Esercizi sui numeri complessi

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Per svolgere questi esercizi sui numeri complessi bisogna ricordare le loro proprietà base, perchè poi si comportano per il resto dei calcoli come i numeri reali.

La cosa più importante sono le potenze : i ^{1} =i   i ^{2} = -1;  i ^{3} = -i;    i ^{4}= 1; i ^{5} = i;  i ^{6}= -1;  i ^{7}= -i;  i ^{8}=1  praticamente le prime quattro potenze di i sono ordinatamente i; -.1; -i; 1 e le successive si riproducono alla stessa maniera.

Esercizio n° 1

Esegui le seguenti espressioni con i numeri complessi.

1)(\frac{5i}{\sqrt{5}}-\frac{40i}{\sqrt{5}})\cdot \frac{i\sqrt{5}}{7}

2)(\sqrt{3}- i\sqrt{2})\cdot(2\sqrt{3}- i\sqrt{2})

3)(\frac{4}{5} – \frac{i}{\sqrt{2}}) •(\frac{1}{5} –\frac{i}{\sqrt{2}})

4)(\frac{1}{\sqrt{2}} – i)²

5)(3 + 2i)(3 -2i)+(2 -4i) 3i – (6 +2i)²

6)\frac{(2i ^{28}-i ^{45}) ^{2}}{2i ^{41}}

7)\frac{1}{i(3 +2i) ^{2}}

8)\frac{18i ^{18}+7i ^{6}}{(21i ^{52}+i ^{53}) ^{2}} : \frac{4i ^{36}-2i ^{20}}{(21i ^{8}+i ^{7}-i ^{20}) ^{2}} 

9)\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}i) ^{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}i} 

 

SVOLGIMENTO

Esegui le seguenti espressioni con i numeri complessi.

1)(\frac{5i}{\sqrt{5}}-\frac{40i}{\sqrt{5}})\cdot \frac{i\sqrt{5}}{7}= 

(\frac{5i - 40i}{\sqrt{5}})\cdot\frac{i\sqrt{5}}{7} semplifichiamo \sqrt{5} e otteniamo:

-35i (\frac{i}{7}) = -5 i² = -5(-1)= 5

2)(\sqrt{3}- i\sqrt{2})\cdot(2\sqrt{3}- i\sqrt{2})

2(3) -i\sqrt{6} -2i\sqrt{6}+ i²(2) = 6 – 3i\sqrt{6} – 2 = 4 –  3\sqrt{6}i

3)(\frac{4}{5} – \frac{i}{\sqrt{2}}) •(\frac{1}{5} –\frac{i}{\sqrt{2}})

\frac{4}{25} – \frac{4i}{5\sqrt{2}} – \frac{i}{5\sqrt{2}} +\frac{i ^{2}}{2} =    \frac{4}{25} – \frac{5i}{5\sqrt{2}}– \frac{1}{2} =   \frac{8 -25}{50} – \frac{1}{\sqrt{2}} =  -\frac{17}{5} – \frac{\sqrt{2}}{2}

4)(\frac{1}{\sqrt{2}} – i)² = \frac{1}{2} + i² – \frac{2i}{\sqrt{2}}  = \frac{1}{2} – 1 – \frac{2\sqrt{2}i}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = – \frac{1}{2} – \frac{2\sqrt{2}i}{2}= – \frac{1}{2} – \sqrt{2}i

5)(3 + 2i)(3 -2i)+(2 -4i) 3i – (6 +2i)²

9 -4i² +6i -12i² -(36 +4i² +24i) =  9 -4i² +6i -12i² -36 -4i² -24i =  -20i² – 18i – 27=

20 -18i – 27 = -7 -18i

6)\frac{(2i ^{28}-i ^{45}) ^{2}}{2i ^{41}} = \frac{(2\cdot(1) - i)^{2}}{2i}  = \frac{(2 -i) ^{2}}{2i} = \frac{4+i ^{2}-4i}{2i} = \frac{4-1-4i}{2i} = \frac{3-4i}{2i}

7)\frac{1}{i(3 +2i) ^{2}}  = \frac{1}{i(9 +4i ^{2}+12i)}  = \frac{1}{i(9 +4(-1)+12i)}  = \frac{1}{i(9 -4+12i)}  = \frac{1}{i(5+12i)} =

\frac{1}{5i+12i^{2}}  = \frac{1}{5i-12}  = \frac{(5i +12)}{(5i-12)(5i +12)}  = \frac{(5i +12)}{25i^{2}-144}  = \frac{(5i +12)}{-25-144}  = \frac{-(5i +12)}{169}

8)\frac{18i ^{18}+7i ^{6}}{(21i ^{52}+i ^{53}) ^{2}} : \frac{4i ^{36}-2i ^{20}}{(21i ^{8}+i ^{7}-i ^{20}) ^{2}}=  \frac{18(-1)+7(-1)}{(2(1)+i)^{2}}  : \frac{4(1)-2(1)}{(2(1)-i-1) ^{2}}  

\frac{-18-7}{(2+i)^{2}}  • \frac{(2 -i-1)^{2}}{2}  =   \frac{-25}{4+i ^{2}+4i} • \frac{(1 -i)^{2}}{2}  = \frac{-25}{4-1+4i} • \frac{1 +i^{2}-2i}{2}

\frac{-25}{3 +4i} • \frac{1 - 1 -2i}{2} =\frac{-25}{3 +4i} •  \frac{ -2i}{2}  = \frac{-25}{3 +4i} • i =

\frac{ 25i(3 -4i)}{(3+4i)(3 -4i)} =  \frac{ 25i(3 -4i)}{9 -16i ^{2}}   =  \frac{ 25i(3 -4i)}{9 +16}  = \frac{ 25i(3 -4i)}{25}  semplifichiamo il 25 e otteniamo:

i(3 -4i) = 3i -4i² = 3i + 4

9)\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}i) ^{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}i} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}i) ^{3}(\sqrt{2}+\sqrt{3}i)}{(\sqrt{2}-\sqrt{3}i)(\sqrt{3}+\sqrt{2}i)} = \frac{(3\sqrt{3}+9\sqrt{2}i-6\sqrt{3}-2\sqrt{2}i)(\sqrt{2}+\sqrt{3i})}{2+ 3i^{2}}=

=\frac{(-3\sqrt{3}+7\sqrt{2}i)(\sqrt{2}+\sqrt{3}i)}{2+ 3} = \frac{-3\sqrt{6}-9i+14i-7\sqrt{6}}{5} = \frac{-10\sqrt{6}+5i}{5} mettiamo in evidenza il 5 e otteniamo:

\frac{5(-2\sqrt{6}+i)}{5} semplifichiamo e otteniamo:-2\sqrt{6}+i 

 

Programma di matematica secondo superiore

 

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