Esercizi sulla somma e prodotto delle radici

 

Esercizio n° 1

Senza risolvere le equazioni nella variabile x, calcola per ognuna la somma e il prodotto delle radici, specificando se le radici sono reali.

1)-x² + 5x – 6=0

2)3x² – 5x + 3=0

3)18x² + 3\sqrt{3}x + 9\sqrt{2}x – 1 =0

Esercizio n° 2

Scrivi l’equazione di secondo grado in forma normale che ha come radici:

1)x_{{1}}= -2   e      x_{{2}}\frac{1}{3}

2)x_{{1}}=3     e        x_{{2}}=-\frac{1}{3}

3)x_{{1}}=- \sqrt{2}   e    x_{{2}}=- \sqrt{3}

Esercizio n° 3

Determina le due radici conoscendo il valore della somma e del prodotto.

1)s= 6\sqrt{2}            p=16

2)s=0                  p=-12

3)s=6                  p=13

4)s=\frac{1}{3}                 p=0

Esercizio n° 4

Data l’equazione, calcola una radice sapendo il valore dell’altra.

1)2x² + 3x – 20=0      con   x_{{1}}=-4

2)x² -8x + 15 =0       con    x_{{1}}= 5

3)\frac{1}{4}x² – \frac{1}{2}x – 2 =        con    x_{{1}}= -2

 

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Senza risolvere le equazioni nella variabile x, calcola per ognuna la somma e il prodotto delle radici, specificando se le radici sono reali.

1)-x² + 5x – 6=0

x² – 5x + 6=0

s= x_{{1}}x_{{2}} = -\frac{b}{a} = 5

p=  x_{{1}}• x_{{2}} = \frac{c}{a} = 6

Δ= b² – 4ac = 25 – 24 = 1 >0   Radici reali

2)3x² – 5x + 3=0

s= x_{{1}}x_{{2}} = -\frac{b}{a} = \frac{5}{3}

p=  x_{{1}}• x_{{2}} = \frac{c}{a} = \frac{3}{3}= 1

Δ= b² – 4ac = 25 – 36 =-9 <0   Radici non reali

3)18x² + 3\sqrt{3}x + 9\sqrt{2}x – 1 =0

8x² + x(3\sqrt{3}+  9\sqrt{2}) – 1 =0

s= x_{{1}}x_{{2}} = -\frac{b}{a} = – \frac{3\sqrt{3}+9\sqrt{2}}{18} =- 3(\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{18}) =- \frac{\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}

p=  x_{{1}}• x_{{2}} = \frac{c}{a} = -\frac{1}{18}

Δ= b² – 4ac = (3\sqrt{3}+  9\sqrt{2})² + 32 >0   Radici reali

Esercizio n° 2

Scrivi l’equazione di secondo grado in forma normale che ha come radici:

1)x_{{1}}= -2   e      x_{{2}}\frac{1}{3}

s= x_{{1}}x_{{2}} = -2 + \frac{1}{3}= – \frac{5}{3}

p= x_{{1}}• x_{{2}} = -2 • (\frac{1}{3})= – \frac{2}{3}

x² – sx +p=0  quindi sostituendo   x² +  \frac{5}{3}x – \frac{2}{3}

2)x_{{1}}=3     e        x_{{2}}= – \frac{1}{3}

s= x_{{1}}x_{{2}} = 3 – \frac{1}{3} = \frac{8}{3}

p= x_{{1}}• x_{{2}} = 3 (- \frac{1}{3})= -1             

x² – sx +p=0  quindi sostituendo     x² – \frac{8}{3} – 1 =0

3)x_{{1}}=- \sqrt{2}   e    x_{{2}}=- \sqrt{3}

s= x_{{1}}x_{{2}} = – \sqrt{2} – \sqrt{3}

p= x_{{1}}• x_{{2}} = – \sqrt{2} • (-\sqrt{3})= \sqrt{6}

x² – sx +p=0  quindi sostituendo  x² +( \sqrt{2} + \sqrt{3})x + \sqrt{6}

Esercizio n° 3

Determina le due radici conoscendo il valore della somma e del prodotto.

1)s= 6\sqrt{2}            p=16

x² – sx +p=0 

x² – 6\sqrt{2} x + 16 =0

\frac{\Delta }{4} = (-3\sqrt{2})² – 16 = 18 – 16 = 2

x= +3\sqrt{2} ± \sqrt{2}

x_{{1}}= 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2} 

x_{{2}}= 3\sqrt{2} – \sqrt{2} = 2\sqrt{2} 

2)s=0                  p=-12

x² – sx +p=0 

x² -12=0         x²= 12

x= ± \sqrt{12} = ±2\sqrt{3}

3)s=6                  p=13

x² – sx +p=0 

x² – 6x + 13 =0

\frac{\Delta }{4}=9 – 13 = -4<0   IMPOSSIBILE

4)s=\frac{1}{3}                 p=0

x² – sx +p=0 

x²- \frac{1}{3}x =0

x(x – \frac{1}{3}) =0

x=0  e x=\frac{1}{3}

Esercizio n° 4

Data l’equazione, calcola una radice sapendo il valore dell’altra.

1)2x² + 3x – 20=0      con   x_{{1}}=-4

p=  x_{{1}}• x_{{2}} = \frac{c}{a} = -\frac{20}{2} = -10

x_{{1}}• x_{{2}} = -10

-4 x_{{2}} = – 10 ⇒  x_{{2}} \frac{-10}{-4} = \frac{5}{4}  

2)x² -8x + 15 =0       con    x_{{1}}= 5

s= x_{{1}}+x_{{2}}-\frac{b}{a} = 8

5 + x_{{2}} = 8 ⇒    x_{{2}} = 8 – 5 = 3

3)\frac{1}{4}x² – \frac{1}{2}x – 2 =        con    x_{{1}}= -2

s= x_{{1}}+x_{{2}}-\frac{b}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} ⇒ \frac{1}{2} • 4 = 2

x_{{1}}+x_{{2}}=2 quindi -2 +x_{{2}} = 2 ⇒ x_{{2}} = 4

 

Programma di matematica secondo superiore