Esercizi sulla retta passante per un punto, matematica secondo superiore

ESERCIZIO N° 1

Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P(-5; $\frac{1}{3}$ ) e con coefficiente angolare m=0, m=1 e m=-3

ESERCIZIO N° 2

Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato con coefficiente angolare m=0, m=5, m=-3.

1)A(-2; 3)

2)B(6; -4)

ESERCIZIO N° 3

Determina l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione 2y – x + 6 =0, passanti per A(1;1).

ESERCIZIO N° 4

Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare passanti per il punto A.

1)A(-3;-3) y = $\frac{7}{6}$ x

2)A(0; -2) y +3x+2=0

3)A(1; -1) x+y = 0

ESERCIZIO N° 5

Dato il fascio di rette di equazione :

(2k – 1)x – 3ky + 2 =0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 3x – 2.

ESERCIZIO N° 6

Dato il fascio di rette di equazione:

(2k + 1)x – 2ky + 5 = 0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione 6y-5x=1

ESERCIZIO N° 7

Dato il fascio di rette di equazione:

kx – 2y +k – 2=0

determina i valori del parametro k per cui si ha una retta:

a)passante per l’origine

b)passante per il punto P(-1;2);

c)perpendicolare alla retta di equazione y = – $\frac{1}{3}$ x + 2

SVOLGIMENTO

Scrivi l’equazione del fascio proprio di rette passante per il punto P(-5; $\frac{1}{3}$ ) e con coefficiente angolare m=0, m=1 e m=-3.

Scriviamo prima di tutto l’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto.

y – $y_{{0}$ = m (x – $x_{{0}$ )

Sostituiamo le coordinate del punto e otteniamo.

y – $\frac{1}{3}$ = m( x + 5)

A questo punto otteniamo la retta a seconda del diverso coefficiente angolare.

Se m=0

y – $\frac{1}{3}$ = 0( x + 5) ⇒ y – $\frac{1}{3}$ =0 ⇒ y = $\frac{1}{3}$

Se m=1

y – $\frac{1}{3}$ = 1( x + 5) ⇒ y – $\frac{1}{3}$ = x + 5 ⇒ y = x + 5 + $\frac{1}{3}$ ⇒ y = x + $\frac{16}{3}$

Se m = -3

y – $\frac{1}{3}$ = -3 ( x + 5) ⇒ y – $\frac{1}{3}$ = -3x – 15 ⇒ y = -3x – 15 + $\frac{1}{3}$ ⇒ y = -3x – $\frac{44}{3}$

ESERCIZIO N° 2

Scrivi l’equazione del fascio di rette passante per ciascun punto indicato con coefficiente angolare m=0, m=5, m=-3.

1)A(-2; 3)

y – $y_{{0}$ = m (x – $x_{{0}$ )

y -3 =m(x + 2)

Se m = 0 y-3 = 0 ⇒ y = 3

Se m = 5

y -3 =5(x + 2) ⇒ y – 3 = 5x + 10 ⇒ y = 5x + 13

Se m = -3

y -3 =-3(x + 2) ⇒ y – 3 = -3x – 6 ⇒ y = – 3x – 3

2)B(6; -4)

y – $y_{{0}$ = m (x – $x_{{0}$ )

y + 4 = m (x – 6)

Se m = 0 y + 4 =0 ⇒ y = -4

Se m = 5

y + 4 = 5 (x – 6) ⇒ y + 4 = 5x – 30 ⇒ y = 5x – 34

Se m = -3

y + 4 = -3 (x – 6) ⇒ y + 4 = – 3x + 18 ⇒ y = -3x + 14

ESERCIZIO N° 3

Determina l’equazione della parallela e della perpendicolare alla retta r di equazione 2y – x + 6 =0, passanti per A(1;1).

Il coefficiente angolare della retta r è m= $-\frac{a}{b}$ = $+\frac{1}{2}$

L’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto è:

y – $y_{{0}$ = m (x – $x_{{0}$ )

y -1 = m (x – 1)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m = $+\frac{1}{2}$

y -1 = $+\frac{1}{2}$ (x – 1) ⇒ y = $\frac{1}{2}$ x – $\frac{1}{2}$ + 1 ⇒ y = $\frac{1}{2}$ x + $\frac{1}{2}$

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – $\frac{1}{m}$ quindi m’= – 2

y -1 = m (x – 1) ⇒ y -1 = -2 (x -1) ⇒ y = -2x + 2 + 1 ⇒ y = -2x + 3

ESERCIZIO N° 4

Per ciascuna retta, scrivi l’equazione della parallela e della perpendicolare passanti per il punto A.

1)A(-3;-3) y = $\frac{7}{6}$ x

L’equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto è:

y – $y_{{0}$ = m (x – $x_{{0}$ )

y +3 = m(x + 3)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m = $\frac{7}{6}$

y +3 = $\frac{7}{6}$ (x + 3) ⇒ y = $\frac{7}{6}$ x + $\frac{7}{2}$ – 3 ⇒ y = $\frac{7}{6}$ x + $\frac{1}{2}$

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – $\frac{1}{m}$ quindi m’= – $\frac{6}{7}$

y +3 =- $\frac{6}{7}$ (x + 3) ⇒ y = – $\frac{6}{7}$ x – $\frac{18}{7}$ – 3 ⇒ y = – $\frac{6}{7}$ x – $\frac{39}{7}$

2)A(0; -2) y +3x+2=0

y – $y_{{0}$ = m (x – $x_{{0}$ )

y + 2 = m (x – 0)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m = $-\frac{a}{b}$ =-3

y + 2 = -3 (x) ⇒ y = -3x – 2

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – $\frac{1}{m}$ quindi m’= $\frac{1}{3}$

y + 2 = $\frac{1}{3}$ (x – 0) ⇒ y = $\frac{1}{3}$ x – 2

3)A(1; -1) x+y = 0

y – $y_{{0}$ = m (x – $x_{{0}$ )

y + 1 = m(x – 1)

Se la retta è parallela alla retta r allora m’=m = $-\frac{a}{b}$ = -1

y + 1 = -1(x – 1) ⇒ y + 1 = -x + 1 ⇒ y = -x

Se la retta è perpendicolare alla retta r allora m’= – $\frac{1}{m}$ quindi m’=+1

y + 1 =1(x – 1) ⇒ y = x – 1 – 1 ⇒ y = x – 2

ESERCIZIO N° 5

Dato il fascio di rette di equazione :

(2k – 1)x – 3ky + 2 =0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = 3x – 2.

Il coefficiente angolare dell’equazione (2k – 1)x – 3ky + 2 =0 è m= $-\frac{a}{b}$ = $\frac{2k -1}{3k}$

Il coefficiente angolare dell’equazione y = 3x – 2. è m=3

Visto che le rette sono parallele si possono eguagliare i loro coefficienti angolari.

$\frac{2k -1}{3k}$ = 3 ⇒ 2k – 1 = 9k ⇒ 7k = -1 ⇒ k = $-\frac{1}{7}$

ESERCIZIO N° 6

Dato il fascio di rette di equazione:

(2k + 1)x – 2ky + 5 = 0

determina il valore del parametro k per cui si ottiene la retta del fascio perpendicolare alla retta di equazione 6y-5x=1

Il coefficiente angolare dell’equazione (2k + 1)x – 2ky + 5 = 0 è m= $-\frac{a}{b}$ = $-\frac{(2k + 1)}{-2k}$ = $\frac{(2k + 1)}{2k}$

Il coefficiente angolare dell’equazione 6y-5x=1 è m= $-\frac{a}{b}$ = $\frac{5}{6}$

Visto che le rette sono perpendicolari m’= $-\frac{1}{m}$ quindi:

$\frac{(2k + 1)}{2k}$ = $-\frac{6}{5}$ ⇒ $\frac{10k+ 5}{10k}$ = $-\frac{12k}{10k}$ ⇒ 10k + 12k = – 5 ⇒ 22k = -5 ⇒ k = $-\frac{5}{22}$

ESERCIZIO N° 7

Dato il fascio di rette di equazione:

kx – 2y +k – 2=0

determina i valori del parametro k per cui si ha una retta:

a)passante per l’origine

b)passante per il punto P(-1;2);

c)perpendicolare alla retta di equazione y = – $\frac{1}{3}$ x + 2

a)Sostituisco le coordinate dell’origine (0,0) nell’equazione con il parametro e ottengo:

0 – 0 + k – 2 ⇒ k = 2

b)Sostituisco le coordinate del punto P nell’equazione con il parametro e ottengo:

k(-1)-2(2) + k – 2 =0 ⇒ – k -4 + k – 2 =0 ⇒ -4 – 2 = 0 quindi non passa per il punto P visto che la K va via.

c)Il coefficiente angolare dell’equazione kx – 2y +k – 2=0 è m= $-\frac{a}{b}$ = $\frac{k}{2}$

Il coefficiente angolare dell’equazione y = – $\frac{1}{3}$ x + 2 è m= – $\frac{1}{3}$

Visto che le rette sono perpendicolari m’= $-\frac{1}{m}$ quindi:

$\frac{k}{2}$ = 3 ⇒ k = 6

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Esercizi sulla retta passante per un punto

ESERCIZIO N° 1

ESERCIZIO N° 2

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