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La regola di Cartesio

 

Se le radici dell’equazione di secondo grado sono reali e quindi il discriminante, cioè il delta, è positivo o nullo, si possono determinare i segni delle radici senza risolvere l’equazione con la regola di Cartesio.

Prima di tutto dobbiamo introdurre un nuovo termine che è la permanenza e si riferisce quando due si susseguono due coefficienti dello stesso segno, ovviamente in  un’equazione ordinata, se vi sono due coefficienti di segno contrario si dice che vi è una variazione.

Possiamo dire che il coefficiente della x² è sempre positivo, perchè se così non fosse , lo si renderebbe tale cambiando il segno a tutti i termini dell’equazione.

I casi che si possono verificare sono quattro:

a                     b                    c
1° CASO +                     +                     + 2 PERMANENZE
2° CASO +                     –                      + 2 VARIAZIONI
3° CASO +                     +                      – 1 PERMANENZA E 1 VARIAZIONE 
4°CASO +                      –                      – 1 VARIAZIONE E UNA PERMANENZA

1° CASO

Se andiamo a considerare  la somma e il prodotto delle radici  abbiamo:

x_{{1}}x_{{2}} = \frac{c}{a} il prodotto è positivo quindi le due radici sono concordi.

x_{{1}}+x_{{2}} = -\frac{b}{a} la somma è negativa quindi le due radici sono entrambe negative.

In conclusione le radici sono entrambe negative.

Esempio: x²+3x+2 =0  il cui Δ>0  le soluzioni sono (-2; -1)

 

2° CASO

x_{{1}}x_{{2}} = \frac{c}{a} il prodotto è positivo quindi le radici sono concordi.

x_{{1}}+x_{{2}} = -\frac{b}{a} la somma è positiva e le radici sono positive.

In conclusione le radici sono entrambe positive

Esempio: 2x² – 3x + 1  il cui Δ>0 . Le soluzioni infatti sono (1; \frac{1}{2})

3° CASO

x_{{1}}x_{{2}} = \frac{c}{a} il prodotto è negativo e quindi le radici sono discordi.

x_{{1}}+x_{{2}} = -\frac{b}{a} la somma è negativa quindi la radice negativa  x_{{1}} in valore assoluto è maggiore della soluzione positiva x_{{2}}.

Le radici sono una positiva e l’altra negativa

Esempio: 8x²+10x -7=0 le soluzioni sono (-\frac{7}{4}\frac{1}{2}) quindi   \left \| -\frac{7}{4} \right \|\frac{1}{2}

4° CASO

x_{{1}}x_{{2}} = \frac{c}{a} il prodotto è negativo e quindi le radici sono discordi.

x_{{1}}+x_{{2}} = -\frac{b}{a} la somma è positiva e perciò la soluzione positiva x_{{2}}, ha valore assoluto maggiore della soluzione positiva x_{{2}}.

Le radici sono una positiva e l’altra negativa.

Esempio: 5x²-8x-4=0 le soluzioni sono (2; -\frac{2}{5}) in valore assoluto 2 >\left \| -\frac{2}{5} \right \|

 

Programma di matematica secondo superiore

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