Parabola con asse coincidente con l’asse y

Consideriamo il caso in cui la parabola abbia l’asse si simmetria coincidente con l’asse y e che l’origine quindi O(0,0) coincida con il vertice.

 

La direttrice ovviamente si troverà al di sotto dell’asse delle x, quindi avrà equazione y=-p

Diciamo che il fuoco (F) ha coordinate (0,p) quindi la direttrice avendo la stessa distanza di F dal vertice V avrà come equazione    y = -p

Il punto K  avrà come coordinate (x,y).

Sappiamo poi che per definizione K appartiene alla parabola se e solo se KF=KH.

A questo punto calcoliamoci i due segmneti:

KF= \sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}

KH=\left | y+p \right |

poniamo KF=KH  quindi otteniamo \sqrt{(x-0)^{2}+(y-p)^{2}}= \left | y+p \right |

A questo punto eleviamo entrambi i membri al quadrato perchè tutti e due positivi. Otteniamo:

x^{2}+(y-p)^{2}=\left | y+p \right |^{2} \rightarrow x^{2}+{\color{Red} y^{2}}-2py+{\color{Red} p^{2}}= {\color{Red} y^{2}}+2py+{\color{Red} p^{2}}

otteniamo:

4py=x^{2}\rightarrow y=\frac{1}{4p}x^{2}

visto che l’espressione \frac{1}{4p} è un valore numerico conosciuto, lo possiamo indicare con a quindi andandolo a sostituire otteniamo:

y=ax²

Viato che \frac{1}{4p}=a \Rightarrow p=\frac{1}{4a}

A questo punto possiamo riassumere dicendo che una parabola con vertice nell’origine degli assi e asse di simmetria coincidente con l’asse y ha equazione :

y=ax²  con a≠0

Il fuoco è il punto:

F (0, \dpi{120} {\color{Red} \frac{1}{4a}} )

La direttrice è la retta:

\dpi{120} {\color{Red} y=-\frac{1}{4a}}

A questo punto per disegnare una parabola dobbiamo prima di tutto trovare le coordinate di altri punti della parabola , quindi attribuiamo dei valori alla variabile x per sapere quanto varrà la y. Generalmente lo si fa per tre volte.

Poi bisogna vedere se il valore della a è positivo o negativo.

Se a >0 tutti i valori della parabola hanno ordinate positive e quindi il grafico è contenuto interamente nei quadranti positivi degli assi e si dità che la parabola volge la concavità verso l’alto.

Se a<0 tutti i punti hanno ordinate negative ed il grafico è interamente contenuto nel semipiano negativo e si dice che la parabola volge la concavità verso il basso.

Un’altra cosa che si può dire sul valore della a è :

al crescere di a in valore assoluto, la parabola diventa sempre più stretta. La rappresentazione grafica rende bene l’idea di quello che accade.

 
 

ESEMPIO

Data la parabola \dpi{120} y=\frac{1}{4}x^{2}, determinare le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice  e rappresentarla graficamente.

L’equazione è del tipo y= ax² quindi F(0; \dpi{120} \frac{1}{4a}) , visto che a = \dpi{100} \frac{1}{4} quindi F(0,1).

Inoltre \dpi{100} y=-\frac{1}{4a} quindi y=-1

A questo punto per costruire il grafico della parabola dobbiamo trovare le coordinate di qualche punto.

La parabola avrà concavità verso l’alto perchè a>0.

 

Programma matematica terzo superiore