Problemi risolvibili con le equazioni, esercizi svolti medie

Non è possibile stabilire delle regole precise ma ci sono delle regole generiche da poter considerare:

Si fissa l’incognita;
si traduce il problema in equazione, cioè si stabilisce una relazione fra gli elementi noti e gli elementi incogniti;
si risolve l’equazione;
si esaminano le radici trovate, cioè si verifica se le radici trovate possono essere soluzioni del problema. Per questa ultima fase bisogna tener presente che: se l’incognita esprime un numero di persone o un numero di oggetti, si accettano solo le soluzioni espresse da numeri interi positivi. Se l’incognita esprime la misura di un segmento o di un’area, o di un volume,….si accettano solo le radici espresse da numeri positivi.

Programma matematica terza media

PROBLEMI

1) Trovare un numero la cui metà aumentata di 6 dia 9.

trovare un numero x

la cui metà $\frac{x}{2}$

aumentata di 6 ⇒ $\frac{x}{2}+6$

dia 9 ⇒ $\frac{x}{2}+6=9$ quindi l’equazione da risolvere è:

$\frac{x}{2}+6=9$ ⇒ $2\cdot\frac{x+12}{2}=\frac{18}{2}\cdot2$ ⇒

⇒x+12=18⇒ x=18-12⇒ x=6.

2) Un uomo di 44 anni ha un figlio di 6 anni: fra quanti anni il padre avrà un’età tripla del figlio?

Anni del padre 44

Anni del figlio 6

Anni del padre fra x anni 44+x

Anni del figlio tra x anni 6+x

equazione finale 44 + x= 3(6+x) età del figlio quando il padre avrà il triplo della sua età.

44 + x= 18 + 3x ⇒ x – 3x= -44 + 18

-2x = -36 ⇒ $\frac{-2}{-2}=\frac{-36}{-2}$ ⇒ x=13

Risposta: fra 13 anni l’età del padre sarà tre volte quella del figlio.

3) Determinare due numeri naturali sapendo che la loro somma è 154 e che uno è tre quarti dell’altro.

la somma dei due numeri naturali è x+y= 154

uno è i 3\4 dell’altro quindi x= $\frac{3}{4}$ y

L’equazione da risolvere è x+y=154 ma sostituendo x= $\frac{3}{4}$ y avremo:

$\frac{3}{4}$ y+y=154 ⇒ $\frac{3+4}{4}$ y= $\frac{616}{4}$ quindi 7y=616

$\frac{7}{7}y=\frac{616}{7}$ ⇒ y=88 e x=154-88⇒ x=66

I due numeri cercati sono y=88 e x=66.

4) Determinare un numero naturale il cui triplo aumentato di due sia 187.

trovare un numero naturale x

il cui triplo 3x

aumentato di 2 3x+2

dia 187 3x+2=187

La risoluzione dell’equazione è 3x=187-2⇒ 3x= 185

⇒ $\frac{3}{3}x=\frac{185}{3}$ ⇒ x= $x=\frac{185}{3}$ la soluzione non è accettabile perchè la frazione non è un numero naturale.

5) Trovare un numero il cui triplo diminuito di 5 è uguale al numero stesso aumentato di 3.

trovare un numero x

il cui triplo 3x

diminuito di 5 3x-5

sia uguale x+3

Quindi l’equazione da svolgere sarà 3x-5=x+3

3x-x=+3+5⇒ 2x=-8⇒ x= $+\frac{8}{2}$ =+4

Il numero cercato è +4.

6) In una scuola il numero degli alunni supera di 128 i $\frac{4}{5}$ del numero delle alunne e la loro differenza è 40. Calcolare il numero complessivo degli alunni della scuola.

numero delle alunne x

numero degli alunni $\frac{4}{5}$ x +128

la differenza tra alunni e alunne è 40 quindi ( $\frac{4}{5}$ x +128)-x=40 sarà l’equazione da svolgere

$\frac{4x+640-5x}{5}=\frac{200}{5}$ eliminando il denominatore

4x+640-5x=200⇒ -x=-440 ⇒ x=440

Il numero delle alunne è 440 quindi il numero degli alunni sarà dato da 440+40=480 e il numero complessivo sarà dato da 440+480=920

7) In una scuola frequentata da 900 alunni quelli che studiano la lingua inglese sono i $\frac{5}{3}$ di quelli che studiano la lingua francese.Calcolare il numero degli alunni che studiano ciascuna lingua.

alunni che studiano la lingua francese x

alunni che studiano la lingua inglese $\frac{5}{3}$ x

alunni totali x+ $\frac{5}{3}$ x=900 quindi questa è l’equazione che dobbiamo risolvere

$\frac{3x+5x}{3}=\frac{2700}{3}$ eliminiamo il denominatore e avremo:

3x+5x=2700 ⇒ 8x= 2700 x= $\frac{2700}{8}$ =337,5 ma tale valore non può essere accettato come soluzione perchè è un valore decimale e quindi non può rappresentare il numero di alunni. Quindi il problema è impossibile.

8) In un rettangolo il perimetro è di 80 cm e l’altezza è i $\frac{2}{3}$ della base. Calcolare la lunghezza dei lati e l’area del rettangolo.

la base sarà la nostra x

l’altezza sarà $\frac{2}{3}$ x

il perimetro di un rettangolo è uguale alla somma della base per due e dell’altezza per due quindi poichè la misura del perimetro del rettangolo è 80, si ha l’equazione 2·x+2( $\frac{2}{3}$ x)=80

2x+ $\frac{4}{3}$ x=80⇒ $\frac{6x+4x}{3}=\frac{240}{3}$ eliminando il denominatore

6x+4x=240⇒ 10x=240⇒ x= $\frac{240}{10}$ ⇒ x=24

Si ha perciò AB=24cm BC=( $\frac{2}{3}\cdot 24$ )= 16 cm

9) Il triangolo ABC ha il perimetro di 130m. Calcolare la misura dei lati, sapendo che AB è $\frac{3}{4}$ di AC e BC è $\frac{4}{7}$ di AC.

p=130m; AC=x ; AB= $\frac{3}{4}x$ ; BC= $\frac{4}{7}x$ .

Il perimetro del triangolo è uguale alla somma dei tre lati quindi:

AB+BC+AC=130⇒ x+ $\frac{3}{4}x$ + $\frac{4}{7}x$ = 130

$\frac{28x+21x+16x}{28}=130$

$\frac{65}{28}x=130$ ⇒ $\frac{28}{65}\cdot\frac{65}{28}x=130\cdot\frac{28}{65}$ si semplifica tutto quello che è possibile e si ottiene:

x=2 ·28=56 quindi:

AC=56m; AB= $\frac{3}{4}x$ ⇒ $\frac{3}{4}$ ·56=42m; BC= $\frac{4}{7}x$ ⇒ $\frac{4}{7}$ ·56=32m

10) Un numero naturale aggiunto al suo triplo è uguale a 76. Qual è il numero?

Dati Incognite

n = numero naturale n = x

n + 3n = 76 x = numero naturale

Equazione risolvente

x + 3x = 76

4x = 76 ⇒ x = $\frac{76}{4}= 19$

Verifica

1° membro 2° membro

19 + 3 · 19 = 19 + 57 = 76 76

La soluzione è accettabile perchè 19 è un numero naturale.

11) Aggiungendo 5 al doppio di un numero naturale si ottiene come risultato 20. Qual è il numero?

Dati Incognite

n = numero naturale n = x

2n +5 = 20 x = numero naturale

Equazione risolvente

2x + 5 = 20

2x = 20 – 5

2x = 15 ⇒ x = $\frac{15}{2}$

Verifica

1° membro 2° membro

2 · $\frac{15}{2}$ + 5 = 20 20

La soluzione non è accettabile perchè $\frac{15}{2}$ non è un numero naturale.

12) Un numero triplo dell’altro

Se i due numeri sono $n_{{1}}$ e $n_{{2}}$ , si può indicare $n_{{2}}$ con x e si ottiene:

$n_{{2}}$ = x ; $n_{{1}}$ = 3x

13) Due numeri la cui somma è 40.

Se $n_{{1}}$ = x, si può indicare $n_{{2}}$ con 40 – x, quindi:

$n_{{1}}$ = x; $n_{{2}}$ = 40 – x

14) Due numeri consecutivi.

Ponendo $n_{{1}}$ = x, si ottiene: $n_{{2}}$ = x + 1

15) Tre numeri consecutivi.

Se $n_{{1}}$ , $n_{{2}}$ , $n_{{3}}$ sono i tre numeri, con $n_{{1}}$ < $n_{{2}}$ < $n_{{3}}$ , indicando $n_{{2}}$ con x si ottiene:

$n_{{1}}$ = x- 1; $n_{{2}}$ = x; $n_{{3}}$ = x + 1

16) Due numeri pari (o dispari) consecutivi.

Se $n_{{1}}$ = x; $n_{{2}}$ = x + 2

17) Tre numeri pari (o dispari) consecutivi.

Se $n_{{1}}$ , $n_{{2}}$ , $n_{{3}}$ sono i tre numeri, con $n_{{1}}$ < $n_{{2}}$ < $n_{{3}}$ , indicando $n_{{2}}$ con x si ottiene:

$n_{{1}}$ = x- 2; $n_{{2}}$ = x; $n_{{3}}$ = x + 2

18) Determina due numeri naturali, sapendo che la loro somma è 30 e che $\frac{5}{6}$ del primo superano di 3 il secondo.

Dati Incognite

$n_{{1}}$ + $n_{{2}}$ = 30 $n_{{1}}$ = x

$\frac{5}{6}$ $n_{{1}}$ = $n_{{2}}$ + 3 $n_{{1}}$ ed $n_{{2}}$ = numeri naturali

$n_{{2}}$ = 30 – x

Equazione risolvente

$\frac{5}{6}$ x = 30 – x + 3

6 · $\frac{5}{6}$ x = 6 · 30 – 6 · x + 6 · 3

5x = 180 – 6x + 18

11x = 198

x = $\frac{198}{11}$ ⇒ x = 18

Verifica

1° membro 2° membro

$\frac{5}{6}$ · 18 = 15 30 – 18 + 3 = 15

$n_{{1}}$ = 18 $n_{{2}}$ = 30 – 18 = 12

La soluzione è accettabile perchè i due numeri sono naturali.

19) La somma di tre numeri pari consecutivi è 84. Determina i tre numeri.

Dati Incognite

$n_{{1}}$ + $n_{{2}}$ + $n_{{3}}$ = 84 $n_{{1}}$ , $n_{{2}}$ , $n_{{3}}$ = ?

$n_{{1}}$ , $n_{{2}}$ , $n_{{3}}$ = numeri pari

Svolgimento

Posto $n_{{2}}$ = x, si ottiene:

$n_{{1}}$ = x – 2 e $n_{{3}}$ = x + 2

Equazione risolvente

X – 2 + X + X + 2 = 84

3x = 84

quindi:

x = $\frac{84}{3}$ ⇒ x = 28

Verifica

1° membro 2° membro

28 – 2 + 28 + 28 + 2 = 84 84

si ottiene:

$n_{{1}}$ = 28 – 2 = 26

$n_{{2}}$ = 28

$n_{{3}}$ = 28 + 2 = 30

La soluzione è accettabile perchè i tre numeri sono pari.

20) Tre amici si dividono una vincita al lotto di 1640 euro, in modo che il primo e il terzo abbiano rispettivamente il doppio e la terza parte di quanto riceve il secondo. Quale somma riceve ciascuno dei tre amici?

Dati Incognite

Vincita = 1640 euro somma del secondo = x

Somma del primo = 2 · somma del secondo somma del primo = 2x

Somma del terzo = $\frac{1}{3}$ · somma del secondo somma del terzo = $\frac{1}{3}$ x x> 0 e x < 1640

Equazione risolvente

x + 2x + $\frac{1}{3}$ x = 1640 moltiplicando tutti i numeri per 3 per togliere il denominatore si ottiene:

3x + 6x + x = 4920

10x = 4920 x = $\frac{4920 }{10}$ x = 492

La soluzione è accettabile

Verifica

1° membro 2° membro

492 + 2 · 492 + $\frac{1}{3}$ · 492 = 1640

= 492 + 984 + 164 = 1640

Risposta

Il primo amico riceve 2 · 492 = 984 euro, il secondo 492 uro e il terzo $\frac{1}{3}$ · 492 = 164 euro.

21) Un impiegato spende $\frac{2}{5}$ del suo stipendio per il vitto, $\frac{1}{3}$ per il muto della casa, $\frac{2}{15}$ per l’abbigliamento e gli restano per le altre spese 240 euro. Qual è il suo stipendio mensile?

Dati Incognite

spesa vitto = $\frac{2}{5}$ dello stipendio stipendio = x

spesa mutuo = $\frac{1}{3}$ dello stipendio spesa vitto = $\frac{2}{5}$ x

spesa abbigliamento = $\frac{2}{15}$ dello stipendio spesa mutuo = $\frac{1}{3}$ x

spese varie = 240 euro spesa abbigliamento = $\frac{2}{15}$ x

Equazione risolvente

x = $\frac{2}{5}$ x + $\frac{1}{3}$ x + $\frac{2}{15}$ x + 240 m.c.m.(3; 5; 15) = 15

15 x = 6x + 5x + 2x + 3600

quindi 15 x – 6x – 5x – 2x = 3600

2x = 3600 x = $\frac{3600}{2}$ = 1800 euro

22) Per l’acquisto di un’auto si sono spesi 22 000 euro, IVA compresa. Sapendo che è stato praticato uno sconto di 1040 euro e che l’IVA è del 20%, qual è il costo dell’auto senza IVA?

Dati Incognite

somma pagata = 22 000 euro costo senza IVA = x

sconto = 1040 euro

IVA = 20%

Svolgimento

L’equazione risolvente è:

x + $\frac{20}{100}$ x – 1040 = 22 000

semplificando si ottiene:

x + $\frac{1}{5}$ x – 1040 = 22 000

5x + x – 5200 = 110 000

5x + x = 110 000 + 5 200

6x = 115 200 x = $\frac{115200}{6}$ = 19 200

Verifica

1° membro 2° membro

19 200 + $\frac{1}{5}$ · 19 200 – 1040= 22 000

= 19 200 + 3 840 – 1040 = 22 000

La soluzione è accettabile, quindi il costo dell’auto senza IVA è di 19 200 euro.

23) In un trapezio isoscele la base maggiore è $\frac{3}{2}$ della minore e il lato obliquo è $\frac{2}{3}$ della base minore. Calcola la lunghezza di ciascuna base e del lato obliquo sapendo che il perimetro è 138 cm.

24) In un rettangolo la base è $\frac{4}{3}$ dell’altezza e l’area è 300 cm². Calcola le misure delle due dimensioni.

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Verifica

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