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Tag Archives: esercizi matematica superiori

Esercizi sulle equazioni e disequazioni con valore assoluto

Esercizi sulle equazioni e disequazioni con valore assoluto

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

2| x | – 1 = 5

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 1 + x| = 5

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

|x | – 6 = 1 + 5x

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

1 – x + |1 – x| = 0

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 3x + 2| – 1 = 2x + 5

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|3x – 6 | -1 >2(x + 2) – x – 2

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|1 – x| <6

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

2(\frac{1}{3} – |x|) <4x – 1

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|\frac{4}{3} x – \frac{1}{4}| > – \frac{13}{12} + \frac{x}{4}

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

2| x | – 1 = 5

Essendoci il valore assoluto bisogna analizzare il segno. Consideriamo il sistema per x≥0 e x<0

valore-assoluto

 

Per x≥0, x = 3 è una soluzione accettabile  perchè appunto è più grande di 0.

Per x<0 , x = – 3 è una soluzione accettabile  perchè appunto è minore di 0.

L’equazione quindi avrà due soluzioni x=3 e x= -3.

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 1 + x| = 5

Essendoci il valore assoluto bisogna analizzare il segno. Consideriamo il sistema per 1+x≥0 e 1+x<0

valore-assoluto-1

 

Per  x≥ -1, x= 0 è una soluzione accettabile  perchè appunto è più grande di -1

Per x < -1 x = -6 è una soluzione accettabile  perchè appunto è minore di -1.

L’equazione quindi avrà due soluzioni x=4 e x= -6.

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

|x | – 6 = 1 + 5x

valore-assoluto-3

 

Per x≥0, x = -\frac{7}{4} è una soluzione non accettabile  perchè non è maggiore di 0.

Per x<0 , x =  -\frac{7}{6} è una soluzione accettabile  perchè appunto è minore di 0.

L’equazione avrà come soluzione solo x= -\frac{7}{6}

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

1 – x + |1 – x| = 0

valore-assoluto-4

 

Per x≥1, x=1 è soluzione

L’equazione avrà come soluzione solo x=1

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 3x + 2| – 1 = 2x + 5

valore-assoluto-5

Per x≥0, x= 4 è soluzione.

Per x<0, x = -\frac{8}{5} è soluzione

L’equazione avrà come soluzioni x=4 e x= -\frac{8}{5}

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|3x – 6 | -1 >2(x + 2) – x – 2

Si scriverà la disequazione in modo che la disequazione sia scritta in forma |A|>B.

|3x – 6 |>2x + 4 – x – 2 +1

|3x – 6 |>x + 3

Analizziamo il segno di 3x – 6 e avremo:

3x – 6 ≥0 ⇒ x ≥ \frac{6}{3} ⇒ x  ≥ 2

La disequazione si divide in due sistemi:

valore-assoluto-7

 

La disequazione ha per soluzioni:

x <\frac{3}{4} e x >\frac{9}{2}

 

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|1 – x| <6

valore-assoluto-8

 

La disequazione ha per soluzione -5 <x<7.

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

2(\frac{1}{3} – |x|) <4x – 1

\frac{2}{3} – 2|x|<4x – 1

– 2|x| <4x – 1 –\frac{2}{3} ⇒ -6|x| <12x -3 -2 ⇒ -6|x| <12x – 5

valore-assoluto-9

La disequazione ha per soluzione solo x > \frac{5}{18}

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|\frac{4}{3} x – \frac{1}{4}| > – \frac{13}{12} + \frac{x}{4}

valore-assoluto-10

Esercizi sui sistemi di disequazioni

Esercizi sui sistemi di disequazioni

Esercizio n° 1

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-1

Esercizio n° 2

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-3

Esercizio n° 3

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-5

Esercizio n° 4

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-7

Esercizio n° 5

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-9

Esercizio n° 6

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-11

 

Esercizio n° 7

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-13

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-1

3(1 – x) < 2x + 1 ⇒ 3 – 3x < 2x + 1 ⇒ -3x – 2x < 1 – 3 ⇒ -5x < -2  ⇒ 5x > 2⇒  x > \frac{2}{5}

2x – 6 > 5x – 2 ⇒  2x – 5x  > -2 + 6 ⇒ -3x > 4 ⇒  3x < – 4 ⇒ x < -\frac{4}{3}

Rappresentiamo su due rette le due disequazioni.

sistema-2

Non eseistono valori di x per cui le disequazioni sono verificate contemporaneamente quindi il sistema è impossibile.

Esercizio n° 2

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-3

x + 7 – 3x ≥ -x(x + 1) + x² – 3 – 2x ⇒ x + 7 – 3x  ≥ – – x + – 3 – 2x ⇒ x  – 3x  +x + 2x ≥ – 3 -7 ⇒ x ≥ – 10

2x + 3 < 7 ⇒ 2x  < 7  – 3 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2

sistema-4

Esercizio n° 3

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-5

2x – 3 < (x + 1)² – x (x-1) ⇒ 2x – 3 < x² + 2x + 1 – x² + x ⇒ 2x -x² – 2x +x²-x< 1  + 3 ⇒ – x < 4 ⇒ x > -4

x + 3 -2x ≥ 4  ⇒x – 2x ≥ 4 – 3 ⇒ -x   ≥ 1⇒ x ≤ – 1

sistema-6

Esercizio n° 4

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-7

(x -1 )² + 2x – 7 < 1 + x² ⇒ + 12x + 2x – 7 <  1 + x² ⇒  -7 <0  ∀ x ∈ R

7x + 1 < 7 + x(x -2 ) – x² + 9x  ⇒ 7x + 1 < 7 + – 2x – + 9x ⇒    7x +2x – 9x  < 7 – 1   ⇒0 < 6   ∀ x ∈ R

sistema-8

Esercizio n° 5

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-9

\frac{x-1}{2} – \frac{2x (x+1)}{3} < \frac{1 - 2x^{2}}{3} + 1 ⇒ \frac{3(x-1)-4x (x + 1)-2(1 - 2x^{2})-6}{6}  < 0 ⇒ 3x – 3 – 4x² – 4x – 2 + 4x² – 6 < 0 ⇒-x < +11 ⇒ x>-11

\frac{2}{3} (x – \frac{1}{4}) + \frac{1}{6} – (x – 1)(x + 1) ≤ 1 – x² ⇒ \frac{2}{3}x – \frac{1}{6} +  \frac{1}{6} – (x² – 1) ≤ 1 – x² ⇒  \frac{2}{3}x- + 1  ≤ 1 –  ⇒ \frac{2}{3}x ≤ 0 ⇒ x ≤ 0

sistema-10

Esercizio n° 6

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-11con a ≠0

5ax < 10a ⇒ \frac{5ax}{5a}  <  \frac{10a}{5a} dobbiamo considerare i  due casi (a>0 e a<o)poichè abbiamo diviso entrambe i membri per 5a

3x > 12 ⇒ x >4

sistema-12

Il sistema ammette soluzioni solo se a< 0 e  l’insieme delle soluzioni è dato da x> 4

Esercizio n° 7

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-13

3a (x+2) <2a(x+3) – a ⇒ 3ax + 6a < 2ax + 6a – a ⇒ 3ax  -2ax <6a – a  – 6a ⇒ ax  <-a ⇒ \frac{a}{a}\frac{}{}x <- \frac{a}{a}\frac{}{}

2(x + 3) > 6 – (2 – x) ⇒ 2x + 6 > 6 -2 +x   ⇒  2x -x > 6 – 2 – 6  ⇒ x> -2

sistema-14

Esercizi sulle disequazioni fratte

Esercizi sulle disequazioni fratte

Esercizio n° 1

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{2x + 3}{4x + 4} – 1 ≤ \frac{x - 1}{x + 1}

Esercizio n° 2

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1}{x } < 0

Esercizio n°3

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1}{x-1 } > 0

Esercizio n° 4

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{x+1}{x} > 0

Esercizio n° 5

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1 - x}{2x} ≥ 0

Esercizio n° 6

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{3x - 6}{2x + 1} ≥ 0

Esercizio n° 7

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{5}{x} ≥ 25

Esercizio n° 8

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{5x}{11} – \frac{3}{22} > \frac{15x ^{2}-18}{33x}

Esercizio n° 9

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1}{5} x – \frac{1}{x - 5}  > \frac{x + 1}{5}  – \frac{x - 1}{x - 5}

Esercizio n° 10

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

x – \frac{1}{2 - 3x}  > \frac{2x - 1}{2}  + \frac{6x+1}{3x -2}

Esercizio n° 11

Risolvi la sequente disequazione letterale fratta.

\frac{2a}{x - a} + \frac{3}{4} ≤ 0

Esercizio n° 12

Risolvi la sequente disequazione letterale fratta.

\frac{10 + 7a}{x - a} + \frac{5(2 + x)}{a - x} < 3

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{2x + 3}{4x + 4} – 1 ≤ \frac{x - 1}{x + 1}

\frac{2x + 3}{4(x + 1)}  – 1 ≤ \frac{x - 1}{x + 1}

Si riporta tutto al primo membro

\frac{2x + 3}{4(x + 1)}  – 1 –  \frac{x - 1}{x + 1} ≤ 0

\frac{2x + 3-4(x +1)-4(x - 1)}{4(x + 1)}   ≤ 0   C.E.   x + 1 ≠ 0 ⇒  x ≠ – 1

\frac{2x + 3-4x -4-4x +4}{4(x + 1)}   ≤ 0   ⇒   \frac{-6x + 3 }{4(x + 1)}  ≤ 0

A questo punto si deve studiare il segno della frazione, si studia separatamente il numeratore e il denominatore ponendoli maggiori di zero.

N > 0   ⇔ – 6x + 3 ≥ 0 ⇒  -6x >  – 3  ⇒  6x < 3  ⇒  x < \frac{3 }{6}   semplificando  x < \frac{1 }{2}

D > 0 ⇔ 4(x + 1) > 0 ⇒ 4x + 4 > 0 ⇒   4x > -4 ⇒  x > -1  il denominatore solo maggiore perchè il risultato annulla la disequazione

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-1

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è negativa, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli negativi che sono:   x < – 1  e x ≥ \frac{1 }{2}

Esercizio n° 2

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1}{x } < 0     C.E. x ≠0

x > 0

disequazione-2

Riportiamo i risultati sulle rette.

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è negativa, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli negativi che corrispondono a x < 0

Esercizio n°3

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1}{x-1 } > 0     C.E.  x – 1 ≠ 0 ⇒  x ≠ 1

x – 1 > 0 ⇒  x > 1

disequazione-3

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono a x > 1

Esercizio n° 4

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{x+1}{x} > 0   C.E.   x ≠ 0

N: x + 1 > o  ⇒ x > – 1

D: x > 0

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-4

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono a x < – 1 e x > 1.

Esercizio n° 5

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1 - x}{2x} ≥ 0     C.-E.   2x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0

N: 1 – x  ≥ 0  ⇒  -x ≥ – 1 ⇒  x ≤ 1

D: 2x > 0  ⇒ x > 0

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-5

 

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono  0<x ≤ 1

Esercizio n° 6

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{3x - 6}{2x + 1} ≥ 0    C.E  2x + 1 ≠ 0 ⇒  x ≠ – \frac{1 }{2}

N: 3x – 6 ≥ 0 ⇒  3x ≥ 6 ⇒  x ≥ 2

D: 2x + 1 > 0 ⇒ 2x > -1   ⇒ x  > – \frac{1 }{2}

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-6

 

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono  x < \frac{1 }{2}  e  x ≥ 2

Esercizio n° 7

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{5}{x} ≥ 25      C.E. x ≠ 0

\frac{5}{x} – 25  ≥ 0  ⇒  \frac{5 - 25x }{x}    ≥ 0

N : 5 – 25x ≥ 0  ⇒  -25x ≥  – 5  ⇒  25x ≤ 5   ⇒  x ≤ \frac{1}{5}

D : x > 0

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-7

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono: 0 < x ≤ \frac{1}{5}

Esercizio n° 8

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{5x}{11} – \frac{3}{22} > \frac{15x ^{2}-18}{33x}

\frac{5x}{11} – \frac{3}{22} – \frac{15x ^{2}-18}{33x}  > 0

\frac{30x^{2}-9x-30x^{2}+36}{66x}  > 0        C.E.   66x ≠ 0⇒ x≠ 0

N: 30x² – 9x – 30x² + 36> 0   ⇒ -9x > -36  ⇒   9x< 36  ⇒ x < 4

D: 66x > 0  ⇒   x> 0

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-8

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono: 0 < x < 4

Esercizio n° 9

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

\frac{1}{5} x – \frac{1}{x - 5}  > \frac{x + 1}{5}  – \frac{x - 1}{x - 5}

\frac{1}{5} x – \frac{1}{x - 5}  – \frac{x + 1}{5}  + \frac{x - 1}{x - 5}  > 0

\frac{x(x - 5)-5-(x-5)(x + 1)+5(x-1)}{5(x-5)} > 0   C.E.  x – 5 ≠ 0 ⇒  x ≠ 5

N: x² – 5x – 5- (x² + x – 5x – 5 ) + 5x – 5 > 0  ⇒  5x – 5 – – x + 5x + 5 + 5x – 5 > 0⇒  -x +5x- 5> 0  ⇒4x >5 ⇒x>\frac{5}{4}

D: 5 (x – 5) > 0  ⇒  x  > 5

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-9

 

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono: x < \frac{5}{4} e x > 5

Esercizio n° 10

Risolvi la sequente disequazione numerica fratta.

x – \frac{1}{2 - 3x}  > \frac{2x - 1}{2}  + \frac{6x+1}{3x -2}

x – \frac{1}{2 - 3x}   –  \frac{2x - 1}{2}  – \frac{6x+1}{3x -2}  > 0

x + \frac{1}{3x - 2}  –  \frac{2x - 1}{2}  – \frac{6x+1}{3x -2}  >  0

\frac{2x(3x - 2)+2-(2x -1)(3x - 2) -2(6x + 1)}{2(3x - 2)} >  0    C.E. 3x – 2 ≠ 0 ⇒  x ≠ \frac{2}{3}

N: 6x² -4x + 2 – (6x² – 4x – 3x + 2) – 12x – 2 >  0 ⇒  6x²4x + 26x² +4x + 3x – 2 – 12x – 2  >  0 ⇒ -9x – 2  >  0 ⇒ 9x+2<0  ⇒  x < – \frac{2}{9}

D: 2(3x – 2) >  0 ⇒  x >\frac{2}{3}

Riportiamo i risultati sulle rette.

disequazione-10

A questo punto consideriamo la disequazione di partenza che è positiva, quindi dovremo prendere dal grafico come soluzioni solo gli intervalli positivi che corrispondono: – \frac{2}{9}< x < \frac{2}{3}

Esercizio n° 11

Risolvi la sequente disequazione letterale fratta.

\frac{2a}{x - a} + \frac{3}{4} ≤ 0    C.E   x – a ≠0

\frac{8a + 3(x - a)}{4(x-a)} ≤ 0

\frac{8a + 3x - 3a}{4(x-a)} ≤ 0

\frac{5a + 3x }{4(x-a)}  ≤ 0

N: 5a + 3x ≥ 0 ⇒ 3x ≥ -5a ⇒  x ≥ -\frac{5}{3}a

D: 4(x – a) > 0 ⇒ x  > a

Adesso poichè è una disequazione letterale bisogna studiare graficamente i segni per a >0, a=0, a<0

disequazione-11

 

Nel caso di a= 0 si può anche non costruire il grafico e sostitiire 0 alla a nella disequazione.

\frac{5a + 3x }{4(x-a)}  ≤ 0 ⇒ \frac{3x}{4x}  ≤ 0  . Risulta \frac{3}{4} ≤ 0 ciò non è possibile.

Esercizio n° 12

Risolvi la sequente disequazione letterale fratta.

\frac{10 + 7a}{x - a} + \frac{5(2 + x)}{a - x} < 3

\frac{10 + 7a}{x - a} – \frac{5(2 + x)}{x - a}  – 3 <0    C.E. x-a≠0 ⇒ x ≠ a

\frac{10 + 7a-5(2+x)-3(x-a)}{x - a}  <0

N: 10 + 7a – 10 – 5x -3x +3a  >0 ⇒ 10a -8x >0  ⇒ 8x – 10a < 0  ⇒ x < \frac{10}{8}a ⇒ x < \frac{5}{4} a

D: x – a >0⇒ x >a

Adesso poichè è una disequazione letterale bisogna studiare graficamente i segni per a >0, a=0, a<0disequazione-12

Infatti se a =0

\frac{10 + 7a-5(2+x)-3(x-a)}{x - a}  <0  ⇒ \frac{  10 +7a -10 -5x -3x +3a}{x -a} <0  ⇒ \frac{  -8x}{x }  < 0  ⇒ -8< 0   tutto R

 

 

 

Esercizi sulle disequazioni di primo grado

Esercizi sulle disequazioni di primo grado

Esercizio n° 1

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

a – 3 > 5             a= 8;        a = \frac{9}{2};        a = \frac{17}{2};          a = \frac{28}{3}

Esercizio n° 2

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

b + 4 < 6         b = 2;        b = 3;      b = 1;        b=0

Esercizio n° 3

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

y + 4 ≤ 6       y = 2;     y = \frac{3}{2};      y = \frac{1}{3};     y = 0

Esercizio n° 4

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

1 – x ≥ 0          x = 1;    x=0;    x = \frac{1}{2};        x= \frac{3}{2}

Esercizio n° 5

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

2x – 4 > 5x + 8          x = -5;     x = -4;      x = 0;       x = \frac{1}{2}

Esercizio n° 6

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

x – \frac{1}{2} + 2 > \frac{2x}{3} – \frac{1}{4}               x = 0;     x = \frac{1}{2};     x = 3;        x = – \frac{1}{2}

Esercizio n° 7

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

3x – 2 > 5x + 3

Esercizio n° 8

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

2ax – 1 ≤ a + bx

Esercizio n° 9

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

\frac{x}{a} – \frac{1}{2} + b < \frac{1}{b} – \frac{1}{a} + x

Esercizio n° 10

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

\frac{1}{x} – 3 > 0

Esercizio n° 11

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

\frac{a - b}{ax} ≤ \frac{a + bx}{bx}

\frac{ax}{a - b} > \frac{bx}{a + b}

Svolgimento

Esercizio n° 1

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

a – 3 > 5             a= 8;        a = \frac{9}{2};        a = \frac{17}{2};          a = \frac{28}{3}

  • 8 – 3 > 5   ⇒  5 > 5 non è soluzione
  • \frac{9}{2} – 3 > 5  ⇒   9 – 6 > 5  ⇒  3 > 5 non è soluzione
  • \frac{17}{2} – 3 > 5   ⇒  17 – 6 > 10  ⇒ 11 > 10  è soluzione
  • \frac{28}{3} – 3 > 5   ⇒  28 – 9  > 15  ⇒  19   > 15 è soluzione

Esercizio n° 2

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

b + 4 < 6         b = 2;        b = 3;      b = 1;        b=0

  • 2 + 4 < 6 ⇒  6 < 6   non è soluzione
  • 3 + 4 < 6 ⇒  7 < 6   non è soluzione
  • 1 + 4 < 6 ⇒  5 < 6  è soluzione
  • 0 + 4 < 6 ⇒  4 < 6  è soluzione

Esercizio n° 3

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

y + 4 ≤ 6       y = 2;     y = \frac{3}{2};      y = \frac{1}{3};     y = 0

  • 2 + 4 ≤ 6 ⇒  6 ≤ 6  è soluzione
  • \frac{3}{2} +4 ≤ 6 ⇒ 3 + 8 ≤ 12 ⇒  11 ≤ 12   è soluzione
  • \frac{1}{3} +4 ≤ 6 ⇒ 1 + 12 ≤ 18 ⇒ 13 ≤ 18 è soluzione
  • 0 +4 ≤ 6 ⇒  4 ≤ 6 è soluzione

Esercizio n° 4

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

1 – x ≥ 0          x = 1;    x=0;    x = \frac{1}{2};        x= \frac{3}{2}

  • 1 – 1 ≥ 0 ⇒ 0 ≥ 0  è soluzione
  • 1 – 0 ≥ 0 ⇒ 1 ≥ 0  è soluzione
  • 1 – \frac{1}{2} ≥ 0 ⇒ 2 – 1 ≥ 0  ⇒ 1 ≥ 0 è soluzione
  • 1 – \frac{3}{2} ≥ 0 ⇒ 2 – 3 ≥ 0  ⇒ -1 ≥ 0 non  è soluzione

Esercizio n° 5

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

2x – 4 > 5x + 8          x = -5;     x = -4;      x = 0;       x = \frac{1}{2}

  • 2(-5) – 4  > 5(-5) + 8  ⇒ -10 – 4 > -25 + 8 ⇒ -14  >- 17   è soluzione
  • 2(-4) – 4  > 5(-4) + 8 ⇒  -8 – 4 > -20 + 8 ⇒ -12 >  -12  non è soluzione
  • 2(0) – 4  > 5(0) + 8 ⇒  0 – 4 > 0 + 8  ⇒ -4 >  8  non  è soluzione
  • 2( \frac{1}{2}) – 4  > 5( \frac{1}{2}) + 8 ⇒ 1 – 4  >\frac{5}{2} + 8 ⇒ 2 – 8 > 5 + 16 ⇒ – 6 > 21 non è soluzione

Esercizio n° 6

Di fianco alla disequazione sono scritti dei valori detrmina queli sono soluzioni e quali no.

x – \frac{1}{2} + 2 > \frac{2x}{3} – \frac{1}{4}               x = 0;     x = \frac{1}{2} ;     x = 3;        x = – \frac{1}{2}

  • 0 – \frac{1}{2} + 2 > \frac{2(0)}{3} – \frac{1}{4}   ⇒ – \frac{1}{2} + 2 >  – \frac{1}{4} ⇒  -1 + 4 > – 1 ⇒  + 3  > – 1  è soluzione
  • \frac{1}{2}  – \frac{1}{2} + 2 > \frac{2}{3} (\frac{1}{2} ) – \frac{1}{4}   ⇒ 2 > \frac{1}{3} – \frac{1}{4}   ⇒   2 > \frac{4 -3}{12} ⇒ 2 > \frac{1}{12}  è soluzione
  • 3 – \frac{1}{2} + 2 > \frac{2(3)}{3} – \frac{1}{4}  ⇒ 3 – \frac{1}{2} + 2  > 2 – \frac{1}{4}  ⇒ \frac{12 - 2 + 8}{4} > \frac{8 - 1}{4} ⇒ 12 -2 + 8 > 8 – 1 ⇒   18 > 7 è soluzione
  • \frac{1}{2}  – \frac{1}{2} + 2 > \frac{2}{3} (-\frac{1}{2} ) – \frac{1}{4} ⇒-\frac{1}{2} – \frac{1}{2} + 2 >-\frac{1}{3}  – \frac{1}{4} ⇒ \frac{- 6 - 6 + 24}{12} > \frac{-4 -3}{12} ⇒ -6 – 6 + 24> – 4 – 3 ⇒ 12 >- 7 è soluzione

Esercizio n° 7

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

3x – 2 > 5x + 3 disequazione numerica intera

Esercizio n° 8

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

2ax – 1 ≤ a + bx  disequazione letterale intera

Esercizio n° 9

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

\frac{x}{a} – \frac{1}{2} + b < \frac{1}{b} – \frac{1}{a} + x   disequazione letterale intera

Esercizio n° 10

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

\frac{1}{x} – 3 > 0    disequazione numerica fratta

Esercizio n° 11

Scriviamo di fianco a ogni disequazione di quale tipo si tratta.

\frac{a - b}{ax} ≤ \frac{a + bx}{bx}     disequazione letterale fratta

\frac{ax}{a - b} > \frac{bx}{a + b}   disequazione letterale intera

 

Problemi con le equazioni

Problemi con le equazioni

Esercizio n° 1

La somma di due numeri pari consecutivi è 26. Calcola i due numeri.

Esercizio n°2

La somma di tre numeri consecutivi è 72. Calcola i tre numeri.

Esercizio n° 3

La somma di due numeri dispari consecutivi è 84. Calcola i due numeri.

Esercizio n° 4

Se a un numero si aggiunge il suo triplo e si sottrae la sua metà, si ottiene 28. Qual è il numero?

Esercizio n° 5

Se a un numero si aggiunge la sua terza parte e si sottrae 4, si ottiene 40. Qual è il numero?

Esercizio n° 6

Se al triplo di un numero si somma 3, si ottiene il quadruplo del numero stesso diminuitio di 4. Trova il numero.

Esercizio n° 7

Determina due numeri sapendo che la loro somma vale 43 e la loro differenza 1.

Esercizio n° 8

Il quadrato di un numero aumentato di 4, equivale al prodotto tra il numero e il suo precedente, aumentato di 7. Determina il numero.

Esercizio n° 9

In una palestra ci sono 40 studenti divisi in tre gruppi; determina il numero degli allievi del primo gruppo , sapendo che sono tre in più del secondo e che nel terzo gruppo ci sono cinque alunni in meno che nel secondo.

Esercizio n° 10

Una scatola di biscotti costa i \frac{2}{3} del prezzo  di una confezione di cioccolatini. Sapendo che la spesa totale è di 7,50 euro, quanto costano i cioccolatini?

Esercizio n° 11

In un parcheggio ci sono scooter e automobili. Sapendo che le ruote sono 94 e che in tutto ci sono 36 veicoli, calcola il numero degli scooter e delle auro.

Esercizio n° 12

Determina due numeri naturali consecutivi , sapendo che la differenza dei loro quadrati è uguale a 31.

Esercizio n° 13

Determina due numeri, sapendo che il secondo supera di 17 il triplo del primo e che la loro somma è 101.(21,80)

Esercizio n° 14

Luca e Andrea posseggono rispettivamente 200 euro e 180 euro; Luca spende 10 euro al giorno e Andrea 8 euro. Dopo quanti giorni avranno la stessa somma? (10 giorni)

Esercizio n° 15

Il prodotto tra un numero diminuito di 3 e lo stesso numero aumentato di 2 equivale al quadrato del numero stesso diminuito di 30 . Determinha il numero.(24)

Svolgimento

Esercizio n° 1

La somma di due numeri pari consecutivi è 26. Calcola i due numeri.

x+ x+2 = 26  Il primo numero è x , il secondo essendo pari x+2

2x = 24 ⇒ x = 12

26 – 12 = 14

I  numeri sono 12 e 14

Esercizio n°2

La somma di tre numeri consecutivi è 72. Calcola i tre numeri.

x+x+1+x+2 = 72

3x = 72 -3 ⇒  3x = 69

x = 23

Gli altri due numeri saranno 24 e 25

Esercizio n° 3

La somma di due numeri dispari consecutivi è 84. Calcola i due numeri.

x+ x+2 = 84

2x = 82  ⇒ x = 41

84 – 41 = 34

I numeri sono 41 e 43

Esercizio n° 4

Se a un numero si aggiunge il suo triplo e si sottrae la sua metà, si ottiene 28. Qual è il numero?

x + 3x – \frac{1}{2}x = 28

\frac{2x+6x-x}{2} = \frac{56}{2}  il denominatore può andare via

2x + 6x – x = 56

7x = 56 ⇒  x = 8

Esercizio n° 5

Se a un numero si aggiunge la sua terza parte e si sottrae 4, si ottiene 40. Qual è il numero?

x + \frac{x}{3} – 4 = 40

x + \frac{x}{3} =44

 

\frac{3x+x}{3} = \frac{132}{3}

3x + x= 132 ⇒ 4x = 132

x = 33

Esercizio n° 6

Se al triplo di un numero si somma 3, si ottiene il quadruplo del numero stesso diminuitio di 4. Trova il numero.

3x + 3 = 4x – 4

3x – 4x = -4 – 3

-x = -7

x = 7

Esercizio n° 7

Determina due numeri sapendo che la loro somma vale 43 e la loro differenza 1.

x+y = 43

x-y = 19

somma + differenza\2

(43 + 19): 2 = 62 : 2 = 31

43 – 31 = 12

Esercizio n° 8

Il quadrato di un numero aumentato di 4, equivale al prodotto tra il numero e il suo precedente, aumentato di 7. Determina il numero.

x² + 4 = x(x – 1) + 7

+ 4 = – x + 7

+4 = -x + 7

x = 3

Esercizio n° 9

In una palestra ci sono 40 studenti divisi in tre gruppi; determina il numero degli allievi del primo gruppo , sapendo che sono tre in più del secondo e che nel terzo gruppo ci sono cinque alunni in meno che nel secondo.

x = secondo gruppo              x + 3 = primo gruppo0         x – 5 = terzo gruppo

3 + x + x + x – 5 = 40

3x = 42

x = 14 alunni del secondo gruppo

primo gruppo = 14 + 3 = 17

Esercizio n° 10

Una scatola di biscotti costa i \frac{2}{3} del prezzo  di una confezione di cioccolatini. Sapendo che la spesa totale è di 7,50 euro, quanto costano i cioccolatini?

\frac{2}{3} x + x = 7,50                          x = confezione di cioccolatini

\frac{2x + 3x}{3} = \frac{22,50}{3}

2x + 3x = 22,50

5x = 22,50⇒  x = 4,50 euro

Esercizio n° 11

In un parcheggio ci sono scooter e automobili. Sapendo che le ruote sono 94 e che in tutto ci sono 36 veicoli, calcola il numero degli scooter e delle auto.

Scooter = x

Automobili = 36 – x
Le ruote di ogni scooter sono 2, quelle di ogni automobile sono 4:
2x + 4(36 – x) = 94
2x + 144 – 4x = 94
2x = 144 – 94
2x = 50
x = 25
Scooter = 25
Automobili = 36 – x = 36 – 25 = 11

Esercizio n° 12

Determina due numeri naturali consecutivi , sapendo che la differenza dei loro quadrati è uguale a 31.

x²-(x+1)² = 31

x² – (x²+2x + 1) = 31

x² – x² – 2x – 1 = 31

-2x = 32

x = 16

Esercizio n° 13

Determina due numeri, sapendo che il secondo supera di 17 il triplo del primo e che la loro somma è 101.

3x + 17 + x = 101       pongo x come il primo numero

4x = 84

x = 21  primo numero

3(21) + 17 = 63 + 17 = 80 secondo numero

Esercizio n° 14

Luca e Andrea posseggono rispettivamente 200 euro e 180 euro; Luca spende 10 euro al giorno e Andrea 8 euro. Dopo quanti giorni avranno la stessa somma?

x = n° giorni
200-(10· x) = 180 – (8· x)
200 – 10x = 180 – 8x

-10x + 8x = 180 – 200

-2x = – 20 ⇒ 2x = 20 

x = 10

Infatti:
dopo 10 giorni luca avrà 200-10·10= 200-100=100
dopo 10 giorni andrea avrà 180-10·8= 180-80=100 

Esercizio n° 15

Il prodotto tra un numero diminuito di 3 e lo stesso numero aumentato di 2 equivale al quadrato del numero stesso diminuito di 30 . Determinha il numero.

(x – 3)(x + 2 ) = x² – 30

x² + 2x -3x -6 =  x² – 30

x² – x² + 2x – 3x = – 30 + 6

-x = -24

x = 24

Esercizi sulle equazioni fratte

Esercizi sulle equazioni fratte

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3}{x ^{2}-x - 6} + \frac{5}{x ^{2}+2x} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}   (5\6)

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 = \frac{1}{2}   (-3)

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x+1}{x-1} – 2 = \frac{2x}{x-1}   (imposs)

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} = 6 + \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}    (1)

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x} + \frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1} = \frac{x + \frac{3}{2}}{3x} + \frac{8}{3} \frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}   (1\10)

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15} + \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x    (1)

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x}{x ^{2}-4} – \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x ^{2}+4x+4} = 0  (imposs)

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

\frac{1+2x}{x} – \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x - 3x ^{2}} = 0       (5)

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x (\frac{1}{x-2} + \frac{1}{1 -x}) – (x – 2) ( \frac{1}{x -1} – \frac{1}{x}) = \frac{4}{ x^{2}-2x}   (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3}{x ^{2}-x - 6} + \frac{5}{x ^{2}+2x} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}                                    x² – x – 6 = (x -3)(x + 2)

\frac{3}{(x - 3)(x + 2)} + \frac{5}{x(x +2)} = \frac{2}{x +2} – \frac{2}{x -3}

\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)}  = \frac{2x( x- 3)- 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}                 x≠0 ;    x – 3≠0 quindi  x ≠3    infine x+2≠0 quindi x≠- 2

\frac{3x + 5(x - 3)}{x(x - 3)(x + 2)} - \frac{2x( x- 3)- 2 x(x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}    = 0

\frac{3x + 5(x - 3)-2x( x- 3)+ 2x (x +2)}{x(x - 3)(x + 2)}  = 0

3x + 5x – 15 -2x² + 6x +2x² + 4x = 0

18x = + 15

\frac{18}{18} x = \frac{15}{18}  ⇒  x = \frac{15}{18} semplificando si ha \frac{5}{6}

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione.

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 = \frac{1}{2}   (-3)

\frac{ x^{2}}{x - 3} – x – 1 – \frac{1}{2}  = 0

\frac{2 x^{2}-2x(x-3)-2(x-3)-(x.-3)}{2(x - 3)}
 = 0                C.E. x-3 ≠ 0

2x² – 2x² +6x -2x + 6 -x + 3= 0

3x = -3 -6   ⇒  3x = -9

x = -\frac{9}{3} = -3

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x+1}{x-1} – 2 = \frac{2x}{x-1}

\frac{x+1}{x-1} – 2 – \frac{2x}{x-1}   =0

\frac{x+1-2(x -1)-2x}{x-1}  =0                C.E. x-1 ≠ 0       x ≠1

x + 1 -2x + 2 – 2x = 0

x -2x -2 = -2 – 1

-3x = -3   ⇒ x = \frac{-3}{-3} = +1               impossibile

 

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione.

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} = 6 + \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}

\frac{6x + 3}{(x - 2) ^{2}} + \frac{20x - 32}{4x} – 6 – \frac{1 - x ^{2}}{x (x - 2)}   =0

\frac{4x(6x + 3) + ( x-2)^{2}(20x - 32)-24x(x-2)^{2}-4(1-x^{2})(x-2)}{4x(x - 2) ^{2}}  =0        C .E.   x≠0   x-2≠ 0⇒  x ≠2

24x² + 12x +( x² + 4 – 4x)(20x – 32) – 24x(x² + 4 – 4x) + (-4 + 4x²)(x – 2) =0

24x² + 12x +20x³ – 32x² + 80x -128 -80x² +128x – 24x³ -96x + 96x² -4x +8 +4x³ -8x² =0

12x +80x +128x -96x -4x = +128 -8

120x = 120   ⇒ x = 1

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione.

\frac{3x + 5}{6x ^{2}+3x} + \frac{4x ^{2}+9}{4x ^{2}-1} = \frac{x + \frac{3}{2}}{3x} + \frac{8}{3} \frac{ x^{2}}{(1 - 4 x^{2})}

\frac{3x + 5}{3x(2x +1)} + \frac{4x ^{2}+9}{(2x -1)(2x + 1)}  - (\frac{2x + 3}{2})(\frac{1}{3x}) -  \frac{8}{3} (\frac{x ^{2}}{(2x -1)(2x + 1)} )

 \frac{2(2x-1)(3x + 5)+6x(4x ^{2}+9)-(2x +1)(2x - 1)(2x + 3)- 16x ^{3}}{6x(2x -1)(2x + 1)}          C.E. 6x≠0⇒   x≠0;    2x – 2≠0   ⇒  2x = 2⇒  x = 1

(4x -2)(3x + 5) +24x³ +54x -(4x² – 1)(2x + 3) – 16x³  =0                                           2x + 1 ≠0  ⇒   x ≠ –\frac{1}{2}

12x² + 20x -6x – 10 +24x³ +54x -8x³ -12x² +2x + 3 – 16x³ =0

20x -6x +54x +2x = +10 -3

70x = 7 ⇒ x=\frac{1}{10}

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione.

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{x ^{2}+8x +15} + \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18}{(x+3)(x+5)}         \frac{2x + 2}{x + 3} = – 1 + \frac{15 - 9x}{x + 5} + 2x

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+ (x+5)(2x+2)}{(x+3)(x+5)} = \frac{-(x+3)(x+5)+ (x+3)(15-9x)+2x(x+3)(x+5)}{(x+3)(x+5)}

\frac{2x ^{3}+4x ^{2 }+18+2x ^{2 }+2x+10x+10 }{(x+3)(x+5)}  = \frac{-x^{2}-8x-15+15x-9x ^{2}+45 -27x +2x(x ^{2}+8x+15)}{(x+3)(x+5)}

C.E.             x+3 ≠o⇒   x≠-3   e   x+5≠o⇒   x≠-5

2x³ +4x² +18 + 2x² + 2x + 10x + 10 = -x² -8x – 15 +15x – 9x² +45 -27x +2x³ +16x² +30x

2x³ +4x²+ 2x² + 2x + 10x + +8x -15x + 9x² +27x -2x³16x² -30x = -15 +45 -18 -10

2x = 2 ⇒  x = 1

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente equazione.

\frac{x}{x ^{2}-4} – \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x ^{2}+4x+4} = 0

\frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x +2)^{2}}

 \frac{x(x+2)- (x+2)^{2}+2(x-2)}{(x-2)(x +2)^{2}} = 0           C.E.  x-2≠ 0 ⇒ x ≠2  e  x+2≠ 0 ⇒ x ≠ -2

x² +2x – (x² +4x + 4) +2x – 4 = 0

x² +2x – x² -4x – 4+2x – 4 = 0

+2x – x² -4x  +2x = 8

0 = 8 impossaibile

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente equazione.

\frac{1+2x}{x} – \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x - 3x ^{2}} = 0

\frac{1+2x}{x} - \frac{6x}{3x-1} + \frac{4}{x (1-3x)}  = 0

\frac{1+2x}{x} + \frac{6x}{1 -3x} + \frac{4}{x (1-3x)}  = 0

 \frac{(1+2x)(1-3x)+6x ^{2}+4}{x (1-3x)} 
 = 0                 C.E.  x≠0  e  1-3x≠0 ⇒  x ≠ \frac{1}{3}

1 – 3x + 2x -6x² + 6x²+ 4 = 0

– 3x + 2x -6x² + 6x² = -5

-x = -5 ⇒  x = 5

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione.

x (\frac{1}{x-2} + \frac{1}{1 -x}) – (x – 2) ( \frac{1}{x -1} – \frac{1}{x}) = \frac{4}{ x^{2}-2x}

x (\frac{1 - x +x-2}{(x-2)(1-x)} )  – (x-2)( \frac{x - x + 1}{x(x -1)} )  = \frac{4}{x(x-2)}

 x (\frac{-1}{(x-2)(1-x)} )  - (x-2)( \frac{1}{x(x -1)} )  = \frac{4}{x(x-2)}

\frac{-x}{(x-2)(1-x)}   +  \frac{-(x-2)}{x(x -1)}   = \frac{4}{x(x-2)}  il meno del primo numeratore lo uso per cambiare il primo denominatore e renderlo uguale al secondo

\frac{x}{(x-2)(x-1)}   +  \frac{-(x-2)}{x(x -1)}   = \frac{4}{x(x-2)}

\frac{x ^{2}+(-x+2)(x-2)-4(x-1)}{x(x-2)(x-1)}    = 0 C.E.  x≠0 e x-2≠0 ⇒ x≠2  e x-1≠0 ⇒ x≠1

x² – x² +2x +2x – 4 = 4x – 4

x² – x² +2x +2x – 4x = -4 + 4

0 = 0   (indet. , per x diverso da 0 , 1 , 2)

 

Esercizi sulle equazioni letterali intere

Esercizi sulle equazioni letterali intere

Esercizio n° 1

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

2a – 3x = 7a -5x

Esercizio n° 2

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

2x -4(3x – a)= 6(a – 2x) + 6a

Esercizio n° 3

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

6x – 3(x + 2a)= a + 4(x – 2a)

Esercizio n° 4

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

(a – 1)x = a² – 1

Esercizio n° 5

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

a(x – a – 1) + bx (2 + x) – 3bx² = 2(x – 3) – 2bx ( x – 1)

Esercizio n° 6

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

(b + 3)x + \frac{2}{5} a(x-2) + \frac{1}{5} ax = b² + 7b + 12 + ax(1 – \frac{2}{5}) – \frac{4}{5} a

Esercizio n° 7

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{a ^{2}+x}{a} + \frac{x(a + b)}{ab} – \frac{2}{b}(x-b ^{2}) = \frac{a}{b} – \frac{b}{a} – (\frac{2x}{b} - a ) + 2b + \frac{x}{a}

Esercizio n° 8

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{x}{a+1} + \frac{x-1}{a-1} = 1

Esercizio n° 9

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{x+3}{2a - 6} – \frac{x-3}{2a + 6} = \frac{7a + x - 2}{a ^{2} - 9}

Esercizio n° 10

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{x-5}{ b^{2}-6b +9} – \frac{x+1}{ b^{2}+6b +9} = \frac{6}{ b^{2}-9}

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

2a – 3x = 7a -5x

-3x + 5x = 7a – 2a

2x = 5a ⇒  x = \frac{5}{2}a

Esercizio n° 2

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

2x -4(3x – a)= 6(a – 2x) + 6a

2x – 12x + 4a = 6a – 12x + 6a

2x – 12x + 12x = 6a + 6a – 4a

2x = 8a  ⇒  x = 4a

Esercizio n° 3

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

6x – 3(x + 2a)= a + 4(x – 2a)

6x – 3x – 6a = a + 4x – 8a

6x – 3x -4x = a -8a +6a

-x = -a  ⇒   x = a

Esercizio n° 4

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

(a – 1)x = a² – 1

(a – 1)x = (a – 1)(a + 1)

\frac{a-1}{a-1} x =\frac{(a - 1)(a + 1)}{a-1}            a – 1≠ 0      a ≠ 1

x = a + 1

Esercizio n° 5

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

a(x – a – 1) + bx (2 + x) – 3bx² = 2(x – 3) – 2bx ( x – 1)

ax – a² – a + 2bx + bx² – 3bx² = 2x – 6 – 2bx² + 2bx

+ bx² – 3bx² + 2bx² + ax + 2bx – 2x – 2bx = + a² + a – 6

ax – 2x = + a² + a – 6

x(a – 2) = (a + 3)(a – 2)

\frac{(a - 2)}{a-2} x = \frac{(a + 3)(a - 2)}{a-2}          a – 2≠ 0   a ≠2

x = a + 3

Esercizio n° 6

Risolvi e discuti se è necessario la seguente equazione.

(b + 3)x + \frac{2}{5} a(x-2) + \frac{1}{5} ax = b² + 7b + 12 + ax(1 – \frac{2}{5}) – \frac{4}{5} a

bx + 3x + \frac{2}{5} ax – \frac{4}{5}a +  \frac{1}{5} ax  =b² + 7b + 12  + ax – \frac{2}{5}ax  – \frac{4}{5} a

bx + 3x + \frac{2}{5} ax + \frac{1}{5} ax -ax + \frac{2}{5}ax  = b² + 7b + 12   – \frac{4}{5} a +  \frac{4}{5}a

5 · \frac{5bx + 15x +2ax + ax -5ax + 2ax}{5} = \frac{5b ^{2}+35b + 60}{5} · 5

5bx + 15x + 2ax + ax -5ax + 2ax = 5b² + 35b + 60

15x + 5bx =  5b² + 35b + 60  dividiamo tutto per 5

3x + bx = b² + 7b + 12                                 b² + 7b + 12= (b+4)(b +3)

x (3 + b) = (b+4)(b+3)

\frac{b+3}{b+3} x = \frac{ (b+4)(b+3)}{b+3}            b+3≠ 0          b ≠ – 3

x = b+4

Esercizio n° 7

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{a ^{2}+x}{a} + \frac{x(a + b)}{ab} – \frac{2}{b}(x-b ^{2}) = \frac{a}{b} – \frac{b}{a} – (\frac{2x}{b} - a ) + 2b + \frac{x}{a}

\frac{a ^{2}+x}{a} + \frac{ax + bx}{ab}  - \frac{2x}{b}  + 2b =  \frac{a}{b} – \frac{b}{a} –\frac{2x}{b} + a + 2b + \frac{x}{a}

ab ·\frac{b(a ^{2}+x)+ax + bx-2ax+2ab^{2}}{ab}  = \frac{a ^{2}-b^{2}-2ax + a^{2}b+2ab^{2}+bx}{ab} · ab

a²b + bx + ax + bx – 2ax + 2ab² = a² – b² -2ax + a²b +2ab² +bx

bx + ax + bx – 2ax +2ax -bx =  a² – b²

ax + bx =   a² – b²

x(a + b) = (a – b)(a +b)

\frac{a+b}{a+b} x = \frac{(a - b)(a +b)}{a+b}             a+b≠ 0      a ≠-b

x = a – b

Esercizio n° 8

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{x}{a+1} + \frac{x-1}{a-1} = 1

\frac{x(a-1)+ (a+1)(x-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)}                a+1≠0,  a≠-1         a-1≠0,  a≠1

ax – x +ax – a + x – 1 = a² – 1

2ax -a = a² – 1 +1

2ax -a = a²

2ax =  a² +a   ⇒   2ax = a(a + 1)

x = \frac{a(a + 1)}{2a}                         a≠0      

x = \frac{(a + 1)}{2}

Esercizio n° 9

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{x+3}{2a - 6} – \frac{x-3}{2a + 6} = \frac{7a + x - 2}{a ^{2} - 9}

\frac{(x+3)}{2(a-3)} – \frac{(x-3)}{2(a+3)} = \frac{7a + x - 2}{(a+3)(a-3)}

\frac{(a+3)(x+3)-(a-3)(x-3)}{2(a - 3)(a+3)} = \frac{2(7a + x - 2)}{2(a - 3)(a+3)}             a – 3≠ o,  a ≠ 3          a+3 ≠0,  a≠-3

(a+3)(x+3) -(a – 3)(x – 3) = 2(7a + x – 2)

ax + 3a + 3x + 9 -( ax – 3a – 3x + 9 )= 14a + 2x – 4

ax + 3a + 3x + 9 -ax + 3a + 3x – 9 = 14a + 2x – 4

ax + 3x – ax + 3x -2x = 14a – 4 – 3a – 9 – 3a +9

4x  = 8a – 4

x = 2a – 1

Esercizio n° 10

Risolvi le seguenti equazioni nell’incognita x.

\frac{x-5}{ b^{2}-6b +9} – \frac{x+1}{ b^{2}+6b +9} = \frac{6}{ b^{2}-9}

\frac{x-5}{( b-3)^{2}}  – \frac{x+1}{( b+3)^{2}}  = \frac{6}{(b+3)(b-3)}

\frac{(x-5)( b+3)^{2}-(x+1)( b-3)^{2}}{( b-3)^{2}( b+3)^{2}}   = \frac{6(b+3)(b-3)}{( b-3)^{2}( b+3)^{2}}                   b-3≠0, b ≠ 3        b+3≠0, b ≠- 3

(x – 5)(b²-6b+9) – (x + 1)(b²+6b +9) = 6(b+3)(b – 3)

b²x -6bx +9x – 5b² +30b -45 -b²x -6bx-9x-b² -6b – 9 = 6b² – 54

-6bx +9x -6bx-9x = 6b² – 54 + 5b² -30b +45  +b² +6b + 9

-12bx = +12b² -24b   divido tutti i membri per 12 e gli cambio il segno

+bx = – b² +2b

bx = b(-b + 2)

x = -b + 2

 

Esercizi sulle equazioni numeriche intere

Esercizi sulle equazioni numeriche intere

Esercizio n° 1

Svolgi la seguente equazione.

3(x + 2) – (2x + 1) = 10 – 3 (x – 1) – 4x    (1)

Esercizio n° 2

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 3) – 5(1 + x) – 1 = x + 2( 1 – x)    (-7)

Esercizio n° 3

Svolgi la seguente equazione.

5 + 2(4 – x) + 3 (x-5) = 6(x + 2) – 3(4x – 7)      (5)

Esercizio n° 4

Svolgi la seguente equazione.

3x (x – 1) – (1 + x)(-4) = 2x² – (1 – x)(1 + x) + 4     (-1)

Esercizio n° 5

Svolgi la seguente equazione.

5 – [ – (x – 1) – 5(2x – 1) ] =2 + x + 5(2x – 3)   (impos)

Esercizio n° 6

Svolgi la seguente equazione.

x – 1 + 5(x – 3) + (-2)² = 6 (x – 2)            (indet.)

Esercizio n° 7

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2} (1 + 2x) – x + \frac{2}{5}(x + 2) = \frac{3}{10}x – \frac{1}{2}          (-18)

Esercizio n° 8

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 1)(1 + x) + (2 – x)³ + 12x = 2(2x – 1)(1 + 2x) – x³ + 8   (indet.)

Esercizio n° 9

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}(x – 1) + \frac{1}{4}(x + 1) + x (\frac{1}{2}- 2) = 1 – 2x    (1)

Esercizio n° 10

Svolgi la seguente equazione.

(2x – 1) (\frac{1}{3}- \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}x = 4 + \frac{x}{6}   (impos)

Esercizio n° 11

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 2(x – 2)           (2)

Esercizio n° 12

Svolgi la seguente equazione.

(\frac{3}{4} – 3x) (\frac{4}{3} – 2x) = 4x (3x + \frac{1}{2}) – (2x – \frac{3}{2}) (3x – \frac{1}{2})   (7\52)

Esercizio n° 13

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x - 1}{3}(x - \frac{1}{3})- \frac{1}{3} [x² + x(x – \frac{1}{4})]  = \frac{1}{4}(x + \frac{2}{3})           (-1\13)

Esercizio n° 14

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x - 1)( x ^{2}+ x + 1)}{5} = 3 – 2x + \frac{(x ^{2}- x + 1)(x + 1)}{3} + \frac{x ^{3}-11}{15}   (3\2)

Esercizio n° 15

Svolgi la seguente equazione.

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5}[ x + 2 – \frac{1}{2}(x – \frac{2}{3})]  = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x    (5)

Esercizio n° 16

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1 + x ^{2}}{5}  – \frac{1}{4} x – \frac{1}{20} = \frac{(x - 1) ^{2}}{5} + \frac{3}{2} – 1  (11\3)

Esercizio n° 17

Svolgi la seguente equazione.

\frac{x}{10} + \frac{(2 - 3x) ^{2}}{30} + \frac{x}{10}(1 – x) + \frac{2}{15}(1 + 5x) = \frac{x}{5} (3 + x) – \frac{x - 2}{6}   (2)

Esercizio n° 18

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}[- \frac{x - 1}{3} ( \frac{1}{2} – 2) + \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = 2 (\frac{1}{6} – \frac{x}{3}) + \frac{1}{6}(5x – \frac{1}{6}) + x – \frac{41}{36}x   (imposs)

Esercizio n° 19

Svolgi la seguente equazione.

(x – \frac{1}{4})² – (2x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{1}{3}) + 5x ( x – \frac{1}{4}) – \frac{1}{144} = ( x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{5}{2}) + \frac{2}{3}   (-4)

Esercizio n° 20

Svolgi la seguente equazione.

(x –  \frac{1}{3})³ – (\frac{2}{5}x – 1)(2 – x) – x(\frac{2}{5}x + 3) = x²(x – 1) –  \frac{1}{3}(2 – x) – \frac{1}{27}  (5\9)

Esercizio n° 21

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x + 1) + \frac{1}{2}(x + 2)}{2} + \frac{\frac{x - 2}{3}- \frac{x}{2}}{3} = x + \frac{5}{3}  (2)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Svolgi la seguente equazione.

3(x + 2) – (2x + 1) = 10 – 3 (x – 1) – 4x

3x + 6 – 2x – 1 = 10 – 3x + 3 – 4x

3x – 2x + 3x + 4x = 10 + 3 – 6 + 1

8x =+ 8

x = 1

Esercizio n° 2

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 3) – 5(1 + x) – 1 = x + 2( 1 – x)

2x – 6 – 5 – 5x – 1 = x + 2 – 2x

2x – 5x – x + 2x = 2 + 6 + 5 + 1

-2x = 14    \frac{-2}{-2}x = \frac{14}{-2}

x = – \frac{14}{2} = -7

 

Esercizio n° 3

Svolgi la seguente equazione.

5 + 2(4 – x) + 3 (x-5) = 6(x + 2) – 3(4x – 7)

5 + 8 – 2x + 3x – 15 = 6x + 12 – 12x + 21

-2x + 3x – 6x + 12x = 12 + 21 – 5 – 8 + 15

7x = 35   ⇒   \frac{7}{7}x = \frac{35}{7}

x = 5

Esercizio n° 4

Svolgi la seguente equazione.

3x (x – 1) – (1 + x)(-4) = 2x² – (1 – x)(1 + x) + 4

3x² – 3x – (-4 – 4x) = 2x² – (1 – x²) + 4

3x² – 3x  + 4 + 4x = 2x² – 1 + x² + 4

3x² – 2x² – x² – 3x + 4x = -1 + 4 – 4

x = -1

Esercizio n° 5

Svolgi la seguente equazione.

5 – [ – (x – 1) – 5(2x – 1) ] =2 + x + 5(2x – 3)

5 – ( -x +1 -10x + 5 ) = 2 + x + 10x – 15

5 +x – 1 + 10x – 5 = 2 + x + 10x – 15

x + 10x – x – 10x = 2 – 15 – 5 + 1 + 5

0 = -12   impossibile

Esercizio n° 6

Svolgi la seguente equazione.

x – 1 + 5(x – 3) + (-2)² = 6 (x – 2)

x – 1 + 5x – 15 + 4 = 6x – 12

6x – 6x = -12 + 1 + 15 – 4

0 = 0  indeterminata

Esercizio n° 7

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2} (1 + 2x) – x + \frac{2}{5}(x + 2) = \frac{3}{10}x – \frac{1}{2}

\frac{1}{2}  + x – x +  \frac{2}{5}x + \frac{4}{5} = \frac{3}{10}x – \frac{1}{2}

\frac{2}{5}x –  \frac{3}{10}x = – \frac{1}{2} – \frac{1}{2}  – \frac{4}{5}

10 · \frac{4x - 3x}{10} = \frac{- 5 - 5-8}{10}  · 10

4x – 3x = – 18

x = -18

Esercizio n° 8

Svolgi la seguente equazione.

2(x – 1)(1 + x) + (2 – x)³ + 12x = 2(2x – 1)(1 + 2x) – x³ + 8

2(x² – 1) + 8 + 3 (2)² (-x) + 3(2)(-x)² -x³ + 12x = 2 (4x² – 1) – x³ + 8

2x² – 2 + 8 -12x +6x² – x³ + 12x = 8x² – 2 – x³ + 8 

2x² + 6x² = 8x²

8x² – 8x²= 0

0 = 0  indeterminata

Esercizio n° 9

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}(x – 1) + \frac{1}{4}(x + 1) + x (\frac{1}{2}- 2) = 1 – 2x

\frac{1}{2}x – \frac{1}{2} + \frac{1}{4}x  + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x – 2x = 1 – 2x

\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}x  + \frac{1}{2}x = + \frac{1}{2} –  \frac{1}{4} + 1

4 ·\frac{2x + x + 2x}{4} = \frac{2 - 1 + 4}{4} · 4

5x = 5  ⇒   \frac{5}{5} = \frac{5}{5}

x = 1

Esercizio n° 10

Svolgi la seguente equazione.

(2x – 1) (\frac{1}{3}- \frac{1}{2}) + \frac{1}{2}x = 4 + \frac{x}{6}

\frac{2}{3}x – x – \frac{1}{3} + \frac{1}{2} +  \frac{1}{2}x = 4 + \frac{x}{6}

\frac{2}{3}x – x +  \frac{1}{2}x –\frac{x}{6}    = 4 + \frac{1}{3} – \frac{1}{2}

6 · \frac{4x -6x +3x -x}{6} \frac{24 + 2 - 3}{6} · 6

0 =23  impossibile

Esercizio n° 11

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x + 1}{10} – \frac{1 - 3x}{5} + \frac{x - 1}{2} – 2 = 2(x – 2)

10 ·\frac{2x + 1 -2(1-3x)+5(x - 1)- 20}{10}  = \frac{20(x-2)}{10}  · 10

2x + 1 – 2 + 6x + 5x – 5 – 20 = 20x – 40

2x + 6x + 5x – 20x = -40 – 1 + 2 + 5 + 20

-7x = -14  ⇒   \frac{-7}{-7} x = \frac{-14}{-7}

x = 2

Esercizio n° 12

Svolgi la seguente equazione.

(\frac{3}{4} – 3x) (\frac{4}{3} – 2x) = 4x (3x + \frac{1}{2}) – (2x – \frac{3}{2}) (3x – \frac{1}{2})

\frac{3}{4} ·\frac{4}{3}  +\frac{3}{4} · (-2x) – 3x(\frac{4}{3}) -3x (-2x) = 12x² + 4x (\frac{1}{2}) – (6x² -x – \frac{9}{2} x + \frac{3}{4} )

1 – \frac{6}{4} x -4x +6x² = 12x² + 2x -6x² + x +  \frac{9}{2} x –\frac{3}{4}

– \frac{6}{4} x -4x +6x² – 12x² -2x + 6x² – x –  \frac{9}{2} x  = –\frac{3}{4} – 1

– \frac{6}{4} x  -7x –  \frac{9}{2} x = –\frac{3}{4} – 1

4 · \frac{-6x-28x - 18x }{4}  = \frac{-3 - 4}{4}  · 4

-52x = – 7   ⇒  \frac{-52 }{-52}  x = \frac{-7 }{-52}

x = \frac{7 }{52}

Esercizio n° 13

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2x - 1}{3}(x - \frac{1}{3})- \frac{1}{3} [x² + x(x – \frac{1}{4})]  = \frac{1}{4}(x + \frac{2}{3})

\frac{ 2x^{2}-x}{3} – \frac{ 2x-1}{9} – \frac{1}{3} (x² + x² –  \frac{1}{4}x ) =  \frac{1}{4}x + \frac{1}{6}

\frac{ 2x^{2}-x}{3} – \frac{ 2x-1}{9} –  \frac{1}{3}x² –   \frac{1}{3}x²  + \frac{1}{12}x =   \frac{1}{4}x + \frac{1}{6}

36 · \frac{12(2x ^{2}-x)-4(2x - 1)-12x ^{2}-12x ^{2}+3x}{36} = \frac{9x + 6}{36}  ·36

24x² – 12x – 8x + 4 – 12x² – 12x² + 3x = 9x + 6

24x² – 12x² – 12x² – 12x – 8x + 3x – 9x = 6 -4

-26x = 2  ⇒  \frac{-26}{-26}x = \frac{-2}{-26}

x = – \frac{1}{13}

Esercizio n° 14

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x - 1)( x ^{2}+ x + 1)}{5} = 3 – 2x + \frac{(x ^{2}- x + 1)(x + 1)}{3} + \frac{x ^{3}-11}{15}

15 ·\frac{6(x - 1)( x ^{2}+ x + 1)}{15}  = \frac{45 - 30x+ 5(x ^{2}- x + 1)(x + 1)+x ^{3}-11 }{15} 
 · 15      (x-1)(x²+x+1) = x³-1

6(x³-1) = 45 – 30 x + 5(x³ + 1) + x³ – 11                                                   (x+1)(x²-x+1) = x³+1

6x³-6 = 45 – 30 x + 5x³ + 5+ x³ – 11

6x³+ 30 x – 5x³ – x³ = 45 + 5 – 11 + 6

30x = 45  ⇒  \frac{30}{{30}}x = \frac{45}{{30}}  semplificando

x = \frac{3}{{2}}

Esercizio n° 15

Svolgi la seguente equazione.

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5}[ x + 2 – \frac{1}{2}(x – \frac{2}{3})]  = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5}[ x + 2 – \frac{1}{2}x + \frac{1}{{3}}]  = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x

\frac{3x + 2}{5} + \frac{1}{2}x – \frac{1}{5} x  – \frac{2}{5} + \frac{1}{10}x – \frac{1}{15} = \frac{3x + 1}{10} + \frac{2}{3}x

30 ·\frac{18x+12 +15x-6x-12+3x - 2}{30} = \frac{9x + 3+20x}{30} · 30

18x + 15x – 6x + 3x – 9x – 20x = 3 – 12 + 12 + 2

x = 5

Esercizio n° 16

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1 + x ^{2}}{5}  – \frac{1}{4} x – \frac{1}{20} = \frac{(x - 1) ^{2}}{5} + \frac{3}{2} – 1

20 · \frac{4(1 + x ^{2})-5x-1}{20}
 =  \frac{4(x - 1) ^{2}+30-20}{20}
 · 20

4 + 4x² — 5x – 1 = 4 (x² – 2x + 1) +10

4 + 4x² – 5x – 1 = 4x² -8x + 4 + 10

-5x + 8x = 4 + 10 – 4 + 1

3x = 11 ⇒   \frac{3}{3}x = \frac{11}{3}

x =  \frac{11}{3}

Esercizio n° 17

Svolgi la seguente equazione.

\frac{x}{10} + \frac{(2 - 3x) ^{2}}{30} + \frac{x}{10}(1 – x) + \frac{2}{15}(1 + 5x) = \frac{x}{5} (3 + x) – \frac{x - 2}{6}

\frac{x}{10} + \frac{4 - 12x +9x ^{2}}{30} +  \frac{x}{10} – \frac{x ^{2}}{10} + \frac{2}{15} + \frac{2}{3}x = \frac{3}{5}x + \frac{x ^{2}}{5}  – \frac{x - 2}{6}

30 ·\frac{3x+4-12x +9 x ^{2}+3x -3x ^{2} +4 + 20x}{30}  = \frac{18x+6 x ^{2}-5(x-2)}{30}  · 30

3x +4 – 12x +9x² +3x – 3x² + 4 + 20x = 18x + 6x² -5x + 10

3x – 12x + 9x² + 3x – 3x² + 20x -6x² -18x +5x = + 10 – 4 – 4

x = 2

Esercizio n° 18

Svolgi la seguente equazione.

\frac{1}{2}[- \frac{x - 1}{3} ( \frac{1}{2} – 2) + \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = 2 (\frac{1}{6} – \frac{x}{3}) + \frac{1}{6}(5x – \frac{1}{6}) + x – \frac{41}{36}x

\frac{1}{2}[-\frac{x - 1}{6}  + \frac{2(x - 1)}{3}  + \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

\frac{1}{2}[-\frac{x - 1}{6}  + \frac{2x - 2}{3}  \frac{1 - 2x}{6}] : 3 = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

(-\frac{x - 1}{12}   + \frac{2x - 2}{6}   + \frac{1 - 2x}{12} ) · \frac{1}{3} = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

(\frac{-x +1+4x+4+1-2x}{12} ) · \frac{1}{3} = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

(\frac{x + 6}{12} )· \frac{1}{3} = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

\frac{x + 6}{36}  = \frac{1}{3} – \frac{2}{3}x + \frac{5}{6}x – \frac{1}{36} + x – \frac{41}{36}x

36 · \frac{x + 6}{36}   = \frac{12 - 24x+30x - 1+36x - 41x}{36}  · 36

x + 6 = 12 – 24x + 30x – 1 +36x – 41x

x +24x -30x – 36x + 41x = 12 – 1 – 6

0 = 5  impossibile

Esercizio n° 19

Svolgi la seguente equazione.

(x – \frac{1}{4})² – (2x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{1}{3}) + 5x ( x – \frac{1}{4}) – \frac{1}{144} = ( x + \frac{1}{3}) (2x – \frac{5}{2}) + \frac{2}{3}

x² +2(x)(-\frac{1}{4})+\frac{1}{16} – (4x² – \frac{1}{9}) + 5x² – \frac{5}{4}x –  \frac{1}{144} = 2x² –  \frac{5}{2}x + \frac{2}{3}x– \frac{5}{6} + \frac{2}{3}

x² –\frac{1}{2}x +\frac{1}{16} – 4x² +\frac{1}{9} + 5x² – \frac{5}{4}x –  \frac{1}{144} = 2x² –  \frac{5}{2}x + \frac{2}{3}x – \frac{5}{6} + \frac{2}{3}

\frac{1}{2}x- 4+ 5x² – \frac{5}{4}x  -2x²+  \frac{5}{2}x – \frac{2}{3}x = – \frac{5}{6} + \frac{2}{3} –\frac{1}{16} –\frac{1}{9} +\frac{1}{144}

144 · \frac{-72x-180x+360x-96x }{144} = \frac{-120+96-9-16+1}{144} · 144

12x = -48   ⇒  \frac{12}{12}x = -\frac{48}{12}

x = – 4

Esercizio n° 20

Svolgi la seguente equazione.

(x –  \frac{1}{3})³ – (\frac{2}{5}x – 1)(2 – x) – x(\frac{2}{5}x + 3) = x²(x – 1) –  \frac{1}{3}(2 – x) – \frac{1}{27}

x³ +3(x)²( –  \frac{1}{3}) +3(x)( –  \frac{1}{3})² +(- \frac{1}{3})³ -(\frac{4}{5} x- \frac{2}{5}x² – 2 + x) – \frac{2}{5}x² -3x = x³ – x² – \frac{2}{3} +   \frac{1}{3}x – \frac{1}{27}

x³ -x² +  \frac{1}{3}x – \frac{1}{27} – \frac{4}{5}x + \frac{2}{5}x² +2 – x  – \frac{2}{5}x² -3x = x³ – x² – \frac{2}{3} +   \frac{1}{3}x – \frac{1}{27}

 -x² +  \frac{1}{3}x – \frac{4}{5} x + \frac{2}{5} – x  – \frac{2}{5} -3x – x³ + x²  –   \frac{1}{3}x = – \frac{2}{3} – \frac{1}{27} +  \frac{1}{27} -2

\frac{1}{3}x – \frac{4}{5} x -x -3x –   \frac{1}{3}x = – \frac{2}{3} – \frac{1}{27} +  \frac{1}{27} -2

135 · \frac{45x -108x- 135x - 405x-45x}{135} = \frac{-90-5+5 - 270}{135}· 135

-648x =- 360   ⇒   \frac{-648}{-648}x = \frac{-360}{-648}  semplificando avremo:

x = \frac{5}{9}

Esercizio n° 21

Svolgi la seguente equazione.

\frac{2(x + 1) + \frac{1}{2}(x + 2)}{2} + \frac{\frac{x - 2}{3}- \frac{x}{2}}{3} = x + \frac{5}{3}

[  2(x + 1) + \frac{1}{2}(x + 2) ] : 2+  [\frac{x - 2}{3}- \frac{x}{2}]: 3 = x + \frac{5}{3}

(2x + 2 + \frac{1}{2}x + 1) · \frac{1}{2}  +[ \frac{2(x-2)-3x}{6}] ·\frac{1}{3} = x + \frac{5}{3}

(\frac{4x+4+x+2}{2}) · \frac{1}{2} + (\frac{2x-4-3x}{6}\frac{1}{3} = x + \frac{5}{3}

(\frac{5x + 6}{2})  · \frac{1}{2} +(\frac{-x-4}{6})·\frac{1}{3} = x + \frac{5}{3}

\frac{5x + 6}{4}  + \frac{-x-4}{18} = x + \frac{5}{3}

60 ·\frac{9(5x+6) + 2(-x-4)}{36} = \frac{36x + 60}{36} · 60

45x + 54 – 2x – 8 = 36x + 60

45x – 2x -36x = 60 – 54 + 8

7x = 14  ⇒  x = 2

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizi sul secondo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica il secondo principio di equivalenza seguendo le indicazioni scritte di fianco.

  • 2x = 10     dividi per 2
  • – \frac{2}{3} x = 5    moltiplica per – 1;         moltiplica per 3;           dividi poi……
  • \frac{3}{2}x = -\frac{1}{5}   moltiplica per  \frac{2}{3}
  • (a + 1) x = 3a     dividi per a + 1 ≠ 0

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

4x – 12 = 24 x + 8

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

5(1 – x) + 10 (2 – 2x) = 15 – 20x

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

27x – 9 = 18 (x – 1) + 45x

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

6 (x + 2) – 12 (1 – x) = 18 (4 – 2x) + 24

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

12(x – 3) – 144 (x + 2) = 36 + 48x

Svolgimento

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica il secondo principio di equivalenza seguendo le indicazioni scritte di fianco.

  • 2x = 10     dividi per 2

\frac{2}{2}x = \frac{10}{2}   ⇒  x = 5

  • – \frac{2}{3} x = 5    moltiplica per – 1;         moltiplica per 3;           dividi poi divido per 2

\frac{2}{3} x = -5    ⇒    \frac{2}{3}x · 3  =- 5  ·3 ⇒    2x =- 15   ⇒  \frac{2}{2}x =- \frac{15}{2}  ⇒    x = – \frac{15}{2}

  • \frac{3}{2}x = -\frac{1}{5}   moltiplica per  \frac{2}{3}

\frac{3}{2}x (\frac{2}{3}     )= -\frac{1}{5}  (\frac{2}{3}     )     ⇒   x = – \frac{2}{15}

  • (a + 1) x = 3a     dividi per a + 1 ≠ 0

\frac{a+1}{a+1} x = \frac{3a}{a+1}   ⇒  x = \frac{3a}{a+1}

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

4x – 12 = 24 x + 8    applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 4

x – 3 = 6x + 2     applichiamo la regola del trasporto

x – 6x = 2 + 3 ⇒ – 5x = 5       applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 5

-x = 1   ⇒ x = – 1

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

5(1 – x) + 10 (2 – 2x) = 15 – 20x

5 – 5x + 20 – 20x = 15 – 20x       applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 5

1 – x + 4 – 4x = 3 – 4x     sommiamo i termini simili

-5x +5 = 3 – 4x      applichiamo la regola del trasporto

-5x + 4x = 3 – 5  ⇒  -x = – 2  ⇒   x = 2

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

27x – 9 = 18 (x – 1) + 45x

27x – 9 = 18x – 18 + 45x    applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 9

3x – 1 = 2x – 2 + 5x    applichiamo la regola del trasporto

3x – 2x – 5x = -2 + 1  ⇒  -4x = -1    applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per – 4

x = \frac{1}{4}

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

6 (x + 2) – 12 (1 – x) = 18 (4 – 2x) + 24

6x + 12 – 12 + 12x = 72 – 36x + 24   applichiamo il secondo principio dividendo tutti i membri per 6

x + 2 – 2 + 2x = 12 – 6x + 4   sommiamo i termini simili

3x = -6x + 16         applichiamo la regola del trasporto

3x + 6x = 16  ⇒  9x = 16   applichiamo il secondo principio dividendo entrambe i membri per 9

x = \frac{16}{9}

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente equazione dicendo quale regola applichi.

12(x – 3) – 144 (x + 2) = 36 + 48x

12x – 36 – 144x – 288 = 36 + 48x  applichiamo il secondo principio e dividiamo entrambe i membri per 12

x – 3 – 12x – 24 = 3 + 4x   sommiamo i termini simili

-11x – 27 = 4x + 3   applichiamo la regola del trasporto

-11x -4x = 3 + 27  ⇒  -15x = 30   applichiamo il secondo principio e dividiamo entrambe i membri per – 13

x = – \frac{30}{15}

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizi sul primo principio di equivalenza

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

6 – 8x = 3 – 9x                         aggiungi 9x ;             sottrai 6;

Esercizio n° 2

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

2x – 3x + 1 + 8x = 2x + 5 + 4x – 3                  sottrai 6x ;                sottrai 1;

Esercizio n° 3

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

-8x + 6 + 5x – 1 = 3 -14x – 7 + 10x                aggiungi 4x;             sottrai 5;

Esercizio n° 4

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 = \frac{3}{2} -\frac{1}{3}x                aggiungi \frac{1}{3}x;                   aggiungi  \frac{1}{2}

Esercizio n° 5

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(4x – 1)² – x(1 – 2x) = 2x [5x – (5 – 4x)]

Esercizio n° 6

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

3(2x + 3) = 2(4 + 3x) – (x – 1)

Esercizio n° 7

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(x-2)(x – 3) – 3(x + 2) = x (x-3) – 6(x – 2)

Esercizio n° 8

Risolvere la seconda equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

5 – x [ 4 – (1 – x) 5] = 5(1 – x)(x + 1)

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

a(x + 1) – (3 – x) – ab² = b + (4ax – 1) + a(1 – b)(1 + b) – 3(ax + 1)

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

2(2x – a) – (a – 3x) = 6(x – a) – a

Esercizio n° 11

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

5a (x + 2) + 3(x + a) = 4(x + 3a) – 5(1 – ax)

Esercizio n° 12

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

x² (x + 3) + ax (1 – 5x) + 8a² = (x – 5a)(x² + a) + x (3x – 1)

Svolgimento

Esercizio n° 1

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

6 – 8x = 3 – 9x                         aggiungi 9x ;             sottrai 6;

aggiungi 9x

6 – 8x + 9x = 3 – 9x + 9x ⇒    6 + x = 3

sottrai 6

6 – 6 + x = 3 – 6   ⇒  x = – 3

Esercizio n° 2

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

2x – 3x + 1 + 8x = 2x + 5 + 4x – 3                  sottrai 6x ;                sottrai 1;

sottrai 6x

2x – 3x + 1 + 8x – 6x = 2x + 5 + 4x – 3 – 6x  ⇒  x + 1 = +2

sottrai 1

x + 1 – 1 = 2 – 1 ⇒      x = 1

Esercizio n° 3

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

-8x + 6 + 5x – 1 = 3 -14x – 7 + 10x                aggiungi 4x;             sottrai 5;

aggiungi 4x

-8x + 6 + 5x – 1 + 4x = 3 – 14x – 7 + 10x + 4x    ⇒  x + 5 =  -4

sottrai 5

x + 5 – 5 = -4 + 5    ⇒  x = 1

Esercizio n° 4

Per risolvere ogni equazione applica due volte il primo principio di equivalenza, seguendo le indicazioni scritte a fianco.

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 = \frac{3}{2} -\frac{1}{3}x                aggiungi \frac{1}{3}x;                   aggiungi  \frac{1}{2}

aggiungi \frac{1}{3}x

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 +   \frac{1}{3}x  = \frac{3}{2} -\frac{1}{3}x +  \frac{1}{3}x     ⇒   \frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 +   \frac{1}{3}x  = \frac{3}{2}

aggiungi  \frac{1}{2}

\frac{1}{2}+ \frac{2}{3}x - 1 +   \frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} +\frac{1}{2}     ⇒  \frac{3 + 4x - 6 + 2x + 3}{6} =\frac{9 + 3}{6}  il denominatore può andar via quindi otteniamo:

3 + 4x – 6 + 2x + 3 = 9 + 3 ⇒      6x = 12   ⇒   x = \frac{12}{6} = 2

Esercizio n° 5

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(4x – 1)² – x(1 – 2x) = 2x [5x – (5 – 4x)]

16x² – 8x + 1 – x + 2x² = 2x (5x – 5 + 4x)

16x² – 8x + 1 – x + 2x² =10x² – 10x + 8x²    sommiamo i termini simili

18x² -9x + 1 = 18x² – 10x     applichiamo la regola della cancellazione

-9x + 1 = – 10x     applichiamo la regola del trasporto

-9x + 10 = – 1

x = – 1

Esercizio n° 6

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

3(2x + 3) = 2(4 + 3x) – (x – 1)

6x + 9 = 8 + 6x – x + 1   sommiamo i termini simili

6x + 9 = 5x + 9     applichiamo la regola della cancellazione

6x = 5x   applichiamo la regola del trasporto

6x – 5x = 0  ⇒   x = 0

Esercizio n° 7

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

(x-2)(x – 3) – 3(x + 2) = x (x-3) – 6(x – 2)

x² – 3x – 2x + 6 – 3x – 6 = x² – 3x – 6x + 12   sommiamo i termini simili

x²  -8x =x²  – 9x + 12   applichiamo la regola della cancellazione

-8x = -9x + 12    applichiamo la regola del trasporto

-8x + 9x = 12   ⇒ x = 12

Esercizio n° 8

Risolvere la seguente equazione specificando quando si usa la regola della cancellazione e del trasporto.

5 – x [ 4 – (1 – x) 5] = 5(1 – x)(x + 1)                            (1 – x)(x + 1) → differenza di quadrati 1 – x²

5 – x [ 4 – (5 – 5x) ]= 5(1 – x²)

5 – x(4 – 5 + 5x) = 5 – 5x²

5 -4x +5x -5x² = 5 – 5x²   sommiamo i termini simili

5 + x – 5x² = 5 – 5x²     applichiamo la regola della cancellazione

5 + x = 5            applichiamo la regola della cancellazione

x = 0

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

a(x + 1) – (3 – x) – ab² = b + (4ax – 1) + a(1 – b)(1 + b) – 3(ax + 1)

ax + a -3 + x – ab² = b + 4ax – 1 + a(1 – b²) – 3ax – 3

ax + a -3 + x – ab² = b + 4ax – 1 + a – ab² – 3ax – 3   sommiamo i termini simili

ax + a -3 + x – ab² = b +ax + a – ab² – 4      applichiamo la regola della cancellazione

-3 + x =b -4   applichiamo la regola del trasporto

x = b – 4 + 3 ⇒  x = b – 1

Esercizio n° 10

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

2(2x – a) – (a – 3x) = 6(x – a) – a

4x – 2a – a + 3x = 6x – 6a – a  sommiamo i termini simili

7x – 3a = 6x – 7a   applichiamo la regola del trasporto

7x – 6x = -7a + 3a

x = -4a

Esercizio n° 11

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

5a (x + 2) + 3(x + a) = 4(x + 3a) – 5(1 – ax)

5ax + 10a + 3x + 3a = 4x + 12a – 5 + 5ax  sommiamo i termini simili

5ax + 13a + 3x = 4x + 12a – 5 + 5ax  applichiamo la regola della cancellazione

13a + 3x = 4x + 12a – 5    applichiamo la regola del trasporto

3x – 4x = 12a – 5 – 13a

-x = -a – 5   ⇒  x = a + 5

Esercizio n° 12

Risolvi la seguente equazione letterale nell’incognita x e scrivi quando utilizzi la regola del trasporto o quella della cancellazione.

x² (x + 3) + ax (1 – 5x) + 8a² = (x – 5a)(x² + a) + x (3x – 1)

+ 3x² + ax – 5ax² + 8a² = x³+ ax – 5ax² – 5a² + 3x² – x   applichiamo la regola della cancellazione

8a²  = -5a² – x    applichiamo la regola del trasporto

x = -5a² -8a²   ⇒  x = – 13 a²