Sistemi determinati, indeterminati e impossibili

Prima di svolgere qualsiasi sistema, una volta che è ridotto in forma normale, si può verificare già il numero di soluzioni , quindi si può dire se il sistema è determinato, cioè con un numero finito di soluzioni, indeterminato, quando il numero di soluzioni è infinito e impossibile, quando non ci sono soluzioni.

Nello specifico in un sistema determinato e lineare esiste una sola soluzione.

Consideriamo un sistema generico:

Tale sistema è determinato quando il rapporto tra i coefficienti di x e cioè  \frac{a}{a_{{1}}} è diverso dal rapporto tra i coefficienti di y e cioè  \frac{b}{b_{{1}}} quindi :   \frac{a}{a_{{1}}} ≠ \frac{b}{b_{{1}}}

Graficamente un sistema determinato potrà essere rappresentato come due rette che si incontrano in un punto.

Un sistema è indeterminato quando ha infinite soluzioni, quindi come risultato di un’equazione del sistema ci troveremo 0=0.

Se consideriamo un generico sistema, scritto in forma normale:

esso sarà indeterminato quando il rapporto tra i coefficienti di x e cioè  \frac{a}{a_{{1}}} è uguale al rapporto tra i coefficienti di y e cioè  \frac{b}{b_{{1}}} ed è anche uguale al rapporto fra i termini noti  \frac{c}{c_{{1}}} quindi :   \frac{a}{a_{{1}}} = \frac{b}{b_{{1}}}= \frac{c}{c_{{1}}}

Graficamente le rette di un sistema indeterminato coincidono.

Un sistema è impossibile quando non ammette soluzioni, quindi ci troveremo almeno un’equazione con un risultato assurdo come, 0= 6.

Consideriamo sempre il sistema generico, messo in forma normale:

E’ impossibile quando il rapporto tra i coefficienti di x e cioè  \frac{a}{a_{{1}}} è uguale al rapporto tra i coefficienti di y e cioè  \frac{b}{b_{{1}}} ed è diverso dal rapporto fra i termini noti  \frac{c}{c_{{1}}} quindi :   \frac{a}{a_{{1}}} = \frac{b}{b_{{1}}} \frac{c}{c_{{1}}}.

Graficamente un sistema del genere verrà rappresentato con due rette parallele che quindi non si potranno mai incontrare.

Vedi programma di matematica del secondo superiore

Vedi gli esercizi