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Scomposizione di un trinomio di secondo grado

 

Non sempre si può scomporre un trinomio di secondo grado, la maggior parte delle volte si deve ricorrere a Ruffini.

Però si può rendere la cosa più semplice usando la relazione tra le soluzioni dell’equazione di secondo grado e i suoi coefficienti.

Consideriamo il generico trinomio di secondo grado:

ax² + bx + c e consideriamo l’equazione ad esso associato.

ax² + bx + c=0 con Δ>0 e quindi avremo due soluzioni reali e distinte  che vengono detti anche zeri dell’equazione.

Mettiamo in evidenza la a dall’equazione generale e otteniamo:

a( x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) =0

Ma sappiamo che la somma delle radici x_{{1}} +x_{{2}}=-\frac{b}{a} e il prodotto delle radici è x_{{1}}x_{{2}}\frac{c}{a} quindi possiamo andarli a sostituire nella messa in evidenza e otteniamo:

a[  x^{2} – (x_{{1}} +x_{{2}})x + x_{{1}}x_{{2}}] =0  ⇒ a[  x^{2} – x_{{1}}x – x_{{2}}x + x_{{1}}x_{{2}}] =0

A questo punto raccogliamo x fra i primi due termini e x_{{2}} fra gli altri due, otteniamo:

a[x(x – x_{{1}}) – x_{{2}}(x – x_{{1}})] =0

A questo punto raccogliamo (x – x_{{1}}) e otteniamo:

a(x – x_{{1}})(x – x_{{2}}) =0

Possiamo quindi ricavare il seguente enunciato: un trinomio di secondo grado è sempre uguale al prodotto del coefficiente del termine di secondo grado per i due fattori di primo grado, ciascuno dei quali si ottiene sottraendo dalla variabile una delle radici.

 

Se le radici sono coincidenti, quindi x_{{1}}x_{{2}} la scomposizione del trinomio è:

a(x – x_{{1}})(x – x_{{2}}) =0  quindi a (x – x_{{1}}

Se l’equazione non ha soluzioni reali, quindi il Δ<0 allora non si può scomporre.

Esempio n° 1

2x² – 3x + 1 =0

Calcoliamo il Δ = 9 – 8 = 1 quindi è >0 , le radici saranno reali e distinte, a questo punto svolgendola vediamo che le esse sono x_{{1}} = 1 e x_{{2}}\frac{1}{2}

La scomposizione del trinomio è: 2(x -1)(x – \frac{1}{2})

Esempio n° 2

25x²- 20x +4=0

Calcoliamo il Δ = 400 – 400 =0 quindi le radici sono reali e coincidenti.

Calcoliamo le radici che sono : x_{{1}} = x_{{2}}\frac{2}{5}

La scomposizione del trinomio è 25(x –\frac{2}{5}

Esempio n° 3

2x² + 3x + 4

Il Δ =  9 – 32 = – 23 <0 l’equazione non ha soluzioni reali e il polinomio è irriducibile.

 

Programma di matematica secondo superiore

 

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