Problemi sulle rette

 

ESERCIZIO N° 1

Scrivi  l’equazione della retta che è perpendicolare alla retta passante per A(-2;-5) e B(3; 1) e che passa per il punto C(2;-3).

ESERCIZIO N° 2

Fra le rette parallele alla retta r di equazione x +2y – 10=0 determina quella che passa per il punto P(4;-3).

ESERCIZIO N° 3

Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(-2; -2) e B(6; 10). Determina su tale retta un punto C la cui ascissa è la metà dell’ordinata.

ESERCIZIO N° 4

Fra le rette perpendicolari alla retta s di equazione 3x – 6y + 1 = 0 determina:

a)la retta a che passa per il punto A(1,3);

b)la retta b che passa per l’origine.

ESERCIZIO N° 5

Fra le rette passanti per il punto P(1; 3) determina:

a)l’equazione della retta che interseca l’asse x nel punto A(2; 0);

b)l’equazione della retta che interseca l’asse y nel punto B(0; -1).

ESERCIZIO N° 6

I punti A(-3; 1), B(6; 3) e C(-1; -5) sono i vertici di un triangolo. Determina:

a)le equazioni delle rette contenenti i tre lati;

b)le coordinate dei punti d’intersezione della retta contenente BC con gli assi cartesiani.

 

SVOLGIMENTO

ESERCIZIO N° 1

Scrivi  l’equazione della retta che è perpendicolare alla retta passante per A(-2;-5) e B(3; 1) e che passa per il punto C(2;-3).

La retta passante per AB la calcolo con la retta passante per due punti

\frac{ y-y_{{1}}}{y_{{2}}-y_{{1}}} = \frac{ x-x_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}}

quindi otteniamo:

\frac{y+5}{1 + 5}=\frac{x+2}{3+2} ⇒ \frac{y+5}{6}=\frac{x+2}{5}

5(y+5) =6(x +2) ⇒     5y + 25 = 6x + 12 ⇒     5y = 6x + 12 – 25 ⇒     y = \frac{6}{5}x = -\frac{13}{5}

Il coefficiente angolare è m=\frac{6}{5}

La retta perpendicolare avrà coefficiente angolare m’= – \frac{1}{m} ⇒  m’= -\frac{5}{6} e passerà per C(2; -3)

y -y_{{1}} = m(x -x_{{1}})  ⇒    y +3 = -\frac{5}{6}(x – 2)    ⇒  y + 3 = -\frac{5}{6}x + \frac{5}{3}

y= -\frac{5}{6}x + \frac{5}{3} – 3  ⇒ y= -\frac{5}{6}x -\frac{4}{3}   ⇒ 6y = -5x – 8  ⇒ 6y +5x +8 = 0

ESERCIZIO N° 2

Fra le rette parallele alla retta r di equazione x +2y – 10=0 determina quella che passa per il punto P(4;-3).

x + 2y – 10 = 0  il cui coefficiente angolare è m= -\frac{a}{b} = -\frac{1}{2}

y -y_{{1}} = m(x -x_{{1}}) ⇒ y + 3 = -\frac{1}{2}(x – 4)

y +3 = -\frac{1}{2}x + 2  ⇒  y = -\frac{1}{2}x – 1   ⇒  2y + x +2 =0

ESERCIZIO N° 3

Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A(-2; -2) e B(6; 10). Determina su tale retta un punto C la cui ascissa è la metà dell’ordinata.

Uso la formula della retta passante per i due punti.

\frac{ y-y_{{1}}}{y_{{2}}-y_{{1}}} = \frac{ x-x_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}}

\frac{y + 2}{10 + 2} = \frac{x+ 2}{6 + 2}  ⇒ \frac{y+ 2}{12} = \frac{x+ 2}{8}

8(y + 2) = 12(x + 2) ⇒  8y + 16 = 12x + 24 ⇒ 8y – 12x -8 =0  divido tutto per -4 e ottengo:

3x – 2y + 2 =0

chiamiamo z l’ordinata del punto C e \frac{z}{2} l’ascissa.

Sostituisco queste coordinate nell’equazione trovata.

3(\frac{z}{2}) – 2(z) + 2 =0 ⇒ -\frac{1}{2}z = – 2 ⇒ z = 4 quindi le coordinate di C sono (2; 4)

ESERCIZIO N° 4

Fra le rette perpendicolari alla retta s di equazione 3x – 6y + 1 = 0 determina:

Il coefficiente angolare della retta è m= -\frac{a}{b} = \frac{3}{6} =  \frac{1}{2}

a)la retta a che passa per il punto A(1,3);

il suo coefficiente angolare sarà -\frac{1}{m} quindi = 2

y -y_{{1}} = m(x -x_{{1}}) ⇒ y – 3 = -2(x – 1) ⇒  y = -2x + 2 + 3 ⇒ y = -2x + 5

b)la retta b che passa per l’origine.

il suo coefficiente essendo anch’essa perpendicolare alla retta data è 2, il punto attraverso cui passa è O(0,0). Avremo:

y -y_{{1}} = m(x -x_{{1}}) ⇒ y – 0 = – 2 (x – 0) ⇒ y = -2x

ESERCIZIO N° 5

Fra le rette passanti per il punto P(1; 3) determina:

a)l’equazione della retta che interseca l’asse x nel punto A(2; 0);

b)l’equazione della retta che interseca l’asse y nel punto B(0; -1).

Prima di tutto consideriamo il fascio passante per P lasciando m come incognita.

y -y_{{1}} = m(x -x_{{1}}) ⇒ y – 3 = m(x -1)

a)tale fascio passa anche per il punto A quindi andiamo a sostituire le sue coordinate a x ed a y. Avremo:

0 – 3 = m(2-1) quindi m = -3

La retta che cerchiamo sarà y -y_{{1}} = m(x -x_{{1}}) ⇒ y – 3 = m(x -1), però questa volta conosciamo m quindi sarà:

y – 3= -3(x – 1) ⇒     y – 3 = -3x + 3 ⇒     y = -3x + 6

b)tale fascio passa anche per il punto B quindi andiamo a sostituire le sue coordinate a x ed a y. Avremo:

partendo da y – 3 = m(x -1) otteniamo 1 – 3 = m (0-1) ⇒   m = 4

Conoscendo il valore di m lo andiamo a sostituire in y – 3 = m(x -1) e otteniamo y – 3 = 4(x – 1) ⇒ y – 3 = 4x – 4 ⇒

y = 4x – 1

ESERCIZIO N° 6

I punti A(-3; 1), B(6; 3) e C(-1; -5) sono i vertici di un triangolo. Determina:

a)le equazioni delle rette contenenti i tre lati;

AB=\frac{ y-y_{{1}}}{y_{{2}}-y_{{1}}} = \frac{ x-x_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}}  ⇒    \frac{y - 1}{3 - 1}= \frac{x + 3}{6 + 3}   ⇒   \frac{y - 1}{2}= \frac{x + 3}{9}    ⇒  9y – 9 = 2x + 6    ⇒  -9y + 2x + 15 =0

AC= \frac{ y-y_{{1}}}{y_{{2}}-y_{{1}}} = \frac{ x-x_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}} ⇒   \frac{y - 1}{-5-1}= \frac{x + 3}{-1+3}⇒     \frac{y - 1}{-6}= \frac{x + 3}{2}⇒  2y -2= -6x – 18 ⇒   2y +6x + 16 ⇒y + 3x + 8 =0

BC= \frac{ y-y_{{1}}}{y_{{2}}-y_{{1}}} = \frac{ x-x_{{1}}}{x_{{2}}-x_{{1}}} ⇒   \frac{y - 3}{-5-3}= \frac{x -6}{-1-6}⇒    \frac{y - 3}{-8}= \frac{x -6}{-7}⇒  -7y +21 = -8x + 48⇒ -7y +8x – 27=0

b)le coordinate dei punti d’intersezione della retta contenente BC con gli assi cartesiani.

Intersezione con l’asse y quindi con x=0

Intersezione con l’asse x quindi con y=0

Programma di matematica secondo superiore

Programma matematica terzo superiore