Esercizi sulla potenza e radice di radice

Esercizio n° 1

Esegui le seguenti potenze di radicali.

1) (\sqrt[4]{2}) ^{2};  (\sqrt[3]{3}) ^{6}(\sqrt[9]{3}) ^{3}

2) (\frac{2}{3}\sqrt{3}) ^{3}(2\sqrt{\frac{1}{2}}) ^{2}; (\sqrt[6]{2xy^{2}})^{3}con x≥0

3) (a\sqrt{a+2b}) ^{3}(\frac{a+2}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}) ^{2}

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni  con potenze di radicali.

4) (\sqrt[6]{1-\frac{x-3y}{x+y}}\cdot \sqrt[6]{\frac{x-y}{4y}})  ^{3} : \sqrt{\frac{1}{x+y}}

5) \sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)}  \cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} : (\sqrt[3]{x ^{3}-2x ^{2}y+xy ^{2}}) ^{2}

6) 
(\sqrt[3]{ a^{2}-4a+4 }) ^{2}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  (\sqrt[6]{\frac{a-2}{a+2}}) ^{5} : \sqrt[]{\frac{a}{a^{2}-4}}] 

Esercizio n° 4

Esegui le seguenti radici di radici.

7) \sqrt[6]{\sqrt{3}} ; \sqrt{\sqrt[3]{3a ^{2}b ^{3}}} ; \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}}}}

8)\sqrt{a\sqrt[4]{a}}\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}\sqrt[3]{2\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}

9)\sqrt[5]{ a ^{4}\sqrt[3]{\frac{1}{a ^{2}}}}}  ; \sqrt[]{x\sqrt[3]{x}}\cdot\sqrt[3]{x\sqrt[]{x}} \cdot\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}} con x≥o

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Esegui le seguenti potenze di radicali.

1) (\sqrt[4]{2}) ^{2};  (\sqrt[3]{3}) ^{6}(\sqrt[9]{3}) ^{3}

Applichiamo il teorema della potenza:(\sqrt[n]{a})   ^{m} = \sqrt[n]{a ^{m} }

  •  (\sqrt[4]{2}) ^{2} =  \sqrt[4]{2^{2}} =  \sqrt[]{2}
  •  (\sqrt[3]{3}) ^{6}\sqrt[3]{3^{6}} = semplificando l’indice con l’esponente del radicando otteniamo: 9
  • (\sqrt[9]{3}) ^{3} = \sqrt[9]{3^{3} = \sqrt[3]{3

2) (\frac{2}{3}\sqrt{3}) ^{3}(2\sqrt{\frac{1}{2}}) ^{2}; (\sqrt[6]{2xy^{2}})^{3} con x≥0

  • (\frac{2}{3}\sqrt{3}) ^{3} = \frac{8}{27}\sqrt{3^{3}}   =  \frac{8}{27} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}   =  \frac{8}{27} \cdot3 \sqrt{3}   =  \frac{8}{9}\sqrt{3}

(2\sqrt{\frac{1}{2}}) ^{2}4\sqrt{\frac{1}{2} ^{2}}  = 4\sqrt{\frac{1}{4}}  = 4\sqrt{\frac{1}{2 ^{2}}} = \frac{4}{2} = 2

  • (\sqrt[6]{2xy^{2}})^{3}= \sqrt[6]{2^{3}   x^{3}  y^{6}} = \sqrt[2]{2  xy^{2}} =\left \|  y|\sqrt[2]{2  x}

3) (a\sqrt{a+2b}) ^{3}(\frac{a+2}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}) ^{2}

  • (a\sqrt{a+2b}) ^{3} =  a^{3}\sqrt{(a+2b)^{3}} =  a^{3}\sqrt{(a+2b)^{2}(a+2b)}=

 a^{3}(a+2b)\sqrt{(a+2b)}

  • (\frac{a+2}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}) ^{2} \frac{(a+2) ^{2}}{(a+1) ^{2}}\sqrt{\frac{(a+1) ^{2}}{(a+2) ^{2}}}=

 \frac{(a+2) ^{2}}{(a+1) ^{2}} \cdot \frac{(a+1)}{(a+2)} semplificando si ottiene  \frac{(a+2) }{(a+1) }

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni  con potenze di radicali.

4) (\sqrt[6]{1-\frac{x-3y}{x+y}}\cdot \sqrt[6]{\frac{x-y}{4y}})  ^{3} : \sqrt{\frac{1}{x+y}} =   \sqrt[6]{(1-\frac{x-3y}{x+y})^{3}}\cdot \sqrt[6]{(\frac{x-y}{4y}) ^{3} }: \sqrt{\frac{1}{x+y}}=

= \sqrt[6]{(\frac{x+y -(x-3y)}{x+y})^{3}}\cdot \sqrt[6]{(\frac{x-y}{4y}) ^{3} }: \sqrt{\frac{1}{x+y}} = \sqrt[6]{(\frac{x+y -x+3y}{x+y})^{3}}\cdot \sqrt[6]{(\frac{x-y}{4y}) ^{3} }: \sqrt{\frac{1}{x+y}} = semplifichiamo il 6 dell’indice con l’esponente del radicando.

 \sqrt[]{(\frac{4y}{x+y})}\cdot \sqrt[]{(\frac{x-y}{4y}) }: \sqrt{\frac{1}{x+y}} = \sqrt[]{(\frac{4y}{x+y})\cdot(\frac{x-y}{4y}): \frac{1}{x+y}  } = \sqrt[]{(\frac{4y}{x+y})\cdot(\frac{x-y}{4y})\cdot (x+y)

= semplifico (x+y) e poi 4y ottengo:  \sqrt[]{x-y}.

5) \sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)}  \cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} : (\sqrt[3]{x ^{3}-2x ^{2}y+xy ^{2}}) ^{2}

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)} 
\cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} :   \sqrt[3]{[x(x ^{2}-2x y+y ^{2})} ]^{2}

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)} 
\cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}}  :   \sqrt[3]{x^{2}(x -y) ^{4}} =

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)} \cdot \sqrt[3]{\frac{x ^{2}-2xy+y ^{2}}{xy}} ^{} :   \sqrt[3]{x^{2}(x -y) ^{4}} =

 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)}  \cdot \sqrt[3]{\frac{(x -y) ^{2}}{xy}} :   \sqrt[3]{x^{2}(x -y) ^{4}}=

=  
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)\cdot\frac{(x -y) ^{2}}{xy}:x^{2}(x -y) ^{4} } 
 =

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)\cdot\frac{(x -y) ^{2}}{xy} \cdot  \frac{1}{x^{2}(x -y) ^{4} } } 
 = semplificando tutto rimane  
\sqrt[3]{ \frac{(x+y)}{x}  }

6) 
(\sqrt[3]{ a^{2}-4a+4 }) ^{2}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  (\sqrt[6]{\frac{a-2}{a+2}}) ^{5} : \sqrt[]{\frac{a}{a^{2}-4}}] =

 
\sqrt[3]{( a^{2}-4a+4 ) ^{2}}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}} : \sqrt[]{\frac{a}{a^{2}-4}}] = porto l’ultima radice ad indice 6 in kodo che si possano svolgere i calcoli

 
\sqrt[3]{( a-2 ) ^{4}}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}} : \sqrt[6]{\frac{a^{3}}{(a^{2}-4)^{3}}}]  =

 
\sqrt[3]{( a-2 ) ^{4}}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}\cdot\frac{(a^{2}-4)^{3}}{a^{3}}} ] =

=  
\sqrt[3]{( a-2 ) ^{4}}: \sqrt[3]{ a(a+2) }:    \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}\cdot\frac{(a-2)^{3}(a+2)^{3}}{a^{3}}}  = portiamo tutti allo stesso indice

= 
\sqrt[6]{( a-2 ) ^{8}}: \sqrt[6]{ a^{2}(a+2)^{2} }:    \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}\cdot\frac{(a-2)^{3}(a+2)^{3}}{a^{3}}}  =

= 
\sqrt[6]{( a-2 ) ^{8} \cdot \frac{1}{a^{2}(a+2)^{2}}\cdot \frac{(a+2)^{5}}{(a-2)^{5}}\cdot\frac{ a^{3}   }{(a-2)^{3}(a+2)^{3}}}
= semplificando tutto rimane

\sqrt[6]{a}

Esercizio n° 4

Esegui le seguenti radici di radici.

7) \sqrt[6]{\sqrt{3}} ; \sqrt{\sqrt[3]{3a ^{2}b ^{3}}} ; \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}}}}

  •  \sqrt[6]{\sqrt{3}}  = si moltiplicano gli indice delle radici ottenendone una sola

\sqrt[12]{3}

  • \sqrt{\sqrt[3]{3a ^{2}b ^{3}}} = 
\sqrt[6]{3a ^{2}b ^{3}}}
  • \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}}}} =\sqrt[12]{\frac{1}{2}}

8)\sqrt{a\sqrt[4]{a}}\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}\sqrt[3]{2\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}

  • \sqrt{a\sqrt[4]{a}} = \sqrt{\sqrt[4]{a^{4} \cdot a} }  = \sqrt[8]{a^{4} \cdot a}  = \sqrt[8]{a^{5} }  
  • \sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{x^{2} \cdot x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}} =  \sqrt[3]{\sqrt{x^{3} \sqrt[3]{x\sqrt{x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{x^{9} \cdot x\sqrt{x}}}}=

\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{x^{10} \sqrt{x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{x^{10} \sqrt{x^{20} \cdot x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{ \sqrt{x^{21} }}}} = \sqrt[36]{x^{21}} divido indice della radice ed esponente del radicando per tre.

\sqrt[12]{x^{7}}

  • \sqrt[3]{2\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}=  \sqrt[3]{\sqrt{4\cdot\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}   = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot\frac{1}{4}}}}  =

\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2}}}   = \sqrt[18]{2}

9)\sqrt[5]{ a ^{4}\sqrt[3]{\frac{1}{a ^{2}}}}}  ; \sqrt[]{x\sqrt[3]{x}}\cdot\sqrt[3]{x\sqrt[]{x}} \cdot\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}} con x≥o

  • \sqrt[5]{ a ^{4}\sqrt[3]{\frac{1}{a ^{2}}}}}  = \sqrt[5]{\sqrt[3]{ a ^{4} \cdot \frac{1}{a ^{2}}}}}  = \sqrt[5]{\sqrt[3]{ a ^{2} }}}  =

\sqrt[15]{a ^{2}}}

  •  \sqrt[]{x\sqrt[3]{x}}\cdot\sqrt[3]{x\sqrt[]{x}} \cdot\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}        con x≥o

=  \sqrt[]{\sqrt[3]{x ^{3}  \cdot x}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[]{x ^{2} \cdot x}} \cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{x ^{3} \cdot x}}  \sqrt[]{\sqrt[3]{x ^{4}  }}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[]{x ^{3} }} \cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{x ^{4}}} =

 \sqrt[6]{x ^{4}  }\cdot\sqrt[6]{x ^{3} }} \cdot\sqrt[9]{{x ^{4}}} =il minimo comune multiplo tra 6 e 9 è 18

=   \sqrt[18]{x ^{12}  }\cdot\sqrt[18]{x ^{9} }} \cdot\sqrt[18]{{x ^{8}}}  =  \sqrt[18]{x ^{12}\cdot x ^{9}   \cdot x ^{8}}  =  \sqrt[18]{x ^{39}}

Vedi programma di matematica del secondo superiore