L’equazioni di primo grado hanno come grado dell’equazione uno. Esse si dicono anche equazioni lineari.

Anche un’equazione del genere sarà di primo grado. Per esempio 10 + 4 + x² – 4x + 2x = x² + 5x. Infatti trasportando tutti i termini con l’incognita al primo membro e i termini noti al secondo si ottiene:

x² – 4x + 2x – x² – 5x = – 10 – 4   riducendo i termini simili si ottiene

-7x = – 14 ⇒ 7x = 12 quindi  è un’equazione di primo grado

Quando si svolge un’equazione di primo grado il nostro scopo è quello di giungere  all’equazione equivalente ax = b con a≠0 . Quindi per risolvere tale equazione basta dividere entrambe i membri per a quindi x = \frac{b}{a}.

A seconda dei valori assunti da a e b l’equazione può essere determinata, indeterminata e impossibile.

Se l’equazione di  1° grado ax = b, con a ≠0 ammette l’unica soluzione  \frac{b}{a}  l’equazione è determinata.

Consideriamo ad esempio l’equazione :

4x – 9 + (x-1)(x + 1) = (x-3)² + 2x + 5

4x – 9 + x² – 1 = x² – 6x + 9 + 2x + 5   le x² si possono semplificare e otteniamo

4x – 9 -1 = -6x +9 + 2x + 5 ⇒ 4x – 10 = -4x + 14  trasportiamo al primo membro i termini con l’incognita e nel secondo i termini noti

4x + 4x = 14 + 10 ⇒ 8x = + 24

\frac{8x}{8}= \frac{24}{8}  ⇒ x = 3

Nel caso in cui a=0 e b = 0 , abbiamo 0x =0 quindi l’equazione è indeterminata perchè sostituendo qualsiasi valore alla x l’uguaglianza è sempre verificata.

Per esempio:

4x – 12 – 3x = 5 + x – 17 trasportiamo al primo membro i termini con l’incognita e al secondo quelli senza.

4x – 3x – x = 5 – 17 + 12 ⇒ 0x = 0  l’equazione è indeterminata

Nel caso in cui a=0 e b≠0 abbiamo 0x = b. Questa equazione non ha soluzioni , poichè non esiste un numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero.. Non avendo soluzioni l’equazione si dice impossibile.

Per esempio:

2 (x-1) – 2x = 0 ⇒ 2x – 2 -2x = 0  trasportiamo al primo membro i termini con l’incognita e al secondo quelli senza.

2x – 2x = + 2 ⇒ 0 = 2 quindi è impossibile

  

Dopo aver trovato la soluzione ,detta anche radice, di un’equazione sarebbe opportuno fare la verifica che consiste nel sostituire al posto della x la soluzione trovata e si svolgono tutte le operazioni. Se la radice era esatta allora il valore che acquista il primo membro deve essere uguale a quello del secondo.

Per esempio:

 \frac{5(x-1)}{2}- \frac{2x-3}{12}-1=\frac{x-13}{6} liberando l’equazione dal denominatore si ottiene

30(x-1) – (2x -3) – 12 = 2x – 26 ⇒ 30x – 30 -2x + 3 – 12 = 2x – 26

26x = 13 ⇒ x =  \frac{1}{2} l’equazione è determinata

Verifica: sostituiamo alla x la radice trovata e cioè  \frac{1}{2}.

5(\frac{ \frac{1}{2}-1}{2})– \frac{1-3}{12} – 1 = \frac{\frac{1}{2}-13}{6}

5 (-\frac{1}{2}\frac{1}{2} -(- \frac{2}{12}) – 1=- \frac{\frac{25}{2}}{6}

-\frac{5}{4} + \frac{1}{6} – 1 = –\frac{25}{2} · \frac{1}{6}

\frac{-15 + 2 - 12}{12} = -\frac{25}{12}

-\frac{25}{12} = -\frac{25}{12}  i risultati sono uguali, quindi la radice trovata è esatta.

Programma matematica primo superiore

 

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