Retta passante per un punto

 

Vediamo cosa dobbiamo fare se vogliamo scrivere l’equazione di una retta di cui conosciamo il punto attraverso cui passa P(x_{{0}};y_{{0}}) e il coefficiente angolare m.

Sappiamo che l’equazione generale di una retta è y = mx + q. Se consideriamo che il punto P passa per questa retta , le sue coordinate devono soddisfare l’equazione della retta quindi avremo che: y_{{0} =mx_{{0} + q.

Dalla seconda equazione esplicitiamo la q e l’andiamo a sostituire nella prima. Quindi:

q= y_{{0} – mx_{{0}  andando a sostituire avremo:

y = mx +  y_{{0} – mx_{{0} ⇒ y – y_{{0} = m (x – x_{{0}) quindi è l’equazione di una retta passante per un punto noto e coefficiente angolare conosciuto.

Tale equazione  y – y_{{0} = m (x – x_{{0} viene anche detta equazione del fascio di rette di centro P(x_{{0}};y_{{0}}). Quindi al variare di m si ottengono le infinite rette che passano per il punto P. Esso può essere definito anche fascio proprio in quanto il fascio improprio è l’insieme di rette tutte parallele tra loro.

Vediamo ora alcuni esempi di esercizi.

 

1) Data la retta r di equazione 2x – y + 3= 0, scrivi l’equazione della retta parallela a r e passante per il punto A(4,3).

La prima cosa da fare è scrivere l’equazione in forma esplicita y=2x + 3. Notiamo che il coefficiente angolare è 2, anche dalla forma implicita si poteva calcolare la m che è uguale a -\frac{a}{b} che veniva sempre = 2. Poichè la retta è parallele per la condizione di parallelismo il coefficiente angolare è lo stesso.

Una volta individuato il coefficiente angolare si può calcolare con la formula del fascio di rette y -y_{{0}} = m(x -x_{{0}}), dove x_{{0} y_{{0} sono le coordinate del punto A.

Quindi y – 3 = 2(x – 4) ⇒ y = 3 + 2x – 8 ⇒ y = 2x – 5

2)Data la retta 5 di equazione 3x + y – 2= 0, scrivi l’equazione della retta perpendicolare e passante per il punto B(0; -3)

Prima di tutto mettiamo in forma esplicita l’equazione: y = -3x + 2.

Il coefficiente angolare sappiamo che dovrà essere m’ = -\frac{1}{m} ⇒ m’ = + \frac{1}{3}

Applichiamo ora la formula y -y_{{0}} = m(x -x_{{0}}) avremo y +3 = \frac{1}{3}(x – o) ⇒ y = \frac{1}{3}x – 3

Vedi gli esercizi

 

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