Abbiamo visto come con i numeri razionali non sia possibile estrarre dalla radice di indice pari un numero negativo.
Per esempio: 
non ha alcun significato nel campo reale, per tale motivo sono stati introdotti i numeri immaginari.
Sappiamo che non vi è alcun numero tra i numeri reali il cui quadrato sia uguale a -1 e il nuovo numero che introduciamo, chiamato, unità immaginaria (i), corrisponde proprio a i²= -1. Ovviamente tale numero si trova al di fuori dell’insieme dei numeri reali.
L’insieme dei numeri immaginari che hanno con la particolarità che (-i)²= -1 e = -1. Inoltre, , come per i numeri reali si pone i •1= i e i•0 =0.
Per quanto riguarda le potenze abbiamo che:
=i = -1; = -i; = 1; = i; = -1; = -i; =1 praticamente le prime quattro potenze di i sono ordinatamente i; -.1; -i; 1 e le successive si riproducono alla stessa maniera.
Consideriamo ora l’addizione e la sottrazione di numeri immaginari, essa dà come risultato un numero immaginario.
Per esempio: 6i + 14i= 20i oppure 10i – 16- = -6i
Per quanto riguarda il prodotto e il quoziente di due numeri immaginari, sono numeri reali.
Per esempio : 5i •(-2i)= -10i² = -10 (-1)= +10
10i: 5i= 2 perchè le i si semplificano
Per quanto riguarda le potenze abbiamo che il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo.
Per esempio:( 6i)² = 36 i² = 36(-1)=-36
Per quanto riguarda la radice abbiamo che = -4i.
Adesso vediamo cosa succede se abbiamo a che fare con un numero immaginario più un numero reale che si diranno numeri complessi.
Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti dell’immaginario.
Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale ed opposti coefficienti dell’immaginario si dicono complessi coniugati come: 8 + 3i e 8 – 3i.
La somma di due o più numeri complessi è quel numero complesso che ha per parte reale la somma delle parti reali degli addendi e per coefficiente della parte immaginaria la somma dei coefficienti delle parti immaginarie. Per esempio:
6 -3i + 5 + 5i = 11 +2i
La somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale. Per esempio (5 +6i)+(5 – 6i)= 10.
Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte sia la parte reale che quella immaginaria. Per esempio 2 -7i e -2 + 7i.
Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dell’opposto del secondo. Per esempio: (8 -4i)-(4 + 2i)= 4 -6i
Per quanto riguarda un calcolo algebrico valgono gli stessi procedimenti che si usano per i numeri reali, bisogna solo fare attenzione a sostituire -1 al posto di i², oppure le altre potenze.
Esempio:
(2 – i)³ = 8 -2i³ -12 i +12i² trasformando le potenze di i otteniamo: 8 -2(-i) -12 i+12(-1)=
= 8 +2 i -12 i-12= -4 -10 i.
