Espressioni a due piani

Esercizio n° 1

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{xy + y ^{2}}}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}$ =

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni.

${\frac{(4x ^{2}-2x)}{\frac{4x ^{2}+1-4x}{x}}$

Esercizio n° 3

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}}{\frac{2x ^{2}+6x}{x ^{2}-4}} =$

Esercizio n° 4

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+1} =$

Esercizio n° 5

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}}{\frac{x ^{2}-5x+6}{x-x ^{2}-3+3x}} =$

Svolgimento

Esercizio n° 1

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{xy + y ^{2}}}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}$ =

Poichè la linea di frazione rappresenta una divisione, sostituiamo alla linea di frazione principale il simbolo della divisione e mettiamo le parentesi al denominatore, perchè è espresso da una somma.

= $\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{xy + y ^{2}}}: ({\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}})$ =

Svolgiamo i calcoli all’interno della parentesi e scomponiamo:

$\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{x (y+ x )}}$ : ( $\frac{y+x}{xy}$ ) =

= $\frac{4(x+y) ^{2}}{x (x+ y )}}$ : ( $\frac{y+x}{xy}$ ) = C.E. x≠o; y≠0; x≠-y

Moltiplichiamo la prima frazione per il reciproco della seconda frazione.

$= \frac{4(x+y) ^{2}}{x (x+ y )}} : (\frac{xy}{y+x})$ = semplifichiamo tutto ciò che è possibile e otteniamo:

= 4y

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni.

${\frac{(4x ^{2}-2x)}{\frac{4x ^{2}+1-4x}{x}}$ =

= (4x²-2x): ${\frac{4x ^{2}+1-4x}{x}}$ =

= x(4x-2) · ${\frac{x}{4x ^{2}+1-4x}}$ = 2x(2x-1) · ${\frac{x}{(2x - 1) ^{2}}}$ =

= ${\frac{2x^{2}}{(2x - 1)}}$

Esercizio n° 3

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}}{\frac{2x ^{2}+6x}{x ^{2}-4}} =$

= $\frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}:{\frac{2x ^{2}+6x}{x ^{2}-4}} =$ $\frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}$ · ${\frac{x ^{2}-4}{2x ^{2}+6x}$ =

= $\frac{x (x-1)}{(x+2) ^{2}}$ · ${\frac{(x -2)(x+2)}{2x(x+3) }$ =

Semplifico tutto e ottengo:

= $\frac{ (x-1)(x -2)}{2(x+2)(x+3)}$

Esercizio n° 4

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}{\frac{2}{x}+ \frac{1}{x^{2}}+1} =$

= ${\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}:({\frac{2}{x}+ \frac{1}{x^{2}}+1}) =$

= ${\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}$ : $\frac{2x + 1+x^{2} }{x^{2}}} =$

= ${\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}$ · $\frac{x^{2}}{ 2x + 1+x^{2}}}$ =

x³ + 3x² + 3x + 1 lo scomponiamo con Ruffini (x+1)(x²+2x + 1) quindi:

= ${\frac{(x ^{2}+2x+1)(x+1) }{x(x+5)}}$ · $\frac{x^{2}}{ 2x + 1+x^{2}}}$ =semplificando si ottiene:

= ${\frac{x(x+1) }{(x+5)}}$

Esercizio n° 5

Semplifica le seguenti espressioni.

$\frac{\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}}{\frac{x ^{2}-5x+6}{x-x ^{2}-3+3x}} =$

= ${\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}}:{\frac{x ^{2}-5x+6}{x-x ^{2}-3+3x}} =$

= ${\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}}$ · ${\frac{x-x ^{2}-3+3x}{x ^{2}-5x+6}}$ =
= ${\frac{(x ^{2}-5x+6)(x-1)}{(x ^{2}-9)(x-1)}}$ · ${\frac{(-x +3)(x-1)}{x ^{2}-5x+6}} =$