Problemi risolvibili con le equazioni

 

Non è possibile stabilire delle regole precise ma ci sono delle regole generiche da poter considerare:

  • Si fissa l’incognita;
  • si traduce il problema in equazione, cioè si stabilisce una relazione fra gli elementi noti e gli elementi incogniti;
  • si risolve l’equazione;
  • si esaminano le radici trovate, cioè si verifica se le radici trovate possono essere soluzioni del problema. Per questa ultima fase bisogna tener presente che: se l’incognita esprime un numero di persone o un numero di oggetti, si accettano solo le soluzioni espresse da numeri interi positivi. Se l’incognita esprime la misura di un segmento o di un’area, o di un volume,….si accettano solo le radici espresse da numeri positivi.

Programma matematica terza media

PROBLEMI

1) Trovare un numero la cui metà aumentata di 6 dia 9.

trovare un numero x

la cui metà  \frac{x}{2}

aumentata di 6 ⇒ \frac{x}{2}+6

dia 9 ⇒\frac{x}{2}+6=9  quindi l’equazione da risolvere è:

\frac{x}{2}+6=9  ⇒2\cdot\frac{x+12}{2}=\frac{18}{2}\cdot2

⇒x+12=18⇒ x=18-12⇒ x=6.

2) Un uomo di 44 anni ha un figlio di 6 anni: fra quanti anni il padre avrà un’età tripla del figlio?

Anni del padre 44

Anni del figlio 6

Anni del padre fra x anni  44+x

Anni del figlio tra x anni  6+x

equazione finale 44 + x= 3(6+x) età del  figlio quando il padre avrà il triplo della sua età.

44 + x= 18 + 3x  ⇒ x – 3x= -44 + 18

-2x = -36 ⇒ \frac{-2}{-2}=\frac{-36}{-2} ⇒ x=13

Risposta: fra 13 anni l’età del padre sarà tre volte quella del figlio.

3) Determinare due numeri naturali sapendo che la loro somma è 154 e che uno è tre quarti dell’altro.

la somma dei  due numeri naturali è x+y= 154

uno è i 3\4 dell’altro quindi x=\frac{3}{4}y

L’equazione da risolvere è x+y=154 ma sostituendo  x=\frac{3}{4}y avremo:

\frac{3}{4}y+y=154  ⇒  \frac{3+4}{4}y= \frac{616}{4} quindi 7y=616

\frac{7}{7}y=\frac{616}{7}⇒  y=88   e x=154-88⇒ x=66

I due numeri cercati sono y=88 e x=66.

 

4) Determinare un numero naturale il cui triplo aumentato di due sia 187.

trovare un numero naturale x

il cui triplo 3x

aumentato di 2 3x+2

dia 187  3x+2=187

La risoluzione dell’equazione è 3x=187-2⇒  3x= 185

⇒ \frac{3}{3}x=\frac{185}{3}⇒ x=x=\frac{185}{3} la soluzione non è accettabile perchè la frazione non è un numero naturale.

5) Trovare un numero il cui triplo diminuito di 5 è uguale al  numero stesso aumentato di 3.

trovare un numero x

il cui triplo 3x

diminuito di 5 3x-5

sia uguale x+3

Quindi l’equazione da svolgere sarà 3x-5=x+3

3x-x=+3+5⇒  2x=-8⇒  x=+\frac{8}{2}=+4

Il numero cercato è +4.

6) In una scuola il numero degli alunni supera di 128 i \frac{4}{5} del numero delle alunne e la loro differenza è 40. Calcolare il numero complessivo degli alunni della scuola.

numero delle alunne x

numero degli alunni  \frac{4}{5}x +128

la differenza tra alunni e alunne è 40  quindi \frac{4}{5}x +128)-x=40 sarà l’equazione da svolgere

\frac{4x+640-5x}{5}=\frac{200}{5} eliminando il denominatore

4x+640-5x=200⇒ -x=-440 ⇒ x=440

Il numero delle alunne è 440 quindi il numero degli alunni sarà dato da 440+40=480 e il numero complessivo sarà dato da 440+480=920

7) In una scuola frequentata da 900 alunni quelli che studiano la lingua inglese sono i \frac{5}{3} di quelli che studiano la lingua francese.Calcolare il numero degli alunni che studiano ciascuna lingua.

alunni che studiano la lingua francese x

alunni che studiano la lingua inglese  \frac{5}{3} x

alunni totali x+ \frac{5}{3} x=900 quindi questa è l’equazione che dobbiamo risolvere

\frac{3x+5x}{3}=\frac{2700}{3} eliminiamo il denominatore e avremo:

3x+5x=2700 ⇒ 8x= 2700   x=\frac{2700}{8}=337,5 ma tale valore non può essere accettato come soluzione perchè è un valore decimale e quindi non può rappresentare il numero di alunni. Quindi il problema è impossibile.

8) In un rettangolo il perimetro è di 80 cm e l’altezza è i \frac{2}{3} della base. Calcolare la lunghezza dei lati e l’area del rettangolo.

rettangolo
problema equazioni

la base sarà la nostra x

l’altezza sarà \frac{2}{3}x

il perimetro di un rettangolo è uguale alla somma della base per due e dell’altezza per due quindi poichè la misura del perimetro del rettangolo è 80, si ha l’equazione 2·x+2(\frac{2}{3}x)=80

2x+\frac{4}{3}x=80⇒  \frac{6x+4x}{3}=\frac{240}{3} eliminando il denominatore

6x+4x=240⇒  10x=240⇒  x=\frac{240}{10} ⇒ x=24

Si ha percià  AB=24cm    BC=(\frac{2}{3}\cdot 24)= 16 cm

9) Il triangolo ABC ha il perimetro di 130m. Calcolare la misura dei lati, sapendo che AB è \frac{3}{4} di AC e BC è  \frac{4}{7} di AC.

TRIANGOLO
problema equazioni 2

p=130m; AC=x  ;  AB=\frac{3}{4}x;   BC=\frac{4}{7}x.

Il perimetro del triangolo è uguale alla somma dei tre lati quindi:

AB+BC+AC=130⇒  x+\frac{3}{4}x+\frac{4}{7}x= 130

\frac{28x+21x+16x}{28}=130

\frac{65}{28}x=130 ⇒       \frac{28}{65}\cdot\frac{65}{28}x=130\cdot\frac{28}{65} si semplifica tutto quello che è possibile e si ottiene:

x=2 ·28=56 quindi:

AC=56m;   AB= \frac{3}{4}x⇒ \frac{3}{4} ·56=42m;        BC=\frac{4}{7}x ⇒\frac{4}{7}·56=32m

10) Un numero naturale aggiunto al suo triplo è uguale a 76. Qual è il numero?

Dati                                                        Incognite

n = numero naturale                               n = x

n + 3n = 76                                                x = numero naturale

Equazione risolvente

x + 3x = 76

4x = 76          ⇒   x = \frac{76}{4}= 19

Verifica

1° membro                                               2° membro

19 + 3 · 19 = 19 + 57 = 76                          76

La soluzione è accettabile perchè 19 è un numero naturale.

11) Aggiungendo 5 al doppio di un numero naturale si ottiene come risultato 20. Qual è il numero?

Dati                                                        Incognite

n = numero naturale                               n = x

2n +5 = 20                                               x = numero naturale

Equazione risolvente

2x + 5 = 20

2x = 20 – 5

2x = 15   ⇒   x = \frac{15}{2}

Verifica

1° membro                                               2° membro

2 · \frac{15}{2} + 5 = 20                                             20

La soluzione non è accettabile perchè \frac{15}{2} non è un numero naturale.

12)  Un numero triplo dell’altro

Se i due numeri sono n_{{1}}  e n_{{2}}, si può indicare n_{{2}} con x e si ottiene:

n_{{2}} = x  ;     n_{{1}} = 3x

13) Due numeri la cui somma è 40.

Se n_{{1}} = x, si può indicare n_{{2}} con 40 – x, quindi:

n_{{1}} = x;         n_{{2}} = 40 – x

14) Due numeri consecutivi.

Ponendo  n_{{1}} = x, si ottiene:  n_{{2}} = x + 1

15) Tre numeri consecutivi.

Se n_{{1}}n_{{2}}n_{{3}} sono i tre numeri, con n_{{1}}n_{{2}}n_{{3}}, indicando n_{{2}} con x si ottiene:

n_{{1}} = x- 1;         n_{{2}} = x;         n_{{3}}= x + 1

16) Due numeri pari (o dispari) consecutivi.

Se n_{{1}} = x;          n_{{2}} = x + 2

17) Tre numeri pari (o dispari) consecutivi.

Se  n_{{1}}n_{{2}}n_{{3}}  sono i tre numeri, con  n_{{1}}n_{{2}}n_{{3}}, indicando n_{{2}} con x si ottiene:

n_{{1}} = x- 2;         n_{{2}} = x;         n_{{3}}= x + 2

18) Determina due numeri naturali, sapendo che la loro somma è 30 e che \frac{5}{6} del primo superano di 3 il secondo.

Dati                                                        Incognite

n_{{1}} +  n_{{2}} = 30                                            n_{{1}} = x

\frac{5}{6}  n_{{1}} =  n_{{2}} + 3                                          n_{{1}} ed n_{{2}} = numeri naturali

n_{{2}} = 30  – x

Equazione risolvente

\frac{5}{6} x = 30 – x + 3

6 · \frac{5}{6} x = 6 · 30 – 6 · x + 6 · 3

5x = 180 – 6x + 18

11x = 198

x = \frac{198}{11}   ⇒  x = 18

Verifica

1° membro                                               2° membro

\frac{5}{6} · 18 = 15                                                      30 – 18 + 3 = 15

n_{{1}} = 18                                                             n_{{2}} = 30 – 18 = 12

La soluzione è accettabile perchè i due numeri sono naturali.

19) La somma di tre numeri pari consecutivi è 84. Determina i tre numeri.

Dati                                                        Incognite

n_{{1}} +  n_{{2}} + n_{{3}}  = 84                                    n_{{1}}n_{{2}}n_{{3}} = ?

n_{{1}}n_{{2}}n_{{3}} = numeri pari

Svolgimento    

Posto  n_{{2}} = x, si ottiene:

n_{{1}} = x – 2   e      n_{{3}}  = x + 2

Equazione risolvente

X – 2 + X + X + 2 = 84

3x  = 84

quindi:

x = \frac{84}{3}  ⇒ x = 28

Verifica

1° membro                                               2° membro

28 – 2 + 28 + 28 + 2 = 84                           84

si ottiene:

n_{{1}} = 28 – 2 = 26

n_{{2}} = 28

n_{{3}}  = 28 + 2 = 30

La soluzione è accettabile perchè i tre numeri sono pari.

20) Tre amici si dividono una vincita al lotto di 1640 euro, in modo che il primo e il terzo abbiano rispettivamente il doppio e la terza parte di quanto riceve il secondo. Quale somma riceve ciascuno dei tre amici?

Dati                                                                              Incognite

Vincita = 1640 euro                                                        somma del secondo = x

Somma del primo = 2 · somma del secondo             somma del primo = 2x

Somma del terzo = \frac{1}{3} · somma del secondo               somma del terzo = \frac{1}{3} x              x> 0  e   x < 1640

Equazione risolvente

x + 2x + \frac{1}{3} x = 1640 moltiplicando tutti i numeri per 3 per togliere il denominatore si ottiene:

3x + 6x + x = 4920

10x = 4920           x = \frac{4920 }{10}         x = 492

La soluzione è accettabile

Verifica

1° membro                                               2° membro

492 + 2 · 492 + \frac{1}{3} · 492 =                           1640

= 492 + 984 + 164 = 1640

Risposta

Il primo amico riceve 2 · 492 = 984 euro, il secondo 492 uro e il terzo  \frac{1}{3} · 492 = 164 euro.

21) Un impiegato spende \frac{2}{5} del suo stipendio per il vitto, \frac{1}{3} per il muto della casa, \frac{2}{15} per l’abbigliamento e gli restano per le altre spese 240 euro. Qual è il suo stipendio mensile?

Dati                                                                              Incognite

spesa vitto = \frac{2}{5} dello stipendio                                     stipendio = x

spesa mutuo = \frac{1}{3} dello stipendio                                spesa vitto = \frac{2}{5} x

spesa abbigliamento = \frac{2}{15} dello stipendio                 spesa mutuo = \frac{1}{3}x

spese varie = 240 euro                                                 spesa abbigliamento = \frac{2}{15}x

Equazione risolvente

x =  \frac{2}{5} x +  \frac{1}{3}x  + \frac{2}{15}x + 240           m.c.m.(3; 5; 15) = 15

15 x = 6x + 5x + 2x + 3600

quindi 15 x – 6x – 5x – 2x = 3600

2x = 3600              x = \frac{3600}{2} = 1800 euro

22) Per l’acquisto di un’auto si sono spesi 22 000 euro, IVA compresa. Sapendo che è stato praticato uno sconto di 1040 euro e che l’IVA è del 20%, qual è il costo dell’auto senza IVA?

Dati                                                                              Incognite

somma pagata = 22 000 euro                                     costo senza IVA = x

sconto = 1040 euro

IVA = 20%

Svolgimento

L’equazione risolvente è:

x + \frac{20}{100} x – 1040 = 22 000

semplificando si ottiene:

x + \frac{1}{5} x – 1040 = 22 000

5x + x – 5200 = 110 000

5x + x = 110 000 + 5 200

6x = 115 200                    x = \frac{115200}{6} = 19 200

Verifica

1° membro                                                   2° membro

19 200 + \frac{1}{5} · 19 200 – 1040=                          22 000

= 19 200 + 3 840 – 1040 = 22 000

La soluzione è accettabile, quindi il costo dell’auto senza IVA è di 19 200 euro.

23) In un trapezio isoscele la base maggiore è \frac{3}{2} della minore e il lato obliquo è \frac{2}{3} della base minore. Calcola la lunghezza di ciascuna base e del lato obliquo sapendo che il perimetro è 138 cm.   

PROBLEMA EQUAZIONI

24) In un rettangolo la base è \frac{4}{3} dell’altezza e l’area è 300 cm². Calcola le misure delle due dimensioni.

problema con equazione

 

Vedi programma matematica terza media

 

Utilizzando il sito, accetti l'utilizzo dei cookie da parte nostra. maggiori informazioni

Questo sito utilizza i cookie per fonire la migliore esperienza di navigazione possibile. Continuando a utilizzare questo sito senza modificare le impostazioni dei cookie o clicchi su "Accetta" permetti al loro utilizzo.

Chiudi