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I numeri immaginari e complessi

 

Abbiamo visto come con i numeri razionali non sia possibile estrarre dalla radice di indice pari un numero negativo.

Per esempio: \sqrt{-16} non ha alcun significato nel campo reale, per tale motivo sono stati introdotti i numeri immaginari.

Sappiamo che non vi è alcun numero tra i numeri reali il cui quadrato sia uguale a -1 e il nuovo numero che introduciamo, chiamato, unità immaginaria (i), corrisponde proprio a i²= -1. Ovviamente tale numero si trova al di fuori dell’insieme dei numeri reali.

L’insieme dei numeri immaginari che hanno  con la particolarità che (-i)²= -1\sqrt{-1} = -1. Inoltre, , come per i numeri reali si pone i •1= i  e i•0 =0.

Per quanto riguarda le potenze abbiamo che:

i ^{1} =i   i ^{2} = -1;  i ^{3} = -i;    i ^{4}= 1; i ^{5} = i;  i ^{6}= -1;  i ^{7}= -i;  i ^{8}=1  praticamente le prime quattro potenze di i sono ordinatamente i; -.1; -i; 1 e le successive si riproducono alla stessa maniera.

Consideriamo ora l’addizione e la sottrazione di numeri immaginari, essa dà come risultato un numero immaginario.

Per esempio: 6i + 14i= 20i  oppure 10i – 16- = -6i

Per quanto riguarda il prodotto e il quoziente di due numeri immaginari, sono numeri reali.

Per esempio : 5i •(-2i)= -10i² = -10 (-1)= +10

                       10i: 5i= 2 perchè le i si semplificano

Per quanto riguarda le potenze abbiamo che il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo.

 

Per esempio:( 6i)² = 36 i² = 36(-1)=-36

Per quanto riguarda la radice abbiamo che \sqrt{-16}= -4i.

Adesso vediamo cosa succede se abbiamo a che fare con un numero immaginario più un numero reale che si diranno numeri complessi.

Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti dell’immaginario.

Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale ed opposti coefficienti dell’immaginario si dicono complessi coniugati come: 8 + 3i  e 8 – 3i.

La somma di due o più numeri complessi è quel  numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali degli addendi e per coefficiente della parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie. Per esempio:

6 -3i + 5 + 5i = 11 +2i

La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale. Per esempio (5 +6i)+(5 – 6i)= 10.

Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte sia la parte reale che quella immaginaria. Per esempio 2 -7i  e -2 + 7i.

Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dell’opposto del secondo. Per esempio:    (8 -4i)-(4 + 2i)= 4 -6i

Per quanto riguarda un calcolo algebrico valgono gli stessi procedimenti che si usano per i numeri reali, bisogna solo fare attenzione a sostituire -1 al posto di i², oppure le altre potenze.

Esempio:

(2 – \sqrt{2} i)³ = 8 -2\sqrt{2}i³ -12 \sqrt{2} i +12i²  trasformando le potenze di i otteniamo: 8 -2\sqrt{2}(-i)  -12 \sqrt{2} i+12(-1)=

= 8 +2\sqrt{2} i -12 \sqrt{2} i-12=  -4 -10\sqrt{2} i.

Vedi gli esercizi

 

Programma di matematica secondo superiore

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