Parabola con asse parallelo ad y

 

Consideriamo una parabola con asse di simmetria parallello all’asse y e con vertice non nell’origine degli assi ma in un punto       V(x_{0},y_{0}).

Prendiamo una parabola ϒ con vertice nell’origine e otteniamo un’altra parabola ϒ’ traslata rispetto a ϒ e ad essa congruente.

Parabola traslata

La parabola ϒ poichè ha vertice nell’origine O(0,0) e asse di simmetria coincidente con l’asse y, avrà l’equazione y=ax². Sottoponendo i punti di questa parabola a una traslazione di vettore  \overrightarrow{v}= (x_{0},y_{0}), otteniamo la parabola ϒ’ con vertice V(x_{0},y_{o})

Le equazioni della traslazione saranno:

\left\{\begin{matrix} x^{'}=x+x_{0}\\ y^{'}=y+y_{0} \end{matrix}\right.

esplicitando la x otteniamo:

\left\{\begin{matrix} x=x^{'}-x_{0}\\ y=y^{'}-y_{0} \end{matrix}\right.

l’equazione di ϒ è y=ax². , la sostituzione che dobbiamo fare in questa equazione è :

x\rightarrow x^{'}-x_{0}  e  y\rightarrow y^{'}-y_{0} .

A questo punto per ottenere l’equazione della parabola ϒ’ sostituiamo alla parabola ϒ e cioè a y=ax² i dati ottenuti dalla traslazione ottenendo:

y^{'}-y_{0}= a(x^{'}-x_{0})^{2} ovviamente gli apici delle variabili, quindi di x e di y servono solo a distinguerli  tra le due parabole , quindi l’equazione ottenuta lai si può scrivere anche come:

{\color{Red} y-y_{0}=a(x-x_{0})^{2}}

Quindi in definitiva una parabola con asse parallelo all’asse y e vertice nel punto V(x_{0},y_{o}) ha l’equazione nella forma {\color{Red} y-y_{0}=a(x-x_{0})^{2}}   con a≠0

Pero l’equazione conosciuta e che usiamo negli sercizi la otteniamo epslicitando la y e svolgendo dei calcoli. Vediamo cosa fare:

y= ax^{2}-2ax_{0}x+ ax^{2}_{0}+y_{0}

poniamo b=-2ax_{0}  e  c=ax^{2}_{0}+y_{0}

ottenendo così :

{\color{Red} y= ax^{2}+bx+c}   equazione della parabola con asse parallelo all’asse y.

Dalla seguenti equazioni  b=-2ax_{0}  e  c=ax^{2}_{0}+y_{0} possiamo ricavare :

x_{0}=-\frac{b}{2a}       y_{0}= -\frac{b^{2}-4ac}{4a}

Quindi il vertice ha come coordinate 

L’asse di s immetria ha equazione x=-\frac{b}{2a}

Usando la traslazione e partendo dalla parabola ϒ e quindi dal suo fuoco otteniamo :

il fuoco che è: F(-\frac{b}{2a}; \frac{1-\Delta }{4a})

La direttrice sarà y=-\frac{1+\Delta }{4a}

 

Per quanto riguarda la concavità della parabola essa dipende dal valore della a , quindi:

  • se a>0, la parabola volge la concavità versi l’alto;
  • se a<0 la parabola volge la concavità verso il basso.

Quindi quanti più a in valore assoluto è piccolo, tanto più la parabola è aperta , quanto più è grande , tanto più la parabola è chiusa.

Per quanto riguarda il grafico della parabola anche il valore di b e il valore di c lo influenzano.

 

Programma di matematica terzo superiore