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Tag Archives: esercizi matematica superiori

Espressioni a due piani

Esercizio n° 1

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{xy + y ^{2}}}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}
=

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni.

{\frac{(4x ^{2}-2x)}{\frac{4x ^{2}+1-4x}{x}}

Esercizio n° 3

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}}{\frac{2x ^{2}+6x}{x ^{2}-4}}
=

Esercizio n° 4

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+1}
=

Esercizio n° 5

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}}{\frac{x ^{2}-5x+6}{x-x ^{2}-3+3x}}
=

 

 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{xy + y ^{2}}}{\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}}
=

Poichè la linea di frazione rappresenta una divisione, sostituiamo alla linea di frazione principale il simbolo della divisione e mettiamo le parentesi al denominatore, perchè è espresso da una somma.

\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{xy + y ^{2}}}: ({\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}})
=

Svolgiamo i calcoli all’interno della parentesi e scomponiamo:

\frac{4x ^{2}+8xy +4y ^{2}}{x (y+ x )}} : (\frac{y+x}{xy}) =

\frac{4(x+y) ^{2}}{x (x+ y )}} : (\frac{y+x}{xy}) =      C.E. x≠o;   y≠0;  x≠-y

Moltiplichiamo la prima frazione per il reciproco della seconda frazione.

= \frac{4(x+y) ^{2}}{x (x+ y )}} : (\frac{xy}{y+x}) =  semplifichiamo tutto ciò che è possibile e otteniamo:

= 4y

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni.

{\frac{(4x ^{2}-2x)}{\frac{4x ^{2}+1-4x}{x}}
=

= (4x²-2x): {\frac{4x ^{2}+1-4x}{x}}
=

= x(4x-2) · {\frac{x}{4x ^{2}+1-4x}}
 =   2x(2x-1) · {\frac{x}{(2x - 1) ^{2}}}
=

{\frac{2x^{2}}{(2x - 1)}}

Esercizio n° 3

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}}{\frac{2x ^{2}+6x}{x ^{2}-4}}
=

\frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}:{\frac{2x ^{2}+6x}{x ^{2}-4}}
= \frac{x ^{2}-x}{x ^{2}+4x + 4}
 · {\frac{x ^{2}-4}{2x ^{2}+6x}=

\frac{x (x-1)}{(x+2) ^{2}}
   · {\frac{(x -2)(x+2)}{2x(x+3) } =

Semplifico tutto e ottengo:

=\frac{ (x-1)(x -2)}{2(x+2)(x+3)}

Esercizio n° 4

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}{\frac{2}{x}+ \frac{1}{x^{2}}+1}
=

{\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}}:({\frac{2}{x}+ \frac{1}{x^{2}}+1})
=

{\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}} :  \frac{2x + 1+x^{2} }{x^{2}}}
=

{\frac{x ^{3}+1+3x ^{2}+3x}{x^{2}+5x}} ·  \frac{x^{2}}{ 2x + 1+x^{2}}} 
 =

x³ + 3x² + 3x + 1 lo scomponiamo con Ruffini  (x+1)(x²+2x + 1) quindi:

= {\frac{(x ^{2}+2x+1)(x+1) }{x(x+5)}} ·  \frac{x^{2}}{ 2x + 1+x^{2}}} 
 =semplificando si ottiene:

 {\frac{x(x+1) }{(x+5)}}

Esercizio n° 5

Semplifica le seguenti espressioni.

\frac{\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}}{\frac{x ^{2}-5x+6}{x-x ^{2}-3+3x}}
=

{\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}}:{\frac{x ^{2}-5x+6}{x-x ^{2}-3+3x}}
=

{\frac{x ^{3}-6x^{2}+11x-6}{9-x ^{2}-9x + x ^{3}}} · {\frac{x-x ^{2}-3+3x}{x ^{2}-5x+6}}
=
={\frac{(x ^{2}-5x+6)(x-1)}{(x ^{2}-9)(x-1)}} 
· {\frac{(-x +3)(x-1)}{x ^{2}-5x+6}}
=

={\frac{(x ^{2}-5x+6)(x-1)}{(x -3)(x+3)(x-1)}} 
 ·{\frac{-(x -3)(x-1)}{x ^{2}-5x+6}}
= C.E.   x≠±3;      x≠1

Semplificando si ottiene:

={\frac{-(x +1)}{(x+3)}}

Esercizi sulla divisione tra frazioni algebriche

Esercizi sulla divisione tra frazioni algebriche

Esercizio n° 1

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{ a^{2}+3a}{a-3} : \frac{a }{a ^{2}-9} =

Esercizio n° 2

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{15x ^{3}y ^{2}}{7z ^{4}} : \frac{5x ^{2}y ^{2}}{21z ^{3}}=

Esercizio n° 3

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{x-2y}{x+2y} : \frac{x-2y}{x+2y} =

Esercizio n° 4

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{ a^{2}-b ^{2}}{6ab} : \frac{ a+b }{12a} : \frac{ 4a^{2}-8ab +4b ^{2}}{3b ^{2}}=

Esercizio n° 5

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{54(b-3) ^{2}}{7(b+3)} : 36(b-3) =

Esercizio n° 6

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{4x ^{3}y ^{2}}{15ab} : (\frac{16x ^{4}y ^{4}}{35a ^{3}y ^{2}} : \frac{8x ^{2}y ^{2}}{49ab})=

Esercizio n° 7

Esegui le seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{ x^{2}-1}{15x} : \frac{ x-1}{6x^{3}} : \frac{x^{2}+x}{12}=

Esercizio n° 8

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{4x^{2}y^{3}}{5x-5} : (\frac{8x^{5}y^{3}}{10x - 10} : \frac{y}{x^{4}})=

Esercizio n° 9

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{3x}{x-5} : \frac{x-1}{2x - 10} :  \frac{6x }{x ^{2}-1}=

Esercizio n° 10

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

 \frac{3x }{x-5} : (  \frac{x-1 }{2x-10} :   \frac{6x }{x ^{2}-1})=

 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{ a^{2}+3a}{a-3} : \frac{a }{a ^{2}-9} = scomponiamo il primo numeratore e il secondo denominatore.

a² + 3a = a(a + 3)                       a² – 9 = (a-3)(a+3)  Quindi avremo:

\frac{ a(a + 3)}{a-3}  :  \frac{a }{(a -3)(a+3)} =             C.E. a≠ ±3    dobbiamo però aggiungere anche il fatto che il divisore non può essere zero. Quindi anche il numeratore della seconda frazione deve essere diverso da zero: a≠0

Invertiamo la seconda frazione in modo da rendere la divisione un prodotto.

=  \frac{ a(a + 3)}{a-3}  ·  \frac{(a -3)(a+3) }{a} =   semplifichiamo in diagonale la a e poi a-3.

=(a+3)²

Esercizio n° 2

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{15x ^{3}y ^{2}}{7z ^{4}} : \frac{5x ^{2}y ^{2}}{21z ^{3}}         C.E. z≠0;   x≠0;   y≠0

Invertiamo la seconda frazione rendendo la divisione un prodotto.

\frac{15x ^{3}y ^{2}}{7z ^{4}}  · \frac{21z ^{3}}{ 5x ^{2}y ^{2}}   semplifico in diagonale e ottengo:

\frac{3x}{z}  · 3 = \frac{9x}{z}

Esercizio n° 3

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{x-2y}{x+2y} : \frac{x-2y}{x+2y} =    C.E.       x+2y≠0;         x-2y≠0

Invertiamo la seconda frazione rendendo la divisione un prodotto.

\frac{x-2y}{x+2y} · \frac{x+2y}{x-2y}= 1

Esercizio n° 4

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{ a^{2}-b ^{2}}{6ab} : \frac{ a+b }{12a} : \frac{ 4a^{2}-8ab +4b ^{2}}{3b ^{2}}=  Eseguiamo una divisione alla volta da sinistra verso destra. Scomponiamo ciò che è possibile:

\frac{( a-b )(a+b)^}{6ab} · \frac{ 12a }{a+b} : \frac{ 4(a-b)^{2}}{3b ^{2}} =  C.E.   a≠0; b≠;  a≠-b   ; a≠b

Tra la prima e la seconda frazione semplifico (a+b) e 6a:

\frac{a-b}{b}  · 2 · \frac{ 3b^{2}} {4(a-b)^{2}}   =  semplifico (a-b) la b e il 2 e ottengo:

=  \frac{ 3b} {2(a-b)}

Esercizio n° 5

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{54(b-3) ^{2}}{7(b+3)} : 36(b-3) =  invertiamo la seconda frazione.

\frac{54(b-3) ^{2}}{7(b+3)} · \frac{1}{36(b-3)}=  C.E.      b≠ ± 3

Semplifico (b-3)  e 54 e 36 e ottengo:

\frac{3(b-3)}{7(b+3)} · \frac{1}{2} =  \frac{3(b-3)}{14(b+3)}

Esercizio n° 6

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{4x ^{3}y ^{2}}{15ab} : (\frac{16x ^{4}y ^{4}}{35a ^{3}y ^{2}} : \frac{8x ^{2}y ^{2}}{49ab})=   si fa prima la divisione tra parentesi quindi inverto la seconda frazione tra parentesi.

\frac{4x ^{3}y ^{2}}{15ab} : (\frac{16x ^{4}y ^{4}}{35a ^{3}y ^{2}} · \frac{49ab}{8x ^{2}y ^{2}}) =           C.E. a≠0; b≠0;  y≠0; x≠0

Semplifico nella parentesi sia i coefficienti che le parti letterali:

\frac{4x ^{3}y ^{2}}{15ab} : (\frac{2x ^{2}}{5a ^{2}} · 7b)=

\frac{4x ^{3}y ^{2}}{15ab} : \frac{14x ^{2}b}{5a ^{2}}  = inverto la seconda frazione rendendo la divisione un prodotto.

\frac{4x ^{3}y ^{2}}{15ab} · \frac{5a ^{2}}{14x ^{2}b}  = \frac{2x y ^{2}}{3b} · \frac{a}{7b} =  \frac{2ax y ^{2}}{21b ^{2}}

Esercizio n° 7

Esegui le seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{ x^{2}-1}{15x} : \frac{ x-1}{6x^{3}} : \frac{x^{2}+x}{12}= scomponiamo il primo e il terzo numeratore.

x² – 1 = (x-1)(x+1) ;                       x² + x = x(x + 1)

Svolgiamo la prima divisione  quindi invertiamo la seconda frazione.

= \frac{ (x-1)(x+1)}{15x} ·  \frac{6x^{3}}{x - 1} :  \frac{x(x+1)}{12}=         C.E. x≠0;    x≠1  ;    x≠-1

Semplifico tra le prime due frazioni (x-1) , la x e il 15 e il 6. Quindi otteniamo:

 \frac{(x+1)}{5} · 2x² :  \frac{x(x+1)}{12}= effettuiamo poi l’altra divisione quindi invertiamo l’ultima frazione.

 \frac{2x ^{2}(x+1)}{5} ·  \frac{12}{x(x+1)} = semplifichiamo (x+1) 2 la x.

 \frac{24x }{5}

Esercizio n° 8

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{4x^{2}y^{3}}{5x-5} : (\frac{8x^{5}y^{3}}{10x - 10} : \frac{y}{x^{4}})= si svolge prima la divisione tra parentesi.

Scomponiamo ciò che è possibile.

=\frac{4x^{2}y^{3}}{5(x-1)} : (\frac{8x^{5}y^{3}}{10(x - 1)} : \frac{y}{x^{4}})=  C.E.   x≠1;       x≠0;   y≠0

= \frac{4x^{2}y^{3}}{5(x-1)} :  (\frac{8x^{5}y^{3}}{10(x - 1)}  ·  \frac{x^{4}}{y}) = semplifico nella parentesi ciò che è possibile.

= \frac{4x^{2}y^{3}}{5(x-1)} :  (\frac{8x^{5}y^{2}}{10(x - 1)}   ·{x^{4} =

= \frac{4x^{2}y^{3}}{5(x-1)} :  \frac{4x^{9}y^{2}}{5(x - 1)}  = invertiamo la seconda frazione rendendo la divisione una moltiplicazione.

Semplifichiamo tutto ciò che è possibile:

= \frac{4x^{2}y^{3}}{5(x-1)} ·   \frac{5(x-1)}{4x^{9}y^{2}}   = y ·   \frac{1}{x^{7}}   =   \frac{y}{x^{7}}

 

Esercizio n° 9

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

\frac{3x}{x-5} : \frac{x-1}{2x - 10} :  \frac{6x }{x ^{2}-1}= scomponiamo il denominatore della seconda e della terza frazione

=\frac{3x}{x-5} : \frac{x-1}{2(x - 5)}  :   \frac{6x }{(x -1)(x+1)}=

=\frac{3x}{x-5} ·  \frac{2(x - 5)}{x-1}   :   \frac{6x }{(x -1)(x+1)}=  C.E.   x≠5;   x≠1;  x≠0

\frac{6x}{x-1}  :   \frac{6x }{(x -1)(x+1)} inverto la seconda frazione facendo diventare la divisione un prodotto.

\frac{6x}{x-1} ·   \frac{(x -1)(x+1) }{6x} = x+1

Esercizio n° 10

Eseguile seguenti divisioni di frazioni algebriche.

 \frac{3x }{x-5} : (  \frac{x-1 }{2x-10} :   \frac{6x }{x ^{2}-1})=

 \frac{3x }{x-5}  :  (  \frac{x-1 }{2(x-5)}  :   \frac{6x }{(x -1)(x+1)}) = C.E.   x≠5;  x≠1;  x≠-1;  x≠0

=   \frac{3x }{x-5}  :  (  \frac{x-1 }{2(x-5)}  ·    \frac{(x -1)(x+1) }{6x})=  semplifico ciò che è possibile.

=   \frac{3x }{x-5}  : \frac{(x-1) ^{2}(x+1)}{12x(x-5)} = invertiamo la seconda frazione

=   \frac{3x }{x-5} · \frac{12x(x-5)}{(x-1) ^{2}(x+1)} = \frac{36x^{2}}{(x-1) ^{2}(x+1)}

Esercizi sul prodotto di due frazioni algebriche

Esercizi sul prodotto di due frazioni algebriche

Esercizio n° 1

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{
25x ^{3}y}{81y ^{2}}
 · (-\frac{
54y ^{2}}{75x ^{4}})
=

Esercizio n° 2

Esegui la seguente moltiplicazione.

 (\frac{
12a ^{2}b ^{4}}{-5x ^{3}y ^{3}})
   (-\frac{
1}{2a})
  (\frac{
10x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}})

Esercizio n° 3

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ x^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+ y ^{2}}
 · \frac{ x^{4}-y ^{4}}{x + y }
=

Esercizio n° 4

Esegui la seguente moltiplicazione.

3x · \frac{x+y}{x - y} · \frac{2xy - x ^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy}=

Esercizio n° 5

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ b ^{3}-8}{8+b^{3}} · \frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}

Esercizio n° 6

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(3a + \frac{3a - 1}{2})( 3a – \frac{3a }{1 - 3a}) · \frac{6a - 2 }{9a - 1}

Esercizio n° 7

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(b- \frac{1}{b})(1 + \frac{2}{b}) \frac{b ^{2}}{b ^{2} + 2 + 3b}

Esercizio n° 8

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{a ^{2} -8a + 15})
 · \frac{a-5}{a-6}

Esercizio n° 9

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{1}{x - x ^{2}}+\frac{2x}{1 - x ^{2}} -\frac{1}{1 - x })
 · \frac{x ^{2}+1 + 2x}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}

Esercizio n° 1o

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

x² + 2x + 1 -\frac{1 }{x ^{2}-2x+1}+ \frac{2x ^{2}(x - 1) }{x ^{3}-3x ^{2}+3x-1}

Svolgimento

Esercizio n° 1

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{
25x ^{3}y}{81y ^{2}}
 · (-\frac{
54y ^{2}}{75x ^{4}})
=           C.E.        y≠0   ; x≠

Semplifichiamo o in verticale o in diagonale. Consideriamo prima i coefficienti.


\frac{
x ^{3}y}{3y ^{2}}

  · (-\frac{
2y ^{2}}{3x ^{4}})
=   poi semplifichiamo le due y² in diagonale e otteniamo :

= 
\frac{
x ^{3}y}{3}

 · (-\frac{
2}{3x ^{4}})= poi semplifico le x sempre in diagonale:

 = 
\frac{
y}{3}

 · (-\frac{
2}{3x }) = -\frac{
2y}{9x }

Esercizio n° 2

Esegui la seguente moltiplicazione.

 (\frac{
12a ^{2}b ^{4}}{-5x ^{3}y ^{3}})
   (-\frac{
1}{2a})
  (\frac{
10x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}})
=        C.E.        y≠0   ; x≠0    ;    a≠0   ; b≠0

semplifichiamo prima i numeri; il 12 con il 2 e il 10 con il 5 e otteniamo:

= (\frac{
6a ^{2}b ^{4}}{-x ^{3}y ^{3}})
   (-\frac{
1}{a})
  (\frac{
2x ^{2}y ^{3}}{ab ^{3}})
= semplifichiamo le a otteniamo:

=  (\frac{
6 b ^{4}}{-x ^{3}y ^{3}})
   (-1)
  (\frac{
2x ^{2}y ^{3}}{b ^{3}})
 =semplifichiamo  le b e la y³ e otteniamo:

=  (\frac{
6 b }{-x ^{3}})
   (-1)
  ({
2x ^{2})
 =  (-\frac{
6 b }{x })
   (-1)
  ({
2)
 +\frac{12b}{x}

Esercizio n° 3

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ x^{2}-y ^{2}}{x ^{2}+ y ^{2}}
 · \frac{ x^{4}-y ^{4}}{x + y }
=          C.E.        x≠±\sqrt{y ^{2}}   ;  x≠-y

Scomponiamo prima i numeratori che sono entrambe differenze di quadrati.

\frac{(x-y)(x+y) }{x ^{2}+ y ^{2}}
 · \frac{ (x^{2}-y ^{2})(x^{2}+y ^{2})}{x + y }
=semplifichiamo in obliquo ( x+y) e (x²+y²)

= (x-y)(x² – y²)= (x-y)(x+y)(x-y) = (x+y)(x-y)²

Esercizio n° 4

Esegui la seguente moltiplicazione.

3x · \frac{x+y}{x - y} · -\frac{-2xy + x ^{2}+y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy}= scomponiamo il numeratore e denominatore della terza frazione sono entrambe dei quadrati di binomi. Bisogna prima cambiare di segno al numeratore

= 3x · \frac{x+y}{x - y} ·  -(\frac{-2xy + x ^{2}+y ^{2}}{x ^{2}+y ^{2}+2xy})= 3x · \frac{x+y}{x - y} ·  -\frac{( x -y )^{2}}{( x +y )^{2}=         C.E.      x≠y

Semplifico in diagonale

=  3x ·  -\frac{( x -y )}{( x +y )} =  \frac{3x(- x +y )}{( x +y )}

Esercizio n° 5

Esegui la seguente moltiplicazione.

\frac{ b ^{3}-8}{8+b^{3}} · \frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}=

scomponiamo b³ -8 che è una differenza di cubi = (b – 2)(b² + 2b + 4)

scomponiamo  b³+8 =(b + 2)(b² – 2b + 4)

Quindi:

\frac{ (b-2)(b ^{2}+2b+4)}{(b+2)(b ^{2}-2b+4)}   · \frac{ b +2}{4 + 2b +b^{2}}=         C.E.     b≠-2   ;        b²-2b+4≠0

semplifichiamo (b² + 2b + 4) in obliquo e ( b+2) in obliquo

\frac{ (b-2)}{(b ^{2}-2b+4)}

Esercizio n° 6

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(3a + \frac{3a - 1}{2})( 3a – \frac{3a }{1 - 3a}) · \frac{6a - 2 }{9a - 1}=

facciamo prima di tutto il m.c.m. tra le parentesi.

(\frac{6a + 3a - 1}{2}) [ \frac{3a(1-3a)-3a}{1 - 3a}] ·\frac{6a - 2}{9a - 1}=           C.E.        a≠\frac{1}{3}   ; a≠\frac{1}{9}

=  (\frac{6a + 3a - 1}{2})(\frac{3a - 9a ^{2} - 3a}{1-3a})
 · \frac{6a - 2}{9a - 1}=

  (\frac{9a - 1}{2}) (-\frac{  9a ^{2} }{1-3a})
 ·  \frac{6a - 2}{9a - 1}=

  (\frac{9a - 1}{2}) (-\frac{  9a ^{2} }{1-3a})
 ·   \frac{2(3a - 1)}{9a - 1}= semplifico 9a – 1 e il 2

=  (-\frac{  9a ^{2} }{1-3a})
 · (3a – 1) = il meno servirà per cambiare il segno al denominatore.

 (\frac{  9a ^{2} }{-1+3a})
 ·(3a – 1)  = semplifico 3a -1 =  9a²

Esercizio n° 7

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(b- \frac{1}{b})(1 + \frac{2}{b}) \frac{b ^{2}}{b ^{2} + 2 + 3b}=

Facciamo prima il m.c.m. tra le parentesi:

=(\frac{ b^{2} - 1}{b})(\frac{b + 2}{b}) \frac{b ^{2}}{b ^{2}+2 + 3b}= il terzo denominatore si può scomporre come (b+1)(b+2)

(\frac{( b - 1)(b+1)}{b})(\frac{b + 2}{b}) \frac{b ^{2}}{(b +1)(b+2)}=     C.E.        b≠0   ; b≠-1  ; b≠-2

Semplifichiamo b+1 e b+2

= semplifico (b+1) e (b+2) con l’ultima frazione quindi ottengo:

=  (\frac{( b - 1)}{b})(\frac{1}{b}) (b ^{2})= semplifico le b e ottengo:

= (b – 1)

Esercizio n° 8

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{a ^{2} -8a + 15})
 · \frac{a-5}{a-6}=

= scompongo il secondo denominatore che è (x-3)(x -5) quindi:

(\frac{2a}{a-3}-\frac{12}{(a-5)(a-3)})
· \frac{a-5}{a-6}=facciamo il m.c.m delle frazioni tra parentesi:

\frac{2a(a-5)-12}{(a-5)(a-3)}
 · \frac{a-5}{a-6}=   \frac{2a ^{2}-10a-12}{(a-5)(a-3)}
 · \frac{a-5}{a-6}\frac{2(a ^{2}-5a-6)}{(a-5)(a-3)}
 · \frac{a-5}{a-6}    C.E.  a≠5;    a≠3 ;   a≠6

il primo numeratore si può scomporre come (x-6)(x+1)

= \frac{2(a -6)(a+1)}{(a-5)(a-3)}
· \frac{a-5}{a-6}=  semplificando otteniamo :

 \frac{2(a+1)}{(a-3)}

Esercizio n° 9

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

(\frac{1}{x - x ^{2}}+\frac{2x}{1 - x ^{2}} -\frac{1}{1 - x })
 · \frac{x ^{2}+1 + 2x}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}

=(\frac{1}{x(1-x )}+\frac{2x}{(1 - x )(1+x)} -\frac{1}{1 - x })
·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}=

il m.c.m. di quello tra parentesi è x(1-x)(1+x) quindi:

=(\frac{1+x+2x ^{2}-x(1+x)}{x(1-x )(1+x)}
) ·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}=            C.E.  x≠0 ;  x≠1;    x≠-1

= \frac{1+x+2x ^{2}-x-x ^{2}}{x(1-x )(1+x)}
·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}=

\frac{1+x ^{2}}{x(1-x )(1+x)}
·\frac{(x +1)^{2}}{x ^{2+1} · \frac{x }{x +1}= semplificando (x² + 1) , x e x+1 si ottiene:

\frac{1}{(1-x )}

Esercizio n° 1o

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni e moltiplicazioni.

x² + 2x + 1 -\frac{1 }{x ^{2}-2x+1}+ \frac{2x ^{2}(x - 1) }{x ^{3}-3x ^{2}+3x-1}
=  il terzo denominatore è il cubo di (x-1)³

(x+1)² -\frac{1 }{(x-1 )^{2}} + \frac{2x ^{2}(x - 1) }{(x-1) ^{3}}
= (x+1)² -\frac{1 }{(x-1 )^{2}}+ \frac{2x ^{2} }{(x-1) ^{2}}
= il m.c.m. è (x-1)²

\frac{(x-1 )^{2}(x+1 )^{2}-1 +2x^{2} }{(x-1 )^{2}} = \frac{x^{2}+1 -2x +x^{2}+1+2x -1 +2x^{2} }{(x-1 )^{2}}=   C.E,     x≠1

= \frac{(x^{2}+1-2x) ( +x^{2}+1+2x) -1 +2x^{2} }{(x-1 )^{2}} =

=\frac{x^{4}+x^{2}+2x^{3}+x^{2}+1+2x-2x^{3}-2x-4x^{2}-1 +2x^{2}  }{(x-1 )^{2}}=  x^{4}

 

Esercizi sulle addizioni e sottrazioni frazioni algebriche

Esercizi sulle addizioni e sottrazioni frazioni algebriche

Esercizio n° 1

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2}{a^{2}b}+\frac{3}{ab^{2}}-1=

Esercizio n° 2

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{a}{a+1}+  \frac{a ^{2}-ab +2a}{ab - a + b - 1} – \frac{b}{1-b}

Esercizio n° 3

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{ a^{2}-b ^{2}}{ab}+ \frac{2b}{a}+2 -\frac{ (a+b )^{2}}{ab} =

Esercizio n° 4

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2}{3x + 3}- \frac{x - 1}{9 - 9x ^{2}}- 3=

Esercizio n° 5

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{ a^{2}}{ab - b ^{2}}-\frac{ a^{2}+ b ^{2}   }{ a^{2} - b ^{2}}-\frac{ b ^{2}   }{ab + b ^{2}}

Esercizio n° 6

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2+x}{x+3} -\frac{3x - 1}{x ^{2}+x-6}
 -\frac{x}{x+3}=

Esercizio n° 7

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2x -5}{x + 7} + \frac{2x +4}{x -9} - \frac{3x ^{2}+13x - 8}{x ^{2}- 2x - 63}
=

Esercizio n° 8

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

 \frac{4x ^{2}y +y ^{3} }{4x ^{2}+y ^{2}-4xy }
 + 2x – y +  \frac{3y ^{2}y +4x ^{2} }{y - 2x}

Esercizio n° 9

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

\frac{ a^{2n}}{a ^{2n}+ b ^{2n}}
 + \frac{ b^{2n}}{b ^{2n}+ a ^{2n}}
 + \frac{1}{2}=

 

Esercizio n° 10

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

-\frac{ 2a^{n}}{1- a ^{2n}}
 +\frac{1}{1+ a ^{n}}
+\frac{1}{1- a ^{n}}
=

 

Esercizio n° 11

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

\frac{ x^{n}+2}{x ^{2n}+ x ^{n}}
 -\frac{ 1}{x ^{n}}
 + \frac{ x^{n}+1}{-x ^{2n} -2x ^{n}-1}
=

 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2}{a^{2}b}+\frac{3}{ab^{2}}-1=

Riduciamo la frazione allo stesso denominatore quindi facciamo il minimo comune multiplo che è a²b².

C.E.= a≠0; b≠0

Quindi al numeratore avremo (a²b²):( a²b)(2) + (a²b²):( ab²)(3) – (a²b²):(1)(1)=

=2b + 3a- a²b²= \frac{2b + 3a+a ^{2}b ^{2} }{a ^{2}b ^{2}}

Esercizio n° 2

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{a}{a+1}+  \frac{a ^{2}-ab +2a}{ab - a + b - 1} – \frac{b}{1-b}

Nella seconda frazione scomponiamo il denominatore con il raccoglimento parziale:

ab – a + b – 1 = a(b – 1)+(b-1) = (a+1)(b-1) quindi l’espressione sarà:

\frac{a}{a+1} + \frac{a ^{2}-ab +2a}{(b-1)(a+1)} – \frac{b}{1-b}                   – \frac{b}{1-b}= +\frac{b}{b-1}

\frac{a}{a+1} + \frac{a ^{2}-ab +2a}{(b-1)(a+1)} +\frac{b}{b-1}       il m.c.m.= (a+1)(b-1)

Il numeratore sarà  (a+1)(b-1): (a+1)(a) + (a+1)(b-1): (a+1)(b-1)( a² – ab + 2a) + (a+1)(b-1): (b-1)(b)=

a(b-1) + a² – ab + 2a + b(a+1) = ab -a + a² -ab + 2a +ab + b= a² + a + ab +b= a(a+1)+b(a+1)=(a+1)(a+b)

\frac{a}{a+1} + \frac{a ^{2}-ab +2a}{(b-1)(a+1)} +\frac{b}{b-1} = \frac{(a+b)(a+1)}{(b-1)(a+1)} = \frac{(a+b)}{(b-1)}

Esercizio n° 3

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{ a^{2}-b ^{2}}{ab}+ \frac{2b}{a}+2 -\frac{ (a+b )^{2}}{ab} =

Il m.c.m(ab, a, ab)= ab

= 

\frac{a^{2}-b ^{2} +2b ^{2}+2 ab -a^{2}-b ^{2} -2 ab   }{ab}
=

\frac{0}{ab}=0

Esercizio n° 4

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2}{3x + 3}- \frac{x - 1}{9 - 9x ^{2}}- 3=

Al primo denominatore mettiamo in evidenza il 3(x + 1) al secondo mettiamo in evidenza il 9(1 – x²) che a sua volta scomponiamo perchè è una differenza di quadrati quindi 9(1 – x)(1 + x).

Riscriviamo la frazione:

\frac{2}{3(x + 1)}- \frac{x - 1}{9(1 - x)(1 + x)}- 3=

Il m.c.m.= 9(1-x)(1+x) quindi:

 \frac{6(1-x)- (x - 1) -3 (9)(1-x)(1+x)}{9(1 - x)(1 + x)}=

Cambio il segno degli elementi della seconda parentesi quindi -(x-1)=( – x + 1)

 \frac{6(1-x)+ (1-x) -3 (9)(1-x)(1+x)}{9(1 - x)(1 + x)}=

Metto in evidenza (1-x) quindi:

 \frac{(1-x)[(6 + 1 - 27 (1+x)] }{9(1 - x)(1 + x)}=

Semplifico 1-x al numeratore e denominatore:

 \frac{7 - 27 -27x }{9(1 + x)}=
  \frac{-20 -27x }{9(1 + x)}=
 - \frac{27x+20 }{9(1 + x)}=

Esercizio n° 5

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{ a^{2}}{ab - b ^{2}}-\frac{ a^{2}+ b ^{2}   }{ a^{2} - b ^{2}}-\frac{ b ^{2}   }{ab + b ^{2}}=

Scompongo i denominatori :

ab – b²= b(a – b);                  a² – b²= (a-b)(a+b);                       ab + b²= b(a + b)

Il m.c.m. sarà b(a-b)(a+b).

=\frac{ a^{2}(a+b)-b(a^{2}+ b ^{2})-  b ^{2}(a-b)   }{b(a+b)(a-b)}=

= \frac{ a^{3}+a^{2}b-a^{2}b- b ^{3}-  ab ^{2}+b ^{3}   }{b(a+b)(a-b)}=

=\frac{ a^{3}-  ab ^{2}   }{b(a+b)(a-b)}=

=\frac{ a(a^{2}-  b ^{2})   }{b(a+b)(a-b)}\frac{ a(a+b)(a-b))   }{b(a+b)(a-b)}\frac{a}{b}

Esercizio n° 6

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2+x}{x+3} -\frac{3x - 1}{x ^{2}+x-6}
 -\frac{x}{x+3}=

Bisogna scomporre il secondo denominatore con la scomposizione per i trinomi particolari

x² + x – 6 = (x + 3)(x – 2)


=\frac{2+x}{x+3} -\frac{3x - 1}{(x + 3)(x - 2)}
 -\frac{x}{x+3}=

Il m.c.m. è (x+3)(x -2)

=
\frac{(x-2)(2+x)- 3x + 1 -x(x - 2)}{(x + 3)(x - 2)}=

= \frac{x ^{2}-4-3x + 1 - x ^{2}+2x}{(x + 3)(x - 2)}=

=\frac{-3 - x}{(x + 3)(x - 2)}= -\frac{3 + x}{(x + 3)(x - 2)} = -\frac{1}{(x - 2)}

Esercizio n° 7

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

\frac{2x -5}{x + 7} + \frac{2x +4}{x -9} - \frac{3x ^{2}+13x - 8}{x ^{2}- 2x - 63}
=

Il terzo denominatore si deve scomporre con Ruffini. Quindi x² – 2x – 63 = (x -9)(x +7)

=\frac{2x -5}{x + 7} + \frac{2x +4}{x -9} - \frac{3x ^{2}+13x - 8}{(x -9)(x+7)}
=

il m.c.m. = (x-9)(x+7)

=\frac{(2x -5)(x - 9)+( 2x+4)(x + 7)-3x ^{2}-13x + 8 }{(x -9)(x+7)} 
=

= \frac{2x ^{2}-18x - 5x + 45 + 2x ^{2}+ 14x + 4x + 28 - 3x ^{2}-13x+8}{(x-9)(x+7)}=

= \frac{ x^{2}-18x+81}{(x-9)(x+7)}= il numeratore x²-18x+81 si può semplificare con il trinomio particolare e viene  (x-9)(x-9)

quindi:

\frac{ (x-9)(x-9)}{(x-9)(x+7)}= semplificando otteniamo \frac{ (x-9)}{(x+7)}

Esercizio n° 8

Esegui la seguente addizione e sottrazione algebrica.

 \frac{4x ^{2}y +y ^{3} }{4x ^{2}+y ^{2}-4xy }
 + 2x – y +  \frac{3y ^{2} +4x ^{2} }{y - 2x}
=

Il primo denominatore 4x² + y² – 4xy è un quadrato di un binomio quindi = (2x – y)². Cambiamo il segno all’ultima frazione cambiando così i segni del suo denominatore.

 \frac{4x ^{2}y +y ^{3} }{(2x-y) ^{2}}
 + 2x - y -  \frac{3y ^{2} +4x ^{2} }{-y + 2x}
=

il m.c.m. è proprio (2x – y)²

 \frac{4x ^{2}y +y ^{3}+ (2x-y)(2x-y) ^{2} -(3y ^{2} +4x ^{2}
)(2x-y) }{(2x-y) ^{2}}

=

\frac{4x ^{2}y +y ^{3} +(2x-y)(4x ^{2}+y ^{2}-4xy)-(3y ^{2} +4x ^{2}
)(2x-y) }{(2x-y) ^{2}}{}=

\frac{4x ^{2}y +y ^{3} +8x ^{3}+2xy ^{2}-8x ^{2}y-4x ^{2}y -y ^{3}+4xy ^{2}-(6xy ^{2}-3y ^{3}+8x ^{3}-4x ^{2}y
) }{(2x-y) ^{2}}{}=

\frac{4x ^{2}y +y ^{3} +8x ^{3}+2xy ^{2}-8x ^{2}y-4x ^{2}y -y ^{3}+4xy ^{2}-6xy ^{2}+3y ^{3}-8x ^{3}+4x ^{2}y
 }{(2x-y) ^{2}}{}=

sommando i membri con la stessa parte letterale rimarrà:

\frac{-4x ^{2}y +3y ^{3} 
 }{(2x-y) ^{2}}{}

Esercizio n° 9

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

\frac{ a^{2n}}{a ^{2n}+ b ^{2n}}
 + \frac{ b^{2n}}{b ^{2n}+ a ^{2n}}
 + \frac{1}{2}=

il minimo comune multiplo è 
2(a ^{2n}+ b ^{2n}) quindi:

= \frac{ 2a^{2n}+2b^{2n}+a ^{2n}+ b ^{2n}}{2(a ^{2n}+ b ^{2n})}
=

= \frac{ 2a^{2n}+2b^{2n}+a ^{2n}+ b ^{2n}}{2(a ^{2n}+ b ^{2n})}
=

=\frac{ 3a^{2n}+3b^{2n}}{2(a ^{2n}+ b ^{2n})}
\frac{ 3(a^{2n}+b^{2n})}{2(a ^{2n}+ b ^{2n})}
= semplificando otteniamo \frac{3}{2}

Esercizio n° 10

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

-\frac{ 2a^{n}}{1- a ^{2n}}
 +\frac{1}{1+ a ^{n}}
+\frac{1}{1- a ^{n}}
=

il primo denominatore è una differenza di quadrati (1- a ^{n})(1+ a ^{n})
 ed è anche il m.c.m.

=\frac{ -2a^{n}+1- a ^{n}+1+ a ^{n}}{(1- a ^{n})(1+ a ^{n}) }
=

\frac{ -2a^{n}+2}{(1- a ^{n})(1+ a ^{n}) }
=
metto in evidenza il 2 al numeratore quindi:

\frac{ 2(-a^{n}+1)}{(1- a ^{n})(1+ a ^{n}) }
=
 si può semplificare numeratore e denominatore \frac{ 2}{(1+ a ^{n}) }

Esercizio n° 11

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni fi frazioni algebriche con esponente letterale e semplifica quando è possibile il risultato; n rappresenta un numero naturale.

\frac{ x^{n}+2}{x ^{2n}+ x ^{n}}
 -\frac{ 1}{x ^{n}}
 + \frac{ x^{n}+1}{-x ^{2n} -2x ^{n}-1}
=

al primo denominatore metto in evidenza  x^{n}(x ^{n}+1);

al terzo denominatore metto in evidenza 
-(x ^{2n} +2x ^{n}+1) ed è un quadrato di un binomio
-(x ^{n} +1) ^{2}.

Quindi riscriviamo le frazioni con i denominatori scomposti:

\frac{ x^{n}+2}{x ^{n}( x ^{n}+1)}
 -\frac{ 1}{x ^{n}}
 - \frac{ x^{n}+1}{(x ^{n}+1) ^{2}}
= il m.c.m. è 
x^{n}(x ^{n}+1) ^{2}



= \frac{ (x^{n}+2)(x^{n}+1)-(x ^{n}+1) ^{2}-x^{n}(x^{n}+1)}{x^{n}(x ^{n}+1) ^{2}}
=



= \frac{ x^{2n}+x^{n}+2x ^{n}+2-x ^{2n}-2x^{n}-1-x^{2n}-x^{n}}{x^{n}(x ^{n}+1) ^{2}}
= sommando le parti letterali del numeratore otteniamo:



= \frac{1- x^{2n}}{x^{n}(x ^{n}+1) ^{2}}


= \frac{(1- x^{n})(1+ x^{n})}{x^{n}(x ^{n}+1) ^{2}}
= semplificando numeratore e denominatore



= \frac{(1- x^{n})}{x^{n}(x ^{n}+1) }}

Esercizi semplificazione di frazioni algebriche

Esercizi semplificazione di frazioni algebriche

Esercizio n° 1

Semplifica la seguente frazione algebrica:

 

semplificazione-1

Esercizio n° 2

Semplifica la seguente frazione algebrica:

semplificazione-2

 

Esercizio n° 3

Semplifica la seguente frazione algebrica:

 \frac{-24abx}{8ax - 12bx}

Esercizio n° 4

Semplifica la seguente frazione algebrica:

semplificazione-4

 

Esercizio n° 5

Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche:

 \frac{a +1}{5ab};    \frac{6a -b}{ 4 b^{2}   }
;   ax

Esercizio n° 6

Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche:

\frac{2}{a ^{3} - ab ^{2}}
;     \frac{1}{(a +b) ^{2}}
;      \frac{1}{a }

 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Semplifica la seguente frazione algebrica:

semplificazione

 

Esercizio n° 2

Semplifica la seguente frazione algebrica:

semplificazione-2

C.E. x² +x -6≠ 0 Scomponiamo il trinomio con il metodo dei trinomi particolari (x-2)(x +3)  qiondi:

x-2≠ 0 e x+3≠0 i risultati sono rispettivamente x≠+2  e x≠-3.

Scomponiamo il numeratore x³ – 7x + 6 con Ruffini.

P(1)= 1 – 7 + 6 = 0

ruffini-32

x³ – 7x + 6= (x-1)(x² + x – 6)

Quindi :

semplificazione-3

 

Esercizio n° 3

Semplifica la seguente frazione algebrica:

 \frac{-24abx}{8ax - 12bx}

C.E. 8ax – 12bx ≠0 4x(2a -3b)≠0 quindi x ≠0 e 2a ≠3b quindi a≠\frac{3}{2}.

 \frac{-24abx}{4x(a -3b)} =semplificando 24: 4 = 6 e poi si semplifica la x quindi:  \frac{-6ab}{(a -3b)}

Esercizio n° 4

Semplifica la seguente frazione algebrica:

semplificazione-4

 

C.E.= y² – y – 2≠ 0 quindi scomponendolo con la regola dei trinomi particolari abbiamo (y-2)(y+1)≠ 0 in particolare y-2≠ 0 e y+1≠ 0; rispettivamente otteniamo   y≠ 2 e y≠ -1.

Esercizio n° 5

Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche:

 \frac{a +1}{5ab};    \frac{6a -b}{ 4 b^{2}   }
;   ax

Il denominatore comune sarà il m.c.m. fra i denominatori.

m.c.m.(5ab; 4b²)= 20ab²

Per ridurle a questo punto allo stesso denominatore dividerò tale m.c.m. per il denominatore di ognuna e lo moltiplicherò per il numeratore.Quindi

 \frac{a +1}{5ab}= (20ab²):(5ab)(a+1)=  \frac{4b(a+1)}{ 20a b^{2}   }

 \frac{6a -b}{ 4 b^{2}   }
= (20ab²):(4b²)(6a – b)=  \frac{5a(6a - b)}{ 20a b^{2}   }

ax =  (20ab²): 1 (ax)= \frac{20ab ^{2}}{   20ab ^{2}(ax)      }

Esercizio n° 6

Riduci allo stesso denominatore le seguenti frazioni algebriche:

\frac{2}{a ^{3} - ab ^{2}}
;     \frac{1}{(a +b) ^{2}}
;      \frac{1}{a }

Il denominatore comune sarà il m.c.m. fra i denominatori.

a³-ab²= a(a² -b²)= a(a-b)(a+b)

m.c.m.[a(a-b)(a+b);   (a+b)²;  a]= a(a-b)(a+b)²

\frac{2}{a ^{3} - ab ^{2}}
\frac{2}{a(a-b)(a+b)}=  a(a-b)(a+b)²a(a-b)(a+b)= \frac{a+b}{a(a-b)(a+b) ^{2}}

\frac{1}{(a +b) ^{2}}
= a(a-b)(a+b)²: (a+b)²(1)= \frac{a(a-b)}{a(a-b)(a+b) ^{2}}

\frac{1}{a }
= a(a-b)(a+b)²: (a)(1)= \frac{(a-b)(a+b) ^{2}}{a(a-b)(a+b) ^{2}}

Esercizi sul M.C.D. e m.c.m fra polinomi

Esercizi sul M.C.D. e m.c.m fra polinomi

Esercizio n° 1

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³ + 2a² – 3a;           5a³-5a;           a² – a³.

Esercizio n° 2

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

x² – xy;          xy – y²;               x²-y².

Esercizio n° 3

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8 – x³;           6x² – x³ – 12x + 8;            x² – 4x   +4.

Esercizio n° 4

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³b – 2a²b²;          a³-4a²b + 4ab²;            a²b² -4b^{4}.

Esercizio n° 5

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8x³ – 2x + 1 – 4x²;          4x² – 4x + 1;            1 – 4x².

Esercizio n° 6

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x² – 4)(x² + 9);             (x³ + 9x)(x²+4x + 4);          x³ – 4x

Esercizio n° 7 

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

6 – x – x²;          x³ – 7x + 6;           x² – 3x + 2.

Esercizio n° 8

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x – y)(x² – 4y²);             x² – 3xy + 2y²;            x² + xy -2y²

 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³ + 2a² – 3a;           5a³-5a;           a² – a³.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1) a³ + 2a² – 3a = a(a² + 2a – 3)  il polinomio di secondo grado lo si può ancora scomporre secondo la regola dei particolari trinomi di secondo grado.

Quindi a² + 2a – 3 considerando due numeri la cui somma sia uguale a – 3 e il cui prodotto uguale a +2. I numeri sono +3 e  – 1. Quindi:

a(a² + 2a – 3)= a(a + 3)(a – 1)

2) 5a³-5a= 5a(a² – 1) ma il polinomio di secondo grado è scomponibile secondo la regola di somma per differenza. Quindi:

5a³-5a= 5a(a – 1)(a + 1)

3) a² – a³= –a²(a – 1) per rendere questo polinomio uguale agli altri abbiamo messo in evidenza anche il meno.

Quindi:

M.C.D.(a³ + 2a² – 3a;  5a³-5a;   a² – a³) = a(a-1);

m.c.m.(a³ + 2a² – 3a;  5a³-5a;   a² – a³) =5a²(a + 3)(a – 1)(a+1)

Esercizio n° 2

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

x² – xy;          xy – y²;               x²-y².

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)x² – xy = x(x – y)

2)  xy – y²= y(x – y)

3)  x²-y²= (x-y)(x+y) →differenza di quadrati

M.C.D.(x² – xy;  xy – y²; x²-y²)= x – y

m.c.m.(x² – xy;  xy – y²; x²-y²)= xy(x-y)(x+y) 

Esercizio n° 3

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8 – x³;           6x² – x³ – 12x + 8;            x² – 4x   +4.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)8 – x³= (2 – x)(4 +2x + x²)somma o differenza di cubi

2)6x² – x³ – 12x + 8 = (2 – x)³ cubo di un binomio

3) x² – 4x   +4 = (2 – x)quadrato di un binomio

M.C.D.(8 – x³;  6x² – x³ – 12x + 8;  x² – 4x   +4)= 2 – x

m.c.m.(8 – x³;  6x² – x³ – 12x + 8;  x² – 4x   +4)= (2 – x)³(4 +2x + x²)

Esercizio n° 4

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

a³b – 2a²b²;          a³-4a²b + 4ab²;            a²b² -4b^{4}.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)a³b – 2a²b²= a²b(a – 2b)

2)  a³-4a²b + 4ab²= a(a² – 4ab + 4b²)= a(a -2b)²quadrato di un binomio

3) a²b² -4b^{4} = b²( a² -4b²)=  b²(a – 2b)(a + 2b)

M.C.D.(a³b – 2a²b²;  a³-4a²b + 4ab²;  a²b² -4b^{4}) = a – 2b

m.c.m.(a³b – 2a²b²;  a³-4a²b + 4ab²;  a²b² -4b^{4})= a²b²(a -2b)²(a + 2b)

Esercizio n° 5

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

8x³ – 2x + 1 – 4x²;          4x² – 4x + 1;            1 – 4x².

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)8x³ – 2x + 1 – 4x²=- 4x²(-2x  + 1)+ (-2x + 1)= (1 – 2x)(1 – 4x²)= (1 – 2x)²(1 + 2x)

2) 4x² – 4x + 1 = (1-2x)²quadrato di un binomio

3) 1 – 4x² = (1 – 2x)(1 + 2x)differenza di quadrati

M.C.D.(8x³ – 2x + 1 – 4x²; 4x² – 4x + 1; 1 – 4x²)= 1 – 2x

m.c.m.(8x³ – 2x + 1 – 4x²; 4x² – 4x + 1; 1 – 4x²)= (1 – 2x)²(1 + 2x)

Esercizio n° 6

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x² – 4)(x² + 9);             (x³ + 9x)(x²+4x + 4);          x³ – 4x

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)(x² – 4)(x² + 9)= (x-2)(x +2)(x² + 9)

2)(x³ + 9x)(x²+4x + 4)= x(x² + 9)(x + 2)²

3)(x³ – 4x)= x(x² -4)= x(x-2)(x +2)

M.C.D.[(x² – 4)(x² + 9);  (x³ + 9x)(x²+4x + 4);   x³ – 4x]=x + 2

m.c.m.[(x² – 4)(x² + 9);  (x³ + 9x)(x²+4x + 4);   x³ – 4x]=  x(x² + 9)(x + 2)²(x-2)

Esercizio n° 7 

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

6 – x – x²;          x³ – 7x + 6;           x² – 3x + 2.

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)6 – x – x²= -(x² + x – 6) =-(x+3)(x-2)scomposizioni di trinomi particolari

2)  x³ – 7x + 6;= applico Ruffini

P(1)=1 – 7 + 6 = 0

ruffini-29

x³ – 7x + 6= (x – 1)(x² + x – 6)=  (x – 1)(x+3)(x-2)

3) x² – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1) trinomio di secondo grado particolare

M.C.M.(6 – x – x²;  x³ – 7x + 6;  x² – 3x + 2)= x – 2

m.c.m.(6 – x – x²;  x³ – 7x + 6;  x² – 3x + 2)= -(x+3)(x-2)(x – 1)

Esercizio n° 8

Determina il M.C.D. e il m.c.m. dei seguenti polinomi.

(x – y)(x² – 4y²);             x² – 3xy + 2y²;            x² + xy -2y²

Prima di tutto scomponiamo in fattori i tre polinomi:

1)(x – y)(x² – 4y²)=(x – y)(x – 2y)(x + 2y)

2)  x² – 3xy + 2y²= applico Ruffini

P(y)= y² – 3y² + 2y² = 0

ruffini-30

 

x² – 3xy + 2y²= (x – y)(x – 2y)

3) x² + xy -2y²= applico Ruffini

P(y)= y² + y² – 2y²=0

ruffini-31

x² + xy -2y²=(x + 2y)(x – y)

M.C.D.[(x – y)(x² – 4y²);  x² – 3xy + 2y²; x² + xy -2y²]= x – y

m.c.m.[(x – y)(x² – 4y²);  x² – 3xy + 2y²; x² + xy -2y²]= (x – y)(x – 2y)(x + 2y)

Esercizi sulla scomposizione con Ruffini

Esercizi sulla scomposizione con Ruffini

Esercizio n° 1

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ + 3x² – 17x – 30

Esercizio n°2

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ – x² – 5x – 2

Esercizio n°3

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 2b³ +5b² – 4b – 3

Esercizio n°4

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(t)= t³ – 39t + 70

Esercizio n°5

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 4b + 16 +  b^{4} – 2b³ – 10b²

Esercizio n°6

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(y)=  y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4

Esercizio n°7

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)=  a^{5} + 32

Esercizio n°8

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)= a³ – a²b – 3ab² – b³

Svolgimento

Esercizio n° 1

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ + 3x² – 17x – 30

Cerchiamo se ci sono dei numeri che annullano il polinomio.

P(+1)= 2(1)³ + 3(1)² – 17(1) – 30 = 2 + 3 -17 – 30= -42≠0

P(-1)= 2(-1)³ + 3(-1)² – 17(-1) – 30 = – 2 +3 + 17 – 30 = -12≠0

P(-2)= 2(-2)³ + 3(-2)² – 17(-2) – 30= -16 + 12 +34 – 30 = 0

Il polinomio quindi è divisibile per x + 2.

ruffini-15

2x³ + 3x² – 17x – 30= (x + 2)(2x² – x – 15) ma il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre quindi:

P(x)= 2x² – x – 15

P(3)= 2(3)² – 3 – 15 = 18 – 3 – 15 = 0

Applico Ruffini

ruffini-16

2x² – x – 15 = (x – 3)(2x + 5)

Unendo i risultati otteniamo che la scomposizione di 2x³ + 3x² – 17x – 30=(x + 2)(x – 3)(2x + 5)

Esercizio n°2

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(x)= 2x³ – x² – 5x – 2

P(1)=  2(1)³ – (1)² – 5(1) – 2 = 2 – 1 – 5 – 2 = – 6≠ 0

P(-1)= 2(-1)³ – (-1)² – 5(-1) – 2= -2 -1 +5 – 2 = 0

Il polinomio è quindi divisibile per x +1

ruffini-17

(x + 1)(2x² – 3x -2) ma il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre.

P(x)=2x² – 3x -2

P(1)= 2(1) – 3(1) – 2 = 2 – 3 – 2 = -3 ≠ 0

P( 2)= 2 (2) – 3(2) – 2 =   4 – 6 – 2 = 0

Il polinomio è divisibile per x – 2.

Applico Ruffini

ruffini-18

2x² – 3x -2= (x – 2)(2x + 1)

Unendo tutto avremo che 2a³ – a² – 5a – 2= (x + 1)(x – 2)(2x + 1)

Esercizio n°3

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 2b³ +5b² – 4b – 3

P(1) = 2(1)³ +5(1)² – 4(1) – 3 = 2 + 5 – 4 – 3 = 0

Il polinomio è divisibile per b – 1

Applico Ruffini

ruffini-19

 

2b³ +5b² – 4b – 3= (2b² + 7b + 3)(b – 1) il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre.

P(b)=2b² + 7b + 3

P(1)= 2(1)² + 7(1) + 3 = 12

P(-1)= 2(-1)² +7(-1) + 3= 2 – 7 + 3= -2

P(-2)=2(-2)² +7(-2) + 3= 8 – 14 + 3 = -3

P(-3)=2(-3)² + 7(-3) + 3 = 18 – 21 + 3 = 0

Il polinomio è divisibile per b + 3

Applico Ruffini

ruffini-20

2b² + 7b + 3= (2b + 1)(b+3)

Unendo i risultati  2b³ +5b² – 4b – 3= (b – 1)(2b + 1)(b+3)

Esercizio n°4

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(t)= t³ – 39t + 70

P(2) =(2)³ – 39(2) + 70 = 8 – 78 + 70 = 0

Il polinomio è divisibile per t – 2.

Applico Ruffini

ruffini-21

t³ – 39t + 70= (t² + 2t – 35)(t – 2) il polinomio di secondo grado si può ancora scomporre.

P(t)=t² + 2t – 35

P(5)=(5)² +2(5) – 35 = 0

Il polinomio è divisibile per 7 – 5

Applico Ruffini

ruffini-22

 

t² + 2t – 35= (x + 7)(x – 5)

Unendo i risultati  t³ – 39t + 70= (t – 2)(x + 7)(x – 5)

Esercizio n°5

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(b)= 4b + 16 +  b^{4} – 2b³ – 10b²

P(1)=  4(1) + 16 +  (1)^{4} – 2(1)³ – 10(1)²= 13

P(2)= 4(2) + 16 +  (2)^{4} – 2(2)³ – 10(2)² =  – 16

P(-2)= 4(-2) + 16 +  (-2)^{4} – 2(-2)³ – 10(-2)² = 0

Il polinomio è divisibile per b + 2.

Prima di applicare Ruffini è importante mettere il polinomio in ordine.

P(x)=  b^{4} – 2b³ – 10b² +4b + 16

Applico Ruffini

ruffini-23

 b^{4} – 2b³ – 10b² +4b + 16= (b³ – 4b² – 2b + 8)(b+ 2) il polinomio di terzo grado si può ancora scomporre.

P(b)=b³ – 4b² – 2b + 8

P(1)= 1³ – 4 – 2 + 8 = +3

P(4)= (4)³ – 4(4)² -2(4) + 8 = 64 – 64 – 8 + 8 = 0

Il polinomio è divisibile per b – 4.

Applico Ruffini

ruffini-24

b³ – 4b² – 2b + 8= (b² – 2)(b – 4)

Unendo  i risultati   b^{4} – 2b³ – 10b² +4b + 16= (b + 2)(b² – 2)(b – 4)

Esercizio n°6

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(y)=  y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4

P(4)=  (4)^{4} – 4(4)³ – 2(4)² – 4 = 0

Il polinomio è divisibile per y- 4.

Applico Ruffini

ruffini-25

 

 y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4= (y³ – 2y + 1) (y – 4)il polinomio di terzo grado si può ancora scomporre.

P(y)= y³ – 2y + 1

P(1)= 1 – 2 + 1 = 0

Il polinomio è divisibile per y – 1.

Applico Ruffini

ruffini-26

y³ – 2y + 1= (y² +y – 1)(y – 1) il polinomio di secondo grado anche se si fanno vari tentativi si vede che non è divisibile quindi unendo i risultati avremo:

 y^{4} – 4y³ – 2y² +9y – 4=  (y – 4)(y² +y – 1)(y – 1)

Esercizio n°7

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)=  a^{5} + 32

P(-2)=  (-2)^{5} + 32 = -32 + 32 = 0

Il polinomio è divisibile per a + 2

Applico Ruffini

ruffini-27

 a^{5} + 32= (a^{4} -2a³ +4a² – 8a + 16)(a + 2) il polinomio facendo i vari tentativi non è divisibile per nulla.

Esercizio n°8

Scomporre il polinomio utilizzando la regola di Ruffini.

P(a)= a³ – a²b – 3ab² – b³

P(-b)=( -b)³ -(- b)²b – 3(-b)b² – b³ = -b³ -b³ +3b³ -b³ = 0

ruffini-28

a³ – a²b – 3ab² – b³= (a² – 2ab -b²)(a + b) il polinomio di 2° grado facendo varie prove non è divisibile per nulla.

Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado

Scomposizione di particolari trinomi di secondo grado

Esercizio n° 1

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

x² + x – 6

Esercizio n° 2

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

 y^{4} – 5y² -6

Esercizio n° 3

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

a² – 7ab + 12b²

Esercizio n° 4

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

 y^{6} + 7y³ – 10

Esercizio n° 5

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

x² -6ax – 16a²

Esercizio n° 6

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

a² – 2ab – 3b²

Esercizio n° 7

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

2x² +7x + 3

Esercizio n° 8

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

5x² – 13x – 6

Svolgimento

Esercizio n° 1

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

x² + x – 6 cerchiamo due numeri di modo che la loro somma faccia 1 e il cui prodotto -6. I numeri cercati potrebbero essere partendo dal prodotto:

6 · (- 1) ma la loro somma sarebbe -5

3 · (-2) e la loro somma sarebbe 1 quindi 3 e -2 sono i numeri cercati quindi:

x² + x – 6= (x +3)(x – 2)

Esercizio n° 2

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

 y^{4} – 5y² -6 questo trinomio deve essere prima trasformato in un trinomio di secondo grado quindi:

(y²)² – 5y² – 6. Poniamo y²= t  ⇒ t² -5t -6.

Ora cerchiamo i numeri la cui somma faccia – 5 e il cui prodotto – 6.

-6 · (+1)  la loro somma è -5. Quindi i numeri sono -6 e +1

t² -5t -6= (t -6)(t +1) ora sostituiamo a t = y² ed avremo: (y² -6)(y² +1)

Esercizio n° 3

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

a² – 7ab + 12b² cerchiamo due numeri di modo che la loro somma faccia -7b e il cui prodotto+12b². I numeri cercati potrebbero essere partendo dal prodotto:

6b·2b = 12b² ma la loro somma è 8b quindi non va bene

4b · 3b = 12b² ma la loro somma è 7b quindi non va bene

-4b · -3b= 12b² e la loro somma è 7b quindi -4b e – 3b sono i numeri cercati.

a² – 7ab + 12b²= (a -4b)(a-3b)

Esercizio n° 4

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

 y^{6} + 7y³ – 10 questo trinomio deve essere prima trasformato in un trinomio di secondo grado quindi:

-(y³)² +7y³ – 10; sostituisco y³= t quindi -t² -7t – 10 ⇔  -(t² +7t + 10 )

Ora cerchiamo i numeri la cui somma faccia – 7 e il cui prodotto + 10.

5 · -2 = -10 ma la loro somma è 3

-5 – 2 = + 10 e la cui somma è -7. I numeri cercati sono -5 e -2 Quindi:

t² -7t + 10 = -(t -5)(t – 2) sostituiamo t=y³ quindi :

 y^{6} + 7y³ – 10= -(y³ – 5)(y³ – 2)

Esercizio n° 5

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

x² -6ax – 16a² cerchiamo due numeri di modo che la loro somma faccia -6a e il cui prodotto -16a². I numeri cercati potrebbero essere partendo dal prodotto:

+8a · -2a = -16a² ma la cui somma è +6a;

-8a· +2a = -16a²  la cui somma è -6a; quindi i numeri cercati sono -8a e +2a.

x² -6ax – 16a²= (x -8a)(x +2a)

Esercizio n° 6

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

a² – 2ab – 3b² cerchiamo due numeri di modo che la loro somma faccia -2b e il cui prodotto -3b². I numeri cercati potrebbero essere partendo dal prodotto:

3b · ( -b) =-3b² e la somma è +2b

-3b · +b =-3b² e la somma è -2b; i numeri cercati sono -3b e b.

a² – 2ab – 3b²= (a -3b)(a +b)

Esercizio n° 7

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

2x² +7x + 3 visto che il coefficiente di x² è diverso da 1; bisogna trovare due numeri che come somma facciano +7 e come prodotto il prodotto tra il coefficiente di x² e il termine noto  +3; cioè 2·3=6

+6 · +1 = +6 la somma farà +7 quindi i numeri cercati sono +6 e +1.

Si deve riscrivere il polinomio di partenza in modo da evidenziare la somma quindi:

2x² +6x + x+ 3; facciamo il raccoglimento parziale 2x(x + 3)+(x+3)⇒ (2x +1)(x+3)

2x² +7x + 3 = (2x +1)(x+3)

Esercizio n° 8

Scomponi in fattori i seguenti trinomi.

5x² – 13x – 6 visto che il coefficiente di x² è diverso da 1; bisogna trovare due numeri che come somma facciano -13 e come prodotto il prodotto tra il coefficiente di x² e il termine noto  -6; cioè 5·(-6)=-30

15· (-2)= -30 e la somma è +13

-15 · (+2)= -30 e la somma è -13; quindi i numeri cercati sono -15 e +2.

Si deve riscrivere il polinomio di partenza in modo da evidenziare la somma quindi:

5x² – 15x +2x- 6; facciamo il raccoglimento parziale 5x(x – 3)+2(x -3)⇒ (5x +2)(x-3)

Scomposizione con la somma e differenza di due cubi

Scomposizione con la somma e differenza di due cubi

Esercizio n° 1

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

8a³+ b³

Esercizio n° 2

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

27x³ – 1

Esercizio n°3

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

(a -b)³ + (a+b)³

Esercizio n° 4

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

27x ^{3n} – 8y ^{12n+3}

Esercizio n° 5

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

3m ^{3}x ^{6} – 3

Esercizio n° 6

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

1 + (1+b)³

Esercizio n°7

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

(a – 2b)³ + (a+b)³

Esercizio n°8

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

64x³ + 27y ^{3n+6}

Esercizio n°9

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

8y ^{3n+2} – \frac{1}{8} y^{2}x ^{3}

Esercizio n°10

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

27y³ – (x – 4y)³

Svolgimento

Esercizio n° 1

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

8a³+ b³

Applichiamo la formula A³ + B³ =(A+B)(A² – AB + B²). A= 2a e B= b quindi:

(2a)³ + (b)³= (2a + b)[(2a)² – 2ab + b²] =  (2a + b)(4a² – 2ab + b²] =

Esercizio n° 2

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

27x³ – 1

Applichiamo la formula A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²). A=3a e B= 1 quindi:

(3x)³ – (1)³ = (3x – 1)(9x² + 3x + 1)

Esercizio n°3

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

(a -b)³ + (a+b)³

Applichiamo la formula A³ + B³ =(A+B)(A² – AB + B²). A= (a -b) e B= (a+b) quindi:

(a -b)³ + (a+b)³=  (a – b +a + b)[ (a -b)² – (a -b)(a+b) + (a +b)²]= 2a [a² -2ab + b² – ( a² – b²) + a² +2ab + b²] = 2a [a² -2ab + b² –  a² + b² + a² +2ab + b²]= 2a(a² + 3b²)

Esercizio n° 4

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

27x ^{3n} – 8y ^{12n+3}

27x ^{3n} = 3³x ^{3n} = (3x ^{n})³;     8y ^{12n+3}= 2³y^{3(4n+1)} =(  2y^{4n+1}

Applichiamo la formula A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²). A=3x ^{n} e B=  2y^{4n+1} quindi:

(3x ^{n})³ – (  2y^{4n+1})³ = ( 3x^{n} –  2y^{4n+ 1}) [( 3x^{n})² +(  3x^{n})(   2y^{4n+ 1}) + ( 2y^{4n+ 1})²]=

= ( 3x^{n} –  2y^{4n+ 1})( 9x^{2n} +  6x^{n}y ^{4n +1} +  4y ^{8n +2})

Esercizio n° 5

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

3m ^{3}x ^{6} – 3 metto in evidenza il 3( m^{3}x ^{6} – 1). Applichiamo la formula A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²) quindi A= mx² e B=1 quindi:

(mx)³- (1)³ = (mx² – 1)( m^{2}x ^{4} + mx² + 1)

Esercizio n° 6

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

1 + (1+b)³

Applichiamo la formula A³ + B³ =(A+B)(A² – AB + B²). A= 1 e B= (1+b) quindi:

1³ + (1 + b)³ = (1 + 1 + b)[1 – (1 + b) + (1 + b)²] = (2 + b)(1 – 1 – b + 1 + 2b + b²)= (2 + b)(+ b + 1 + b²)

Esercizio n°7

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

(a – 2b)³ + (a+b)³

Applichiamo la formula A³ + B³ =(A+B)(A² – AB + B²). A= (a – 2b) e B= (a+b) quindi:

(a – 2b)³ + (a+b)³= (a – 2b + a + b)[(a – 2b)² – (a-2b)(a+b) + (a+b)²]=

=(2a – b)[a² -4ab +4b² -(a² +ab -2ab – 2b²) + a² +2ab + b²] =

=(2a – b)(a² -4ab +4b² -a² -ab +2ab + 2b² + a² +2ab + b²)=

=(2a – b)(  7b²  -ab  + a² )=

Esercizio n°8

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

64x³ + 27y ^{3n+6}

Applichiamo la formula A³ + B³ =(A+B)(A² – AB + B²). A= 4x e B= 3 y^{n+2} quindi:

(4x)³ + (3 y^{n+2})³ = (4x +  3 y^{n+2})(16x² -12x y^{n+2} + 9 y^{2n+4})

Esercizio n°9

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

8y ^{3n+2} – \frac{1}{8} y^{2}x ^{3} metto in evidenza y²( 8y^{3n} – \frac{1}{8}x ^{3})

Applichiamo la formula A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²)  A=2 y^{n} e B= \frac{1}{2}x quindi:

(2 y^{n})³ – ( \frac{1}{2}x )³= (2 y^{n}  – \frac{1}{2}x )(4 y^{2n} + x y^{n}\frac{1}{4}x²)

Esercizio n°10

Scomponi in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi:

27y³ – (x – 4y)³

Applichiamo la formula A³ – B³ =(A-B)(A² + AB + B²)  A=3y e B= (x – 4y) quindi:

(3y)³ – (x – 4y)³ = [3y -(x – 4y)][9y² + 3y(x -4y) + (x – 4y)²]

= (7y -x)(9y² +3xy – 12y² + x² -8xy +16y²)=

= (7y -x )(13y² -5xy  + x² )

 

Scomposizione con il cubo di un binomio

Scomposizione con il cubo di un binomio

Esercizio n° 1

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

x³ + 3x² + 3x + 1

Esercizio n° 2

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

8a³ – 6a²b + 6ab² – b³ 

Esercizio n° 3

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

a³ + 6a² + 12a + 8

Esercizio n° 4

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

a³b³ + 3a²b² + 3ab – 1

Esercizio n° 5

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

-1 – 3a – 3a² – a³

Esercizio n° 6

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

y³ + y² + \frac{1}{3}y + \frac{1}{27}

Esercizio n° 7

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

a³ + \frac{1}{27}b³ + a²b + \frac{1}{9}ab²

Esercizio n° 8

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

(x + 1)³ – 3(x + 1)²y + 3(x+1)y² – y³

Esercizio n° 9

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

 x^{3n} –  3x^{2n}y ^{n+1} – y ^{3n+3} + 3x ^{n}y ^{2n+2}

Esercizio n° 10

a ^{3n}x ^{9} – 6a ^{2n}x ^{6} + 12a ^{n}x ^{3} – 8

 

Svolgimento

Esercizio n° 1

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

x³ + 3x² + 3x + 1 i numeri in rosso sono i cubi rispettivamente di x e 1. Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (x)² · + 1 = 3x²

3 · x ·  1² = 3x

Quindi: (x + 1)³

Esercizio n° 2

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

8a³ – 6a²b + 6ab² – b³ i cubi sono quelli colorati di rosso rispettivamente di 2a e -b.Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (2a)²· -b = -12a²b

3 · 2a · (-b)² = 6ab²

Non è possibile perchè il primo triplo prodotto non coincide.

Esercizio n° 3

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

+ 6a² + 12a + 8 i cubi sono quelli colorati di rosso rispettivamente di a e 2.Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (a)²· 2= 6a²

3 · a· 2² = 12a

Quindi: (a + 2)³

Esercizio n° 4

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

a³b³ + 3a²b² + 3ab – 1  i cubi sono quelli colorati di rosso rispettivamente di ab e -1. Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (ab)²· -1= -3a²b²

3 · ab· (-1)² = 3ab

Non è possibile perchè il primo triplo prodotto non coincide per il segno.

Esercizio n° 5

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

-1 – 3a – 3a² – a³ prima di tutto si mette in evidenza il -(1 +3a + 3a² +); i cubi sono quelli colorati di rosso rispettivamente di 1 e a. Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (1)²· a= 3a

3 · ab·( -1)²= 3ab

Quindi: -(1 + a)³

Esercizio n° 6

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

y³ + y² + \frac{1}{3}y + \frac{1}{27} i cubi sono y³ e \frac{1}{27} rispettivamente di y e \frac{1}{3}. Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (y)²· \frac{1}{3} = y²

3 · y· (\frac{1}{3})² = \frac{1}{3}y

Quindi: (y + \frac{1}{3}

Esercizio n° 7

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

a³ + \frac{1}{27}b³ + a²b + \frac{1}{9}ab² i cubi sono a³ e  \frac{1}{27}b³ rispettivamente di a e di \frac{1}{3}b. Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (a)²· \frac{1}{3} b= a²b

3 · a· (\frac{1}{3}b)² = \frac{1}{3}ab² non è possibile perchè questo secondo triplo prodotto non coincide.

Esercizio n° 8

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

(x + 1)³ – 3(x + 1)²y + 3(x+1)y² – y³ i cubi sono quelli colorati in rosso rispettivamente di (x+1) e y.  Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 · (x+1)² · -y= – 3(x + 1)²y

3 · (x+1) · (-y)²= + 3(x+1)y²

Quindi: (x+1 – y)³

Esercizio n° 9

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

 x^{3n} –  3x^{2n}y ^{n+1} – y ^{3n+3} + 3x ^{n}y ^{2n+2} i cubi sono  x^{3n} e  – y ^{3n+3} rispettivamente di  x^{n} e –  y^{n+ 1}.  Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 ·(  x^{n} )²· –  y^{n+ 1}=-  3x^{2n}y ^{n+1}

3 ·  x^{n} ·( –  y^{n+ 1})² = + 3x ^{n}y ^{2n+2}

Quindi: (  x^{n}  –  y^{n+ 1}

Esercizio n° 10

Scomponi se è possibile i seguenti polinomi riconoscendo il cubo di un trinomio.

a ^{3n}x ^{9} – 6a ^{2n}x ^{6} + 12a ^{n}x ^{3} – 8 i cubi sono a ^{3n}x ^{9}  e – 8 rispettivamente di  a^{n}x ^{3} e -2. Poi abbiamo i tripli prodotti del primo al quadrato per il secondo normale e viceversa.

3 ·(   a^{n}x ^{3} )²· -2 =  – 6a ^{2n}x ^{6}

3 ·  a^{n}x ^{3} ·( – 2)² = 12a ^{n}x ^{3}