I sottoinsiemi

 

SOTTOINSIEMI

Si definisce B sottoinsieme di A se ogni elemento di B appartiene anche ad A, ma c’è almeno un elemento di A che non è presente in B.

Per esempio:

A={X/X vocale dell’alfabeto italiano }     B={x/x vocale della parola mare };

A={a,e,i,o,u};        B={a,e};

insiemi
sottoinsieme

In questo caso tutti gli elementi di B appartengono ad A quindi B è un sottoinsieme. Si dice che B⊂A e si legge l’insieme B è contenuto o incluso in A.

Per dire che A non è contenuto in B si scriverà A⊄B

Ogni insieme ammette due sottoinsiemi detti impropri e cioè l’insieme vuoto e se stesso.

 

Gli insiemi uguali

Due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi.

A= {a, e, i, o, u}

B= {x/x vocale della parola “aiuola” }

sono insiemi uguali, perchè hanno gli stessi elementi.

Per stabilire che A=B, basta controllare che sie:

A⊆B e B⊆A

Infatti, se A⊆B tutti gli elementi di A sono elementi di B, e se B⊆A, anche tutti gli elementi di B sono elementi di A, perciò A e B hanno gli stessi elementi.

Per esempio consideriamo l’insieme A dei multipli di 2 minori di 10 e l’insieme B dei numeri pari minori di 10.

Ogni multiplo di 2 è anche numero pari, quindi:

 A⊆B;

ogni numero pari è multiplo di 2, quindi:

B⊆A

Pertanto A=B.

E’ vero anche il viceversa, cioè se A=B allora  A⊆B e  B⊆A

 

L’inclusione stretta

Si dice che l’insieme B è strettamente incluso nell’insieme A quando ogni elemento di B è anche elemento di A, ma esistono elementi di A che non sono elementi di B.

inclusione stretta
inclusione stretta

Si scrive B ⊂ A e si legge “B è un sottoinsieme stretto di A”, oppure ” B è incluso strettamente in A”.

P ⊂ N, perchè tutti i numeri pari sono naturali, ma esistono naturali che non sono pari.

I sottoinsiemi propri e impropri

Per qualunque insieme A vale la relazione:

∅ ⊆ A .

Infatti, poichè l’insieme vuoto non ha elementi, possiamo sempre affermare che ogni elemento dell’insieme vuoto è anche elemento dell’insieme A.

Pertanto, dato un insieme, l’insieme stesso e l’insieme vuoto sono chiamati sottoinsiemi impropri.

Ogni sottoinsieme non vuoto strettamente incluso in un insieme si dice sottoinsieme proprio dell’insieme.

Per esempio:

  • L’insieme A delle consonanti della parola “aia” è un sottoinsieme improprio dell’insieme delle consonanti, perchè A= ∅.
  • L’insieme B delle vocali della parola ” aiuole” è un sottoinsieme improprio dell’insieme V delle vocali, perchè B=V.
  • L’insieme I delle lettere dell’alfabeto italiano è un sottoinsieme proprio dell’insieme E delle lettere dell’alfabeto inglese, perchè I non è vuoto; ogni elemento di I è elemento di E, ma esistono elementi di E (per esempio la lettera w) che non sono elementi di I.

Vedi gli esercizi

 

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