Somma e prodotto delle radici

 

La somma delle radici di un’equazione di secondo grado, con delta non negativo,è uguale al rapporto, cambiato di segno, fra il coefficiente della x e quello della x².

Se consideriamo l’equazione generale di secondo grado:

ax² + bx + c  con Δ≥0  

Sappiamo che le soluzioni sono:

x_{{1}}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}         e        x_{{2}}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}

Calcoliamo la somma delle due radici.

x_{{1}} + x_{{2}} = \frac{-b+\sqrt{ b ^{2} - 4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{ b ^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}

Invece il prodotto delle radici di un’equazione di secondo grado con il delta non negativo è uguale al rapporto fra il termine noto e il coefficiente di x².

 

x_{{1}} • x_{{2}} =  \frac{-b+\sqrt{ b ^{2} - 4ac}}{2a} • \frac{-b-\sqrt{ b ^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{b ^{2}-(b ^{2} -4ac)}{4a ^{2}} = \frac{b ^{2}-b ^{2} +4ac}{4a ^{2}} = \frac{4ac}{4a ^{2}}\frac{c}{a }

Vediamo alcuni esempi per capire come applicare queste regole sopra enunciate.

Se consideriamo l’equazione generale ax² + bx + c e dividiamo tutti i membri per a, otteniamo:

x² + \frac{b}{a }x + \frac{c}{a } =0

Ma abbiamo visto che –\frac{b}{a } corrisponde alla somma delle radici e \frac{c}{a } al prodotto delle radici di un’equazione di secondo grado. Quindi l’equazione generale la possiamo scrivere anche come:

x² – sx + p =0   dove s è la somma e p il prodotto.

Esercizio n° 1

Trovare le due radici, conoscendo la somma che vale \frac{1}{4 } e il cui prodotto vale -\frac{3}{8 }

Sappiamo che:

x² – sx + p =0  quindi:

x² – \frac{1}{4 }-\frac{3}{8 } =0   facciamo il minimo comune multiplo e otteniamo:

8x² -2x – 3 =0

A questo punto troviamo le radici :

x_{{1}}=\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}         e        x_{{2}}=\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}

x_{{1}} = \frac{1 + \sqrt{1 + 24}}{8} = \frac{1+5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

x_{{2}} =\frac{1 - \sqrt{1 + 24}}{8} = \frac{1 - 5}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}

Esercizio n° 2

Data l’equazione :

2x² – 13x + 15 =0

sapendo che una radice vale 5 , calcola l’altra senza risolvere l’equazione.

Sappiamo che :

x_{{1}} + x_{{2}} =-\frac{b}{a}

5+ x_{{2}} = \frac{13}{2} ⇒x_{{2}} = \frac{13}{2} – 5 = \frac{13-10}{2} = \frac{3}{2}

Vedi gli esercizi

 

Programma di matematica secondo superiore