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Secondo principio di equivalenza

Moltiplicando o dividendo ambedue i membri di un’equazione per uno stesso numero o una stessa espressione, diversi da zero, si ottiene un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione 5x = 10, la soluzione è x = 2

Moltiplichiamo prima entrambi i membri con un numero che sia diverso da zero, per esempio 3 e otteniamo:

3 · 5x = 3 · 10  ⇒ 15x = 30 , dividendo entrambe i membri per 15 otteniamo \frac{15x}{15}= \frac{30}{15} ⇒ x = 2.

L’equazione ottenuta e quella di partenza sono equivalenti.

Adesso consideriamo l’equazione 2 = \frac{4}{x - 1}, la cui soluzione è x = 3.

Moltiplichiamo ora entrambi i membri per l’espressione x – 1, ponendo la condizione x – 1≠ 0. Otteniamo l’equazione 2 (x-1) = \frac{4}{x - 1} (x-1) cioè 2x – 2 = 4  la cui soluzione è x = 3, quindi l’equazione ottenuta è equivalente all’equazione data.

Dal secondo principio è possibile ricavare due regole:

  • se tutti i  membri di un’equazione hanno un fattore numerico comune, diverso da zero, allora dividendo tutti i membri per quel fattore si ottiene un’equazione equivalente. Per esempio 9x + 12 = 3x – 15, sono tutti divisibili per tre quindi otteniamo 3x + 4 = x – 5 equivalente all’equazione data.
  • Cambiando i segni a tutti i termini di un’equazione se ne ottiene un’altra equivalente a quella data. Infatti, ciò equivale a moltiplicare entrambe i membri per (-1) . Per esempio consideriamo l’equazione -5x + 8 = -23 e moltiplichiamo entrambe i membri per -1 quindi dobbiamo cambiare il segno a tutto e otteniamo 5x – 8 = + 23, entrambe le equazioni daranno come risultato x = – 5 quindi sono equivalenti.

Programma matematica primo superiore

 

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