Esercizi equazioni di secondo grado letterali

 

Le equazioni letterali di secondo grado si risolvono come quelle senza parte letterale con la differenza che bisogna fare la discussione.

Esercizio 

Svolgi le seguenti equazioni letterali di secondo grado con discussione.

1)(a – b)x² – 2ax =0

2)(a – 2)x² – a²x + 2a²=0

3)4x² – 4ax +a(a -2) =0

4)a²x² -4ax + 3 – 2a² =0

5)2a²x² – 3ax + 1 =0

6)kx² – 2x(k+1) + 4=0

7)a²x² -3ax + 2 =0

8)x² + 3ax – 1 – 3a =0

9)kx² -kx – 6=0

10)bx² + 9 – x² -9b=0

11)a²x² – 2ax + a²x + 1 – a =0

 

SVOLGIMENTO

Esercizio 

Svolgi le seguenti equazioni letterali di secondo grado con discussione.

1)(a – b)x² – 2ax =0

Visto che il coefficiente della x² è letterale dobbiamo discutere il caso in cui esso è uguale a zero o il caso in cui sia diverso da zero.

  • Se a – b= 0 significa che a=b quindi x=0
  • Se  a – b≠ 0 dobbiamo calcolarci le radici.

x [ (a-b)x – 2a]= 0  quindi x=0    e  ( a-b)x – 2a =0⇒ x= \frac{2a}{a-b}

2)(a – 2)x² – a²x + 2a²=0

Visto che il coefficiente della x² è letterale dobbiamo discutere il caso in cui esso è uguale a zero o il caso in cui sia diverso da zero.

  • Se a-2 =0 ⇒ a=2 quindi andando a sostituire nell’equazione otteniamo 0•x² -4x + 8 = 0 quindi x=2; 
  • Se a-2 ≠0 quindi a≠2 si trovano le radici.

Δ= b² – 4ac = a^{4} -8a²(a – 2) =  a^{4} – 8 a^{3} + 16a² = a²(a² – 8a + 16) = a²(a – 4)²

x_{{1}}= \frac{a ^{2}+\sqrt{a ^{2}(a -4) ^{2}}}{2(a - 2)} = \frac{a ^{2}+a (a -4) }{2(a - 2)} =  \frac{a ^{2}+a ^{2} - 4a}{2(a - 2)}\frac{2a ^{2}- 4a}{2(a - 2)} = \frac{2a(a - 2)}{2(a - 2)} = a

x_{{2}}= \frac{a ^{2}-\sqrt{a ^{2}(a -4) ^{2}}}{2(a - 2)}\frac{a ^{2}-a (a -4) }{2(a - 2)}\frac{a ^{2}-a ^{2}+ 4a}{2(a - 2)}\frac{-2a}{(a - 2)}

3)4x² – 4ax +a(a -2) =0

Facciamo il \frac{\Delta }{4} = 4a² – 4a(a – 2) = 4a² – 4a² + 8a = 8a

x_{{1}}\frac{2a + \sqrt{8a}}{4} = \frac{2a+ 2\sqrt{2a}}{4}\frac{2(a+ \sqrt{2a})}{4}\frac{a+ \sqrt{2a}}{2}

x_{{2}}=\frac{2a- \sqrt{8a}}{4}=\frac{2a - 2\sqrt{2a}}{4}\frac{2(a - \sqrt{2a})}{4} = \frac{a - \sqrt{2a}}{2}

In questo caso dobbiamo porre il radicando maggiore di zero, quindi per a>0 le radici sono reali e distinte come calcolato.

Per a = 0 le radici saranno uguali e coincidenti e saranno uguali a zero.

Per a<0 è impossibile.

4)a²x² -4ax + 3 – 2a² =0

Visto che il coefficiente della x² è letterale dobbiamo discutere il caso in cui esso è uguale a zero o il caso in cui sia diverso da zero.

Se a=0 e sostituendo lo zero al posto della a nell’equazione otteniamo: 0•x² – 4•0•x + 3 – 2•0, l’equazione è impossibile perchè viene 3=0

Se a≠0 si fa il delta e si discute se il Δ=0 oppure Δ≠0.

Calcoliamo il delta che è:

 \frac{\Delta }{4} = 4a² -a²(3 – 2a²)= 4a² – 3a² +  2a^{4} = a²+  2a^{4}=a²(1 + 2a²)

Calcoliamo le radici

 x_{{1}}\frac{2a + a\sqrt{2a ^{2}+1}}{a ^{2}}   = \frac{2 + \sqrt{2a ^{2}+1}}{a}

x_{{2}}\frac{2a - a\sqrt{2a ^{2}+1}}{a ^{2}}\frac{2 - \sqrt{2a ^{2}+1}}{a}

Il discriminante è sempre positivo perchè somma di due termini positivi, quini le soluzioni sono reali per qualsiasi valore di a.

 

5)2a²x² – 3ax + 1 =0

Visto che il coefficiente della x² è letterale dobbiamo discutere il caso in cui esso è uguale a zero o il caso in cui sia diverso da zero.

  • Se 2a²= 0 ⇒ a=0, sostituendo lo zero alla a nell’equazione otteniamo: 0•x²-3(0)•x² +1=0, quindi 1=0, l’equazione è impossibile.
  • Se2a²≠ 0⇒ a ≠, a questo punto dobbiamo svolgere il delta e discutere il caso in cui Δ=0 o Δ≠0.

Calcoliamo il delta.

Δ= b² – 4ac = (-3a)² – 4(2a ²)(1)= 9a²- 8a²=

A questo punto se Δ=0 significa che a²=0 ma già abbiamo visto che è impossibile.

Invece se il Δ≠0.allora a²≠0 e quindi dobbiamo calcolarci le radici.

x_{{1}}\frac{3a + a}{4a^{2}} = \frac{4a}{4a^{2}} = \frac{1}{a}

x_{{2}}=\frac{3a - a}{4a^{2}}\frac{2a}{4a^{2}}\frac{1}{2a}

6)kx² – 2x(k+1) + 4=0

Se K=0 abbiamo 0•x² – 2x (0+1) + 4 =0 quindi -2x =-4 ⇒ x = 2

Se K≠0  si calcolano le radici con il \frac{\Delta }{4} e discutiamo il delta.Quindi Δ=0 oppure Δ≠0.

\frac{\Delta }{4}= (k+1)² – 4k = k² + 2k + 1- 4k = k² -2k + 1= (k -1)²

Δ≠0 quindi k-1≠0 ⇒k≠1  l’equazione ha due soluzioni che ci calcoliamo.

x_{{1}}=\frac{k+1 + \sqrt{(k-1) ^{2}}}{k}\frac{k+1 +(k-1)}{k}= 2

x_{{2}}=\frac{k+1 -\sqrt{(k-1) ^{2}}}{k}\frac{k+1-(k-1)}{k}\frac{2}{k}

Δ=0  k-1=0 ⇒k=1 Le soluzioni sono uguali e coincidenti x_{{1}}=x_{{2}} = \frac{1+1+0}{1} = 2

7)a²x² -3ax + 2 =0

Se a=0 andiamo a sostituire lo 0 nell’equazione al posto della a e otteniamo: 0•x² -3•0•x + 2=0 quindi 2=0 , l’equazione è impossibile.

Se a≠0 dobbiamo calcolarci il Δ e discutere se il Δ=0 oppure Δ≠0.

Δ= b² – 4ac = 9a² – 8a² = a²

Se il Δ=0 significa che a=0 ma abbiamo già visto che è impossibile.

Se il Δ≠0 dobbiamo calcolarci le radici dell’equazione:

x_{{1}}=\frac{3a+\sqrt{a ^{2}}}{2a ^{2}}\frac{3a+a}{2a ^{2}}\frac{4a}{2a ^{2}}\frac{2}{a }

x_{{2}}=\frac{3a-\sqrt{a ^{2}}}{2a ^{2}}\frac{3a-a}{2a ^{2}}\frac{2a}{2a ^{2}}\frac{1}{a }

8)x² + 3ax – 1 – 3a =0

Δ= b² – 4ac =9a² -4(-1-3a) = 9a² +4+12a = (3a +2)²

Se Δ≠0 calcoliamo le radici.

x_{{1}}\frac{-3a + \sqrt{(3a +2) ^{2}}}{2}\frac{-3a +3a +2}{2} = \frac{2}{2} =1

x_{{2}}=\frac{-3a - \sqrt{(3a +2) ^{2}}}{2}\frac{-3a -3a -2}{2}\frac{-6a - 2}{2} = \frac{2(-3a - 1)}{2}= -3a -1

Se Δ=0 3a +2 =0 ⇒a= -\frac{2}{3} quindi  abbiamo che la soluzione è doppia \frac{-3 \cdot (-\frac{2}{3}) \mp 0}{2}  = \frac{2}{2} =1

9)kx² -kx – 6=0

Se k=0 andando a sostituire lo zero alla k abbiamo 0 -0 -6=0 quindi è impossibile

Se k≠0 facciamo il delta e discutiamo se Δ=0 oppure Δ≠0.

Δ= k² + 24k² = 25k²

Se Δ≠0 ci calcoliamo le radici quindi:

x_{{1}}\frac{+k+\sqrt{25k ^{2}}}{2k ^{2}}\frac{+k+5k}{2k ^{2}}\frac{6k}{2k ^{2}}\frac{3}{k}

x_{{2}}=\frac{+k-\sqrt{25k ^{2}}}{2k ^{2}}\frac{+k-5k}{2k ^{2}}-\frac{4k}{2k ^{2}}-\frac{2}{k}

Se Δ=0   25k²=0 quindi k =0  e abbiamo già visto che è impossibile.

 

10)bx² + 9 – x² -9b=0

bx² – x² -9b + 9=0  quindi x² (b – 1) -9b + 9=0

Se b-1=0 ⇒ b=1 quindi andando a sostituire l’uno alla b nell’equazione otteniamo:

-9+9=0 quindi 0=0 l’equazione è indeterminata

Se b-1≠0 ⇒ b≠1  ci calcoliamo le radici e otteniamo:

x² =\frac{9(b-1)}{b-1} ⇒x² = 9 qindi x = ± 3

11)a²x² – 2ax + a²x + 1 – a =0

a²x² + x(-2a + a²) + 1 -a=0

Se a=0 andando a sostituire lo zero al posto della a nell’equazione otteniamo: 0 + 0 + 1 -0 = 0 quindi è impossibile.

Se a≠0  facciamo il delta e discutiamo Δ=0 oppure Δ≠0.

Δ= (-2a + a²)² -4(a²)(1 -a)= 4a² +  a^{4} – 4 a^{3} -4a² + 4 a^{3} =  a^{4}

Δ≠0  si calcolano le radici:

x_{{1}}=\frac{ -(-2a + a ^{2})+ \sqrt{a ^{4}}}{2a ^{2}} = \frac{+2a - a ^{2}+a ^{2}}{2a ^{2}} = \frac{+2a }{2a ^{2}} = \frac{1}{a }

x_{{2}}=\frac{ -(-2a + a ^{2})- \sqrt{a ^{4}}}{2a ^{2}}\frac{+2a - a ^{2}-a ^{2}}{2a ^{2}}\frac{+2a- 2a ^{2}}{2a ^{2}}\frac{+2a(1- a )}{2a ^{2}}=\frac{(1- a )}{a }

 

Programma di matematica secondo superiore