Potenza e radice di un radicale

Potenza e radice di un radicale, analizziamole singolarmente per capire come si svolgono e quindi per poter svolgere da soli gli esercizi su questi argomenti.

Potenza di un radicale

Per poter elevare a potenza un radicale aritmetico si eleva a potenza il solo radicando.

(\sqrt[n]{a}) ^{m} = \sqrt[n]{a ^{m} }

Esempi

(\frac{2}{3} \sqrt{2}) ^{3} = \frac{8}{27} \sqrt{2^{3}}  = \frac{8}{27}\cdot 2 \sqrt{2}  = \frac{16}{27} \sqrt{2}

( \sqrt[3]{2a^{2}b c ^{2} } ) ^{2} = \sqrt[3]{2 ^{2} a^{4}b ^{2}c ^{4} } = ac\sqrt[3]{4 ab ^{2}c }

(\sqrt[4]{x ^{2}+ x })^{3} = (\sqrt[4]{x (x + 1) })^{3} = \sqrt[4]{x ^{3}(x + 1)^{3} }

Radice di una radice

La radice di una radice aritmetica è una radice che ha per indice il prodotto degli indici delle due radici e per radicando, lo stesso radicando.

\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

Esempi

\sqrt[10]{\sqrt[3]{x ^{5}}}  =  \sqrt[10 \cdot 3]{x^{5}}  =  \sqrt[30]{x^{5}}  semplificando  \sqrt[6]{x}

\sqrt[5]{y^{3} \sqrt[]{x y}}  = si fa entrare prima y nella radice interna \sqrt[5]{ \sqrt[]{y^{6}\cdot x y}}  = \sqrt[10]{ {xy^{7}}}

\sqrt[3]{{2\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{1}{2}\sqrt[]{ \frac{1}{2}{ }} }}}  = \sqrt[3]{{\sqrt{2^{2}\frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{1}{2}\sqrt[]{ \frac{1}{2}{ }} }}}  = \sqrt[3]{{\sqrt{4\frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{1}{2}\sqrt[]{ \frac{1}{2}{ }} }}}  = \sqrt[3]{{\sqrt{2\sqrt[]{\frac{1}{2}\sqrt[]{ \frac{1}{2}{ }} }}}  =

\sqrt[3]{{\sqrt{\sqrt[]{2^{2}\frac{1}{2}\sqrt[]{ \frac{1}{2}{ }} }}} =   \sqrt[3]{{\sqrt{\sqrt[]{4\frac{1}{2}\sqrt[]{ \frac{1}{2}{ }} }}} =  = \sqrt[3]{{\sqrt{\sqrt[]{2\sqrt[]{ \frac{1}{2}{ }} }}} =  = \sqrt[3]{{\sqrt{\sqrt[]{\sqrt[]{ 2^{2}\frac{1}{2}{ }} }}} =

\sqrt[3]{{\sqrt{\sqrt[]{\sqrt[]{ 4\frac{1}{2}{ }} }}} =  = \sqrt[3]{{\sqrt{\sqrt[]{\sqrt[]{ 2{ }} }}} =  = \sqrt[24]{2}

Vedi programma di matematica del secondo superiore

Vedi gli esercizi