Esercizi sul coefficiente angolare, matematica secondo superiore

ESERCIZIO N° 1

Determina, quando è possibile, il coefficiente angolare delle rette AB,CD,EF, conoscendo le coordinate dei punti A(-1;3), B(2; 4), C(2; 3), E(-2;4), F(-2;-1)

ESERCIZIO N° 2

Determina, quando è possibile , il coefficiente angolare della retta passante per ogni coppia di punti indicata.

A(1;2) e B(4;5)

A(5,-3) e B(7, -2)

ESERCIZIO N° 3

Il punto A(-2; 6) appartiene alla retta il cui coefficiente angolare è $\frac{1}{3}$ . Qual è l’ordinata del punto B della retta se l’ascissa di B è 4?

ESERCIZIO N° 4

Nei seguenti esercizio sono dati: il coefficiente angolare di una retta, le coordinate di un suo punto A e l’ascissa, oppure l’ordinata , di un altro suo punto B. Determina la coordinata mancante.

1)m=5 A(1;2) B(2; ?)

2)m=-4 A(5,9) B(6;?)

3)m=-1 A(8; 4) B(11;?)

ESERCIZIO N° 5

Date le rette di equazioni y=3x – 2; -x + y- 4= 0; y= $\frac{2}{3}$ x; x -y-5=0; 2x+6y-1=0 stabiliamo quali sono parallele e quali perpendicolari.

ESERCIZIO N° 6

Considera le rette di ciascuno dei seguenti gruppi, determina il loro coefficiente angolare e infine stabilisci quali sono parallele e quali perpendicolari.

1)r: y=2x -3; s:y=-3x+2; t: y= $-\frac{1}{2$ x +1; u: y=2x+6

2)r:3x-2y+1=0; s:-6x+4y+7=0; t: 6x-4y-3=0

ESERCIZIO N°7

Date le seguenti coppie di rette determina per quale valore del parametro k sono parallele.

1)r:3x – y +6 = 0 s:y=3kx +5

2)r: $\frac{7}{4}$ y + x – 1 =0 s:ky =x-3

3)r:2x-4y-1=0 s:kx + y – 2=0

4)r:y=0 s:kx + (k-1)y + 2 =0

5)r:x + 2y – 8=0 s:3x +(k -1)y + 3

ESERCIZIO N°8

Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono perpendicolari.

1)r: 3x + 2y = 5 s: 2x – y=0

2)r: y= -5x + 2 s:y= $\frac{1}{5}$ x + 3

3)r:2x-5y-10=0 s:y = $\frac{5}{2}$ x + 6

ESERCIZIO N° 9

Date le seguenti coppie di rette, determina per quale valore del parametro k sono perpendicolari.

1)r:2y +3x= 5 s:y -3=(k -2)x

2)r:y +3x =0 s:y + $\frac{k}{2}$ x -1

3)r:y -5x=2 s:(k +2)x + y=3

4)r:2x + y=4 s:(k-2)x +(3-k)y =2

SVOLGIMENTO

ESERCIZIO N° 1

Determina, quando è possibile, il coefficiente angolare delle rette AB,CD,EF, conoscendo le coordinate dei punti A(-1;3), B(2; 4), C(2; 3), E(-2;4), F(-2;-1)

Calcoliamo il coefficiente angolare conoscendo le coordinate.

Calcoliamo m(AB), applicando la formula:

m= $\frac{y_{{b}} - y_{{a}}}{x_{{b}} - x_{{a}}}$

m(AB)= $\frac{4 -3}{2-(-1)}=\frac{1}{3}$

m(CD)= $\frac{3 -3}{5-2}=0$ la retta è parallela all’asse x

m(EF)= $\frac{-1 -4}{-2-(-2)}= \frac{-5}{0}$

ESERCIZIO N° 2

Determina, quando è possibile , il coefficiente angolare della retta passante per ogni coppia di punti indicata.

1)A(1;2) e B(4;5)

m= $\frac{y_{{b}} - y_{{a}}}{x_{{b}} - x_{{a}}}$ = $\frac{5-2}{4-1}= \frac{3}{3}$ = 1

2)A(5,-3) e B(7, -2)

m= $\frac{y_{{b}} - y_{{a}}}{x_{{b}} - x_{{a}}}$ = $\frac{-2+3}{7-5}= \frac{1}{2}$

ESERCIZIO N° 3

Il punto A(-2; 6) appartiene alla retta il cui coefficiente angolare è $\frac{1}{3}$ . Qual è l’ordinata del punto B della retta se l’ascissa di B è 4?

m= $\frac{1}{3}$ , A(-2; 6), B(4; $y_{{b}}$ )

m= $\frac{y_{{b}} - y_{{a}}}{x_{{b}} - x_{{a}}}$ adesso sostituiamo tutti i dati che abbiamo

$\frac{1}{3}=\frac{y_{{b}} - 6}{4 - (-2)}$ ⇒ $\frac{1}{3}=\frac{y_{{b}} - 6}{6}$ ⇒ facciamo il m.c.m. 2= $y_{{b}}$ – 6 ⇒ $y_{{b}}$ = 8

ESERCIZIO N° 4

1)m=5 A(1;2) B(2; ?)

m= $\frac{y_{{b}} - y_{{a}}}{x_{{b}} - x_{{a}}}$

$5=\frac{y_{{b}} - 2}{2 - 1}$ ⇒ $5=\frac{y_{{b}} - 2}{1}$ ⇒ $y_{{b}} = 5 + 2$ ⇒ $y_{{b}} = 7$

2)m=-4 A(5,9) B(6;?)

m= $\frac{y_{{b}} - y_{{a}}}{x_{{b}} - x_{{a}}}$

$-4=\frac{y_{{b}} - 9}{6-5}$ ⇒ $-4=\frac{y_{{b}} - 9}{1}$ ⇒ $y_{{b}} = 5$

3)m=-1 A(8; 4) B(11;?)

m= $\frac{y_{{b}} - y_{{a}}}{x_{{b}} - x_{{a}}}$

$-1=\frac{y_{{b}} - 4}{11 - 8}$ ⇒ $-1=\frac{y_{{b}} - 4}{3}$ ⇒ $-3=y_{{b}} - 4$ ⇒ $y_{{b}} = 1$

ESERCIZIO N° 5

Date le rette di equazioni r:y=3x – 2; s:-x + y- 4= 0; t:y= $\frac{2}{3}$ x; u:x -y-5=0; v:2x+6y-1=0 stabiliamo quali sono parallele e quali perpendicolari.

Per essere parallele le rette devono avere lo stesso coefficiente angolare quindi m=m’. Invece, sono perpendicolari quando m= $-\frac{1}{m$ .

il coefficiente angolare di r: y=3x – 2 è m=3

il coefficiente angolare di s:-x + y- 4= 0 è m= $-\frac{a}{b$ = 1

il coefficiente angolare di t:y= $\frac{2}{3}$ x; è m = $\frac{2}{3}$

il coefficiente angolare di u:x -y-5=0; m=1

il coefficiente angolare di v: 2x+6y-1=0 è m= $-\frac{1}{3$

La retta r e v sono perpendicolari

Le rette s e u sono parallele

ESERCIZIO N° 6

Considera le rette di ciascuno dei seguenti gruppi, determina il loro coefficiente angolare e infine stabilisci quali sono parallele e quali perpendicolari.

1)r: y=2x -3; s:y=-3x+2; t: y= $-\frac{1}{2$ x +1; u: y=2x+6

il coefficiente angolare di r:y=2x -3 è m =2

il coefficiente angolare di s:y=-3x+2; è m =-3

il coefficiente angolare di t: $-\frac{1}{2$ x +1 è m= $-\frac{1}{2$

il coefficiente angolare di u:y=2x+6 è m= 2

Le rette r e u sono parallele e sono perpendicolari con la retta t

2)r:3x-2y+1=0; s:-6x+4y+7=0; t: 6x-4y-3=0

il coefficiente angolare di r: 3x-2y+1=0 è m = $-\frac{a}{b$ = $\frac{3}{2$

il coefficiente angolare di s:-6x+4y+7=0; è m= $-\frac{a}{b$ = $\frac{3}{2$

il coefficiente angolare di t: 6x-4y-3=0 è m= $-\frac{a}{b$ = $-\frac{4}{6$ = $-\frac{2}{3$

La retta r e s sono parallele e sono perpendicolari con la retta t.

ESERCIZIO N°7

Date le seguenti coppie di rette determina per quale valore del parametro k sono parallele.

1)3x – y +6 = 0 y=3kx +5

il coefficiente angolare della prima equazione è m= $-\frac{a}{b$ =+3

Il coefficiente angolare della seconda equazione è m= 3k

Visto che le rette sono parallele possiamo eguagliare le due m e otteniamo:

3= 3k quindi k=1

2) $\frac{7}{4}$ y + x – 1 =0 ky =x-3

il coefficiente angolare della prima equazione è m= $-\frac{a}{b$ = $-\frac{4}{7}$

Il coefficiente angolare della seconda equazione è, portando tutto dalla stessa parte x -ky -3 ⇒ m= $-\frac{a}{b$ = $\frac{1}{k}$

Visto che le rette sono parallele possiamo eguagliare le due m e otteniamo:

$-\frac{4}{7}$ = $\frac{1}{k}$ ⇒ k= $-\frac{7}{4}$

3)2x-4y-1=0 kx + y – 2=0

ll coefficiente angolare della prima equazione è m= $-\frac{a}{b$ = $\frac{1}{2}$

Il coefficiente angolare della seconda equazione è m= $-\frac{a}{b$ = -k

Visto che le rette sono parallele possiamo eguagliare le due m e otteniamo: $\frac{1}{2}$ =- k ⇒ k= – $\frac{1}{2}$

4)y=0 kx + (k-1)y + 2 =0

ll coefficiente angolare della prima equazione è m=0

Il coefficiente angolare della seconda equazione è m= $-\frac{a}{b$ = $\frac{-k}{k-1}$

Visto che le rette sono parallele possiamo eguagliare le due m e otteniamo:

0= $\frac{-k}{k-1}$ ⇒ k= 0

5)x + 2y – 8=0 3x +(k -1)y + 3

ll coefficiente angolare della prima equazione è m= $-\frac{a}{b$ =- $\frac{1}{2}$

Il coefficiente angolare della seconda equazione è m= $-\frac{a}{b$ = $\frac{-3}{k-1}$

Visto che le rette sono parallele possiamo eguagliare le due m e otteniamo:

– $\frac{1}{2}$ = $\frac{-3}{k-1}$ ⇒ $\frac{-k+1}{2(k-1)} =\frac{-6}{2(k-1)}$ ⇒ -k + 1 = -6 ⇒k -1 =6 ⇒ k = 7

ESERCIZIO N°8

Stabilisci se le seguenti coppie di rette sono perpendicolari.

1)r: 3x + 2y = 5 s: 2x – y=0

Due rette sono perpendicolari tra loro se i loro coefficienti angolari sono l’uno il reciproco dell’altro quindi vale la relazione m’= $\frac{1}{m}$

il coefficiente angolare di r è m= $-\frac{a}{b$ = $-\frac{3}{2}$

il coefficiente angolare di s è m= +2

i due coefficienti non sono uno il reciproco dell’altro quindi non sono perpendicolari

2)r: y= -5x + 2 s: y= $\frac{1}{5}$ x + 3

il coefficiente angolare di r è m=- 5

il coefficiente angolare di s è m= $\frac{1}{5}$

Le due rette sono perpendicolari perchè sono una il reciproco dell’altra.

3)r:2x-5y-10=0 s:y = $\frac{5}{2}$ x + 6

il coefficiente angolare di r è m= $-\frac{a}{b$ = $\frac{2}{5}$

il coefficiente angolare di s è m= $\frac{5}{2}$

Non sono perpendicolari perchè i due coefficienti sono solo l’uno l’inverso dell’altro ma hanno lo stesso segno.

4)r:y= $-\frac{1}{3}$ x + $\frac{13}{3}$ s:y=3x +7

il coefficiente angolare di r è m= $-\frac{1}{3}$

il coefficiente angolare di s è m=3

Le due rette sono perpendicolari perchè sono l’una il reciproco dell’altra.

ESERCIZIO N° 9

Date le seguenti coppie di rette, determina per quale valore del parametro k sono perpendicolari.

1)r:2y +3x= 5 s:y -3=(k -2)x

il coefficiente angolare di r è m= $-\frac{a}{b$ = $-\frac{3}{2}$

il coefficiente angolare di s è m=k -2

Bisogna porre la condizione m’= $\frac{1}{m}$ quindi:

$-\frac{3}{2}$ =- $-\frac{1}{k -2}$ ⇒ k= $\frac{8}{3}$

2)r:y +3x =0 s:y + $\frac{k}{2}$ x -1

il coefficiente angolare di r è m=-3

il coefficiente angolare di s è m=- $\frac{k}{2}$

Bisogna porre la condizione m’= $\frac{1}{m}$ quindi:

-3 = $-\frac{1}{-\frac{k}{2}}$ ⇒ -3= $\frac{2}{k}$ ⇒ -3k = 2 ⇒ k = $-\frac{2}{3}$

3)r:y -5x=2 s:(k +2)x + y=3

il coefficiente angolare di r è m= 5

il coefficiente angolare di s è m= -(k+2)

Bisogna porre la condizione m’= $\frac{1}{m}$ quindi:

5 = $\frac{1}{k+2}$ ⇒ 5k + 10 = 1 ⇒ 5k = -9 ⇒ k= $-\frac{9}{5}$

4)r:2x + y=4 s:(k-2)x +(3-k)y =2

il coefficiente angolare di r è m= -2

il coefficiente angolare di s è m= $-\frac{a}{b$ = $-\frac{k-2}{3-k}$

Bisogna porre la condizione m’= $\frac{1}{m}$ quindi:

-2 = $-\frac{k-2}{3-k}$ ⇒ -2k + 4 = 3 – k ⇒ -k = -1 ⇒k=1

ESERCIZIO N° 1

ESERCIZIO N° 2

ESERCIZIO N° 3

ESERCIZIO N° 4

ESERCIZIO N° 5

ESERCIZIO N° 6

ESERCIZIO N°7

ESERCIZIO N°8

ESERCIZIO N° 9

SVOLGIMENTO

ESERCIZIO N° 1

ESERCIZIO N° 2

ESERCIZIO N° 3

ESERCIZIO N° 4

ESERCIZIO N° 5

ESERCIZIO N° 6

ESERCIZIO N°7

ESERCIZIO N°8

ESERCIZIO N° 9

Programma di matematica secondo superiore

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