Espressioni con i numeri irrazionali

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Esercizio n° 1

Semplifica le seguenti espressioni senza considerare la condizione di esistenza.

1)( \frac{1}{ \sqrt{a}-\frac{4}{\sqrt{a}}} + \frac{2\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^{4}}-\sqrt[3]{64a}} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}} 

2) \frac{2}{3}\sqrt{\frac{18}{25}}- \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}

3)\frac{1}{x^{2}+y ^{2}+2xy} \cdot \frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot (x - \frac{y ^{2}}{x})

4)\frac{4x}{y^{2}} :( \frac{x+\sqrt{ x ^{2}-y ^{2}}}{x-\sqrt{ x ^{2}-y ^{2}} -\frac{x-\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}}{x+\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}}) 

 

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

1)( \frac{1}{ \sqrt{a}-\frac{4}{\sqrt{a}}} + \frac{2\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^{4}}-\sqrt[3]{64a}} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}} =

= ( \frac{1}{ \frac{a-4}{\sqrt{a}}} + \frac{2\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^{4}}-\sqrt[3]{4^{3}a}} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}} =

= ( \frac{\sqrt{a}}{ a-4 }} + \frac{2\sqrt[3]{a}}{a\sqrt[3]{a}-4\sqrt[3]{a}} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}} =

= ( \frac{\sqrt{a}}{ a-4 }} + \frac{2\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}(a-4)} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}}= semplifichiamo2\sqrt[3]{a}    e otteniamo

= ( \frac{\sqrt{a}}{ a-4 }} + \frac{2}{(a-4)} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}} = ( \frac{\sqrt{a}+2}{ a-4 }} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}} =

= ( \frac{\sqrt{a}+2}{ (\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}} }} ) - \frac{1}{ \sqrt{a}-2}} = ( \frac{\sqrt{a}+2-(\sqrt{a}+2 )}{ (\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}} }} ) =

=  \frac{\sqrt{a}+2-\sqrt{a}-2 }{ (\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}} }}  = 0

2)\frac{2}{3}\sqrt{\frac{18}{25}}- \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}=

 =\frac{2}{3}\sqrt{\frac{3^{2} \cdot 2}{5^{2}}}- \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}  =

= \frac{2}{3} \cdot\frac{3}{5} \sqrt{2}{}}- \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}  =

=\frac{2}{5} \sqrt{2}{}}- \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}  =  \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)-5(\sqrt{2}+1)-10(\sqrt{2}-1)}{5(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=

ma  (\sqrt{2}-1) (\sqrt{2}+1) = (2-1) somma per differenza

=  \frac{2\sqrt{2}-5\sqrt{2}-5-10\sqrt{2}+10}{5(2-1)} =  \frac{-13\sqrt{2}+5}{5}

3)\frac{1}{x^{2}+y ^{2}+2xy} \cdot \frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot (x - \frac{y ^{2}}{x})=

= \frac{1}{(x+y)^{2}} \cdot \frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot (\frac{x^{2}-y ^{2}}{x}) =

= \frac{1}{(x+y)^{2}} \cdot \frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot \frac{(x-y)(x+y) }{x} =

semplifico il quadrato del primo denominatore con il numeratore della prima e della seconda frazione

=  \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\cdot \frac{(x-y)}{x}= razionalizziamo il primo denominatore

=  \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}\cdot \frac{(x-y)}{x} =

=  \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})}\cdot \frac{(x-y)}{x} =  \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{(x-y)}\cdot \frac{(x-y)}{x}= semplifichiamo

= \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}{x}

4)\frac{4x}{y^{2}} :( \frac{x+\sqrt{ x ^{2}-y ^{2}}}{x-\sqrt{ x ^{2}-y ^{2}}-\frac{x-\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}}{x+\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}})= facciamo il minimo comune multiplo

=\frac{4x}{y ^{2}}:(\frac{(x+\sqrt{x ^{2}-y ^{2}})^{2}-(x-\sqrt{x ^{2}-y ^{2}})^{2}}{(x-\sqrt{x ^{2}-y ^{2}})(x+\sqrt{x ^{2}-y ^{2}})})=

= \frac{4x}{y ^{2}}:(\frac{x ^{2}+x ^{2}-y ^{2}+2x\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}-x ^{2}-x ^{2}+y^{2}+2x\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}}{x ^{2}-x ^{2}+y ^{2}}})}= semplifico i numeri opposti

=\frac{4x}{y ^{2}}:(\frac{4x\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}}{y ^{2}}})} = \frac{4x}{y ^{2}}\cdot(\frac{y ^{2}}{4x\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}})} = semplifico i due 4x e i due y² e ottengo

= \frac{1}{\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}} = razionalizziamo

 \frac{\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}}{(\sqrt{x ^{2}-y ^{2}})(\sqrt{x ^{2}-y ^{2}})}

=

 

\frac{\sqrt{x ^{2}-y ^{2}}}{x ^{2}-y ^{2}}

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