}{3}) ^{4}a^{-\frac{5}{4}}b =

= (-\frac{1}{3}) ^{-3} \cdot (-\frac{1}{3}) ^{4}a ^{(\frac{3}{2}-\frac{5}{4})}b^{(-\frac{2}{3}+1)} =

= (-\frac{1}{3}) ^{-3+4} a ^{(\frac{6-5}{4})}b^{(\frac{-2+3}{3})} =

= (-\frac{1}{3}) a ^{(\frac{1}{4})}b^{(\frac{1}{3})}

10) 2 ^{-1} [ (2 ^{\frac{1}{2}}+3^{\frac{1}{2}}) ^{-1}+ (3 ^{\frac{1}{2}}-2^{\frac{1}{2}}) ^{-1}] : 3 ^{-\frac{1}{2}} =

= 2 ^{-1} \cdot \left [ 2 ^{-\frac{1}{2}} + 3^{-\frac{1}{2}}+ 3^{-\frac{1}{2}}- 2 ^{-\frac{1}{2}} ] : 3^{-\frac{1}{2}} =

= \frac{1}{2} \cdot \left ( 3^{-\frac{1}{2}}+ 3^{-\frac{1}{2}}): 3^{-\frac{1}{2}}  =

= \frac{1}{2} \cdot \left ( 3^{-\frac{1}{2}}: 3^{-\frac{1}{2}} + 3^{-\frac{1}{2}}: 3^{-\frac{1}{2}} ) =

= \frac{1}{2} \cdot (1 + 1) =

\frac{1}{2} \cdot (2) = 1

11)\frac{(x+2) ^{\frac{1}{2}}(x ^{2}-4) ^{-\frac{1}{2}}}{(x-2) ^{-1}(x ^{2}-2x) ^{-\frac{3}{2}}} : (\frac{(x-2) ^{-\frac{1}{2}}}{x ^{\frac{1}{2}}} ) ^{-3} =

= \frac{(x+2) ^{\frac{1}{2}}(x -2)^{-\frac{1}{2}} (x+2) ^{-\frac{1}{2}}}{(x-2)^{-1} x(x -2) ^{-\frac{3}{2}}:  (\frac{(x-2) ^{-\frac{1}{2}} }{x^{\frac{1}{2}}}) ^{-3} =

=  \frac{(x -2)^{-\frac{1}{2}} }{x(x-2)^{-1} (x -2) ^{-\frac{3}{2}}  :  (\frac{(x-2) ^{-\frac{1}{2}} }{x^{\frac{1}{2}}}) ^{-3} =

= \frac{(x -2)^{-\frac{1}{2}} }{x(x -2) ^{-1+\frac{3}{2}} :  \frac{(x -2)^{\frac{3}{2}} }{x^{\frac{3}{2}}=

=   \frac{(x -2)^{-\frac{1}{2}} }{x(x -2) ^{\frac{1}{2}}:   \frac{(x -2)^{\frac{3}{2}} }{x^{\frac{3}{2}}=

=  \frac{(x -2)^{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} }{x} :    \frac{(x -2)^{\frac{3}{2}} }{x^{\frac{3}{2}}=

=  \frac{(x -2)^{-1} }{x} ·  \frac{x^{\frac{3}{2}} }{(x -2)^{\frac{3}{2}} =

=  \frac{(x - 2) ^{-1 - \frac{3}{2}} }{x ^{-1 - \frac{3}{2}} =  \frac{(x - 2) ^{ - \frac{5}{2}} }{x ^{- \frac{1}{2}} =  \frac{x ^{ \frac{1}{2}} }{(x -2)^{ \frac{5}{2}}

 

Programma matematica secondo superiore

 

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