Primo teorema di Euclide

 

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC rettangolo in C. Tracciamo l’altezza relativa all’ipotenusa e vediamo che risulterà diviso dall’altezza CH in due triangoli rettangoli AHC e HBC simili ad ABC, avendo gli angoli congruenti.

euclide
Euclide

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

Consideriamo i triangoli ABC e AHC disegnati sopra:

primo teorema di euclide 1
primo teorema di Euclide

 

Consideriamo i triangoli ABC e CBH disegnati sopra:

primo teorema di euclide 2
il teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Tale teorema si può enunciare anche diversamente, infatti, dalle proporzioni:

AH : CA = CA : AB                   HB : BC = BC : AB

Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, otteniamo:

  • CA² = AH x AB   quindi    CA = \sqrt{AH \times AB}
  • BC² = HB x AB    quindi   BC = \sqrt{HB \times AB}

Il teorema lo si può enunciare anche così:

il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa.

Ecco la rappresentazione geometrica:

TEOREMA DI EUCLIDE
rappresentazione del teorema di Euclide

Vedi gli esercizi

 

Programma geometria seconda media