ESERCIZIO N° 1

Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P(-5; \frac{1}{3}) e con coefficiente angolare m=0, m=1 e m=-3

ESERCIZIO N° 2

Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato con coefficiente angolare m=0, m=5, m=-3.

1)A(-2; 3)

2)B(6; -4)

ESERCIZIO N° 3

Determina l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione 2y – x + 6 =0, passanti per A(1;1).

ESERCIZIO N° 4

Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare passanti per il punto A.

1)A(-3;-3)        y = \frac{7}{6}x

2)A(0; -2)       y +3x+2=0

3)A(1; -1)        x+y = 0

ESERCIZIO N° 5

Dato il fascio di rette di equazione :

(2k – 1)x – 3ky + 2 =0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 3x – 2.

ESERCIZIO N° 6

Dato il fascio di rette di equazione:

(2k + 1)x – 2ky + 5 = 0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione         6y-5x=1

ESERCIZIO N° 7

Dato il fascio di rette di equazione:

kx – 2y +k – 2=0

determina i valori del parametro k per cui si ha una retta:

a)passante per l’origine

b)passante per il punto P(-1;2);

c)perpendicolare alla retta di equazione y = – \frac{1}{3}x + 2

 

 

SVOLGIMENTO

Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P(-5; \frac{1}{3}) e con coefficiente angolare m=0, m=1 e m=-3.

Scriviamo prima di tutto l’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto.

y – y_{{0} = m (x – x_{{0})

Sostituiamo le coordinate del punto e otteniamo.

y – \frac{1}{3} = m( x + 5)

A questo punto otteniamo la retta a seconda del diverso coefficiente angolare.

Se m=0

y – \frac{1}{3} = 0( x + 5) ⇒ y – \frac{1}{3}  =0 ⇒ y = \frac{1}{3}

Se m=1

y – \frac{1}{3} = 1( x + 5) ⇒ y  – \frac{1}{3} = x + 5 ⇒ y = x + 5 +\frac{1}{3} ⇒ y = x + \frac{16}{3}

Se m = -3

y – \frac{1}{3} = -3 ( x + 5) ⇒ y – \frac{1}{3}  = -3x – 15 ⇒ y = -3x – 15 + \frac{1}{3} ⇒ y = -3x – \frac{44}{3}

ESERCIZIO N° 2

Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato con coefficiente angolare m=0, m=5, m=-3.

1)A(-2; 3)

y – y_{{0} = m (x – x_{{0})

y -3 =m(x + 2)

Se m = 0      y-3 = 0 ⇒ y = 3

Se m = 5

y -3 =5(x + 2) ⇒  y – 3 = 5x + 10 ⇒  y = 5x + 13

Se m = -3

y -3 =-3(x + 2) ⇒ y – 3 = -3x – 6 ⇒ y = – 3x – 3

2)B(6; -4)

y – y_{{0} = m (x – x_{{0})

y + 4 = m (x – 6)

Se m = 0      y + 4 =0 ⇒  y = -4

Se m = 5

y + 4 = 5 (x – 6)  ⇒ y + 4 = 5x – 30  ⇒ y = 5x – 34

Se m = -3

y + 4 = -3 (x – 6)   ⇒ y + 4 = – 3x + 18 ⇒ y = -3x + 14

ESERCIZIO N° 3

Determina l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione 2y – x + 6 =0, passanti per A(1;1).

Il coefficiente angolare della retta r è m=-\frac{a}{b} = +\frac{1}{2}

L’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto è:

y – y_{{0} = m (x – x_{{0})

y -1 = m (x – 1)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =+\frac{1}{2}

y -1 = +\frac{1}{2} (x – 1) ⇒ y = \frac{1}{2}x – \frac{1}{2} + 1 ⇒ y =  \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – \frac{1}{m} quindi m’= – 2

y -1 = m (x – 1) ⇒ y -1 = -2 (x -1) ⇒ y = -2x + 2 + 1 ⇒ y = -2x + 3

ESERCIZIO N° 4

Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare passanti per il punto A.

1)A(-3;-3)        y = \frac{7}{6}x

L’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto è:

y – y_{{0} = m (x – x_{{0})

y +3 = m(x + 3)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =\frac{7}{6}

y +3 = \frac{7}{6}(x + 3)  ⇒  y = \frac{7}{6}x + \frac{7}{2} – 3 ⇒ y = \frac{7}{6}x + \frac{1}{2}

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – \frac{1}{m} quindi m’= –\frac{6}{7}

y +3 =-\frac{6}{7} (x + 3)  ⇒ y = –\frac{6}{7} x – \frac{18}{7} – 3 ⇒  y = –\frac{6}{7} x – \frac{39}{7}

2)A(0; -2)       y +3x+2=0

y – y_{{0} = m (x – x_{{0})

y + 2 = m (x – 0)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =-\frac{a}{b} =-3

y + 2 = -3 (x) ⇒ y = -3x – 2

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – \frac{1}{m} quindi m’= \frac{1}{3}

y + 2 = \frac{1}{3}(x – 0) ⇒ y = \frac{1}{3}x – 2

3)A(1; -1)              x+y = 0

y – y_{{0} = m (x – x_{{0})

y + 1 = m(x – 1)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m =-\frac{a}{b} = -1

y + 1 = -1(x – 1) ⇒ y + 1 = -x + 1 ⇒ y = -x

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – \frac{1}{m} quindi m’=+1

y + 1 =1(x – 1) ⇒ y = x – 1 – 1 ⇒ y = x – 2

ESERCIZIO N° 5

Dato il fascio di rette di equazione :

(2k – 1)x – 3ky + 2 =0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 3x – 2.

Il coefficiente angolare dell’equazione (2k – 1)x – 3ky + 2 =0 è m= -\frac{a}{b} = \frac{2k -1}{3k}

Il coefficiente angolare dell’equazione y = 3x – 2. è m=3

Visto che le rette sono parallele si possono eguagliare i loro coefficienti angolari.

\frac{2k -1}{3k}= 3 ⇒ 2k – 1 = 9k ⇒ 7k = -1 ⇒ k = -\frac{1}{7}

ESERCIZIO N° 6

Dato il fascio di rette di equazione:

(2k + 1)x – 2ky + 5 = 0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione         6y-5x=1

Il coefficiente angolare dell’equazione (2k + 1)x – 2ky + 5 = 0  è m= -\frac{a}{b} =-\frac{(2k + 1)}{-2k} = \frac{(2k + 1)}{2k}

Il coefficiente angolare dell’equazione  6y-5x=1 è m= -\frac{a}{b}\frac{5}{6}

Visto che le rette sono perpendicolari m’= -\frac{1}{m} quindi:

\frac{(2k + 1)}{2k}-\frac{6}{5} ⇒    \frac{10k+ 5}{10k}  = -\frac{12k}{10k}  ⇒  10k + 12k = – 5 ⇒ 22k = -5 ⇒  k = -\frac{5}{22}

ESERCIZIO N° 7

Dato il fascio di rette di equazione:

kx – 2y +k – 2=0

determina i valori del parametro k per cui si ha una retta:

a)passante per l’origine

b)passante per il punto P(-1;2);

c)perpendicolare alla retta di equazione y = – \frac{1}{3}x + 2

a)Sostituisco le coordinate dell’origine (0,0) nell’equazione con il parametro e ottengo:

0 – 0 + k – 2 ⇒ k = 2

b)Sostituisco le coordinate del punto P nell’equazione con il parametro e ottengo:

k(-1)-2(2) + k – 2 =0 ⇒ – k -4 + k – 2 =0 ⇒ -4 – 2 = 0  quindi non passa per il punto P visto che la K va via.

c)Il coefficiente angolare dell’equazione kx – 2y +k – 2=0 è m= -\frac{a}{b}=\frac{k}{2}

Il coefficiente angolare dell’equazione y = – \frac{1}{3}x + 2 è m=  – \frac{1}{3}

Visto che le rette sono perpendicolari m’= -\frac{1}{m} quindi:

\frac{k}{2}= 3 ⇒ k = 6

Programma di matematica secondo superiore