Se le radici dell’equazione di secondo grado sono reali e quindi il discriminante, cioè il delta, è positivo o nullo, si possono determinare i segni delle radici senza risolvere l’equazione con la regola di Cartesio.
Prima di tutto dobbiamo introdurre un nuovo termine che è la permanenza e si riferisce quando si susseguono due coefficienti dello stesso segno, ovviamente in un’equazione ordinata, se vi sono due coefficienti di segno contrario si dice che vi è una variazione.
Possiamo dire che il coefficiente della x² è sempre positivo, perchè se così non fosse , lo si renderebbe tale cambiando il segno a tutti i termini dell’equazione.
I casi che si possono verificare sono quattro:
| a b c | ||
| 1° CASO | + + + | 2 PERMANENZE |
| 2° CASO | + – + | 2 VARIAZIONI |
| 3° CASO | + + – | 1 PERMANENZA E 1 VARIAZIONE |
| 4°CASO | + – – | 1 VARIAZIONE E UNA PERMANENZA |
1° CASO
Se andiamo a considerare la somma e il prodotto delle radici abbiamo:
• = il prodotto è positivo quindi le due radici sono concordi.
+ = la somma è negativa quindi le due radici sono entrambe negative.
In conclusione le radici sono entrambe negative.
Esempio: x²+3x+2 =0 il cui Δ>0 le soluzioni sono (-2; -1)
2° CASO
• = il prodotto è positivo quindi le radici sono concordi.
+ = la somma è positiva e le radici sono positive.
In conclusione le radici sono entrambe positive
Esempio: 2x² – 3x + 1 il cui Δ>0 . Le soluzioni infatti sono (1; )
3° CASO
• = il prodotto è negativo e quindi le radici sono discordi.
+ = la somma è negativa quindi la radice negativa in valore assoluto è maggiore della soluzione positiva .
Le radici sono una positiva e l’altra negativa
Esempio: 8x²+10x -7=0 le soluzioni sono (; ) quindi >
4° CASO
• = il prodotto è negativo e quindi le radici sono discordi.
+ = la somma è positiva e perciò la soluzione positiva , ha valore assoluto maggiore della soluzione positiva .
Le radici sono una positiva e l’altra negativa.
Esempio: 5x²-8x-4=0 le soluzioni sono (2; ) in valore assoluto 2 >
