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Tag Archives: esercizi matematica superiori

Esercizi sui radicali quadratici doppi

Esercizio

Trasforma in somma o in differenza di due radicali semplici, i seguenti radicali doppi.

1) \sqrt{6 +\sqrt{11}}\sqrt{7 +2\sqrt{6}}

 

2) \sqrt{7 -\sqrt{13}}\sqrt{6 -2\sqrt{5}}

 

3)\sqrt{\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{1}{3}}}\sqrt{3a-\sqrt{6a-1}}

 

SVOLGIMENTO

Esercizio

Trasforma in somma o in differenza di due radicali semplici, i seguenti radicali doppi.

1) \sqrt{6 +\sqrt{11}}\sqrt{7 +2\sqrt{6}}

  • \sqrt{6 +\sqrt{11}} applicando la regola \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^{2}-b}}{2}}  \pm\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^{2}-b}}{2}}  abbiamo che:

\sqrt{6 +\sqrt{11}}  = \sqrt{\frac{6+ \sqrt{6^{2}-11}}{2}}  +\sqrt{\frac{6 - \sqrt{6^{2}-11}}{2}} = \sqrt{\frac{6+ \sqrt{36-11}}{2}}  +\sqrt{\frac{6 - \sqrt{36-11}}{2}} =

=\sqrt{\frac{6+ \sqrt{25}}{2}}  +\sqrt{\frac{6 - \sqrt{25}}{2}} =\sqrt{\frac{6+ 5}{2}}  +\sqrt{\frac{6 - 5}{2}}  = \sqrt{\frac{11}{2}}  +\sqrt{\frac{1}{2}}  razionalizziamo = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} =

=\frac{\sqrt{11}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{22}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}

  • \sqrt{7 +2\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{7+ \sqrt{7^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}}{2}}  +\sqrt{\frac{7 - \sqrt{7^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}}{2}}   = \sqrt{\frac{7+ \sqrt{49-24}}{2}}  +\sqrt{\frac{7 - \sqrt{49-24}}{2}}  =

=\sqrt{\frac{7+ \sqrt{25}}{2}}  +\sqrt{\frac{7 - \sqrt{25}}{2}}   = \sqrt{\frac{7+ \5}{2}}  +\sqrt{\frac{7 - 5}{2}}   = \sqrt{\frac{12}{2}}  +\sqrt{\frac{2}{2}}    = semplificando otteniamo

\sqrt{6}+1

2) \sqrt{7 -\sqrt{13}}\sqrt{6 -2\sqrt{5}}

  • \sqrt{7 -\sqrt{13}} = \sqrt{\frac{7+ \sqrt{7^{2}-13}}{2}}  -\sqrt{\frac{7 - \sqrt{7^{2}-13}}{2}}  = \sqrt{\frac{7+ \sqrt{49-13}}{2}}  -\sqrt{\frac{7 - \sqrt{49-13}}{2}} =

=\sqrt{\frac{7+ \sqrt{36}}{2}}  -\sqrt{\frac{7 - \sqrt{36}}{2}}  = \sqrt{\frac{7+ 6}{2}}  -\sqrt{\frac{7 - 6}{2}}  = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2}} – \frac{1}{\sqrt{2}} = razionalizziamo

\frac{\sqrt{13}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}  = \frac{\sqrt{26}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}  = mettiamo in evidenza 
\frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{13}-1)

  • \sqrt{6 -2\sqrt{5}}= \sqrt{\frac{6+ \sqrt{6^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}}{2}}  -\sqrt{\frac{6 - \sqrt{6^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}}{2}}   = \sqrt{\frac{6+ \sqrt{36-20}}{2}}  -\sqrt{\frac{6 - \sqrt{36-20}}{2}}  ==

=\sqrt{\frac{6+ \sqrt{16}}{2}}  -\sqrt{\frac{6 - \sqrt{16}}{2}}  = \sqrt{\frac{6+ 4}{2}}  -\sqrt{\frac{6 - 4}{2}}  = \sqrt{\frac{10}{2}}  -\sqrt{\frac{2}{2}}  = semplificando si ottiene

=\sqrt{5}-1

3)\sqrt{\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{1}{3}}}\sqrt{3a-\sqrt{6a-1}}

 

  • \sqrt{\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{1}{3}}} = \sqrt{\frac{\frac{2}{3}+ \sqrt{\frac{2}{3}^{2}-\frac{1}{3}}}{2}}  -\sqrt{\frac{\frac{2}{3} - \sqrt{\frac{2}{3}^{2}-\frac{1}{3}}}{2}}  = \sqrt{\frac{\frac{2}{3}+ \sqrt{\frac{4}{9}-\frac{1}{3}}}{2}}  -\sqrt{\frac{\frac{2}{3} - \sqrt{\frac{4}{9}-\frac{1}{3}}}{2}} =

\sqrt{\frac{\frac{2}{3}+ \sqrt{\frac{1}{9}}}{2}}  -\sqrt{\frac{\frac{2}{3} - \sqrt{\frac{1}{9}}}{2}}  = \sqrt{\frac{\frac{2}{3}+ \frac{1}{3}}{2}}  -\sqrt{\frac{\frac{2}{3} -\frac{1}{3}}{2}}  =

=\sqrt{\frac{\frac{3}{3}}{2}}  -\sqrt{\frac{\frac{1}{3} }{2}}  = \sqrt{\frac{1}{2}}  -\sqrt{\frac{1}{6}} }  = razionalizziamo \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{6}(3-\sqrt{3})

  • \sqrt{3a-\sqrt{6a-1}} = \sqrt{\frac{3a+ \sqrt{9a^{2}-(6a-1)}}{2}}  -\sqrt{\frac{3a - \sqrt{9a^{2}-(6a.
-1)}}{2}}   =

\sqrt{\frac{3a+ \sqrt{9a^{2}-6a+1}}{2}}  -\sqrt{\frac{3a - \sqrt{9a^{2}-6a+1}}{2}}   = \sqrt{\frac{3a+ \sqrt{(3a-1)^{2}}}{2}}  -\sqrt{\frac{3a - \sqrt{(3a-1)^{2}}}{2}}  =

\sqrt{\frac{3a+3a-1}{2}}  -\sqrt{\frac{3a - (3a-1)}{2}}   = \sqrt{\frac{6a-1}{2}}  -\sqrt{\frac{3a - 3a+1}{2}}   = \sqrt{\frac{6a-1}{2}}  -\sqrt{\frac{+1}{2}}   =

Vedi programma di matematica secondo supriore

Esercizi sulla razionalizzazione

Esercizio

Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.

1) \frac{2}{\sqrt{3}} ; \frac{7}{2\sqrt{5}}\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}.

2)\frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}\frac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt{2}}\frac{1}{3\sqrt{a+b}}

3)\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\frac{5}{2\sqrt[4]{8}}\frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[6]{32}}

4)\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} 

5)\frac{2\sqrt{6}}{7 +3\sqrt{3}}

6)\frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{5} -3\sqrt{2}}

7)\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

SVOLGIMENTO

1) \frac{2}{\sqrt{3}} ; \frac{7}{2\sqrt{5}}\frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}.

  • \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot\sqrt{3} } = \frac{2 \sqrt{3}}{3 } 
  • \frac{7}{2\sqrt{5}} = \frac{7 \cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5} \cdot\sqrt{5} } = \frac{7 \cdot \sqrt{5}}{2\cdot5 } = \frac{7 }{10 }\sqrt{5}
  •  \frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{3}} =  \frac{3\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} =  \frac{3\sqrt{15}}{4\cdot 3} =  \frac{\sqrt{15}}{4}

2)\frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}\frac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt{2}}\frac{1}{3\sqrt{a+b}}

  • \frac{2\sqrt{5}-3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}} = \frac{(2\sqrt{5}-3\sqrt{2})\sqrt{10  }}{2\sqrt{10 \cdot }\sqrt{10  }} = \frac{(2\sqrt{50}-3\sqrt{20})}{2\cdot 10} = \frac{(2\sqrt{5 ^{2}\cdot2}-3\sqrt{2 ^{2}\cdot5})}{20}=

\frac{(2\cdot5\sqrt{2}-3\cdot2\sqrt{5})}{20}\frac{2(\cdot5\sqrt{2}-3\sqrt{5})}{20}\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{5}}{10}

  • \frac{\sqrt{3}-1}{3\sqrt{2}}\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}- \sqrt{2})}{3\cdot 2} = \frac{(\sqrt{6}- \sqrt{2})}{6}
  • \frac{1}{3\sqrt{a+b}} = \frac{1 \cdot\sqrt{a+b}}{3\sqrt{a+b}\cdot\sqrt{a+b}} = \frac{\sqrt{a+b}}{3(a+b)}

3)\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\frac{5}{2\sqrt[4]{8}}\frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[6]{32}}

  • \frac{2}{\sqrt[3]{2}}= \frac{2\cdot\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2^{2}} } = \frac{2\cdot\sqrt[3]{2^{2}}}{\sqrt[3]{2^{3}} } = \frac{2\cdot\sqrt[3]{2^{2}}}{2 } = \sqrt[3]{4}
  • \frac{5}{2\sqrt[4]{8}} = \frac{5}{2\sqrt[4]{2 ^{3}}} = \frac{5\sqrt[4]{2 }}{2\sqrt[4]{2 ^{3}}\cdot\sqrt[4]{2 }}  = \frac{5\sqrt[4]{2 }}{2\sqrt[4]{2 ^{4}}}  = \frac{5\sqrt[4]{2 }}{2\cdot 2}}  = \frac{5\sqrt[4]{2 }}{4}}
  • \frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[6]{32}}\frac{3\sqrt[3]{3}}{2\sqrt[6]{2 ^{5}}} = \frac{3\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2 }  }{2\sqrt[6]{2 ^{5}}\cdot\sqrt[6]{2 }  = \frac{3\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[6]{2 }  }{2\sqrt[6]{2 ^{6}} = \frac{3\sqrt[6]{3 ^{2}}\cdot\sqrt[6]{2 }  }{2\cdot 2}  ho fatto diventare le radici del numeratore dello stesso indice in modo da poterle moltiplicare = \frac{3\sqrt[6]{18}  }{4}

4)\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})} = \frac{(3\sqrt{10}+2\sqrt{15})}{9 \cdot2-4\cdot3}  = \frac{3\sqrt{10}+2\sqrt{15}}{18-12}  = \frac{(3\sqrt{10}+2\sqrt{15})}{6}

5)\frac{2\sqrt{6}}{7 +3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}(7 -3\sqrt{3})}{(7 +3\sqrt{3})(7 -3\sqrt{3})} = \frac{14\sqrt{6}-6\sqrt{18})}{(49 -27)} = \frac{14\sqrt{6}-18\sqrt{2}}{22}  \frac{2(7\sqrt{6}-9\sqrt{2})}{22}  \frac{7\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{11}

6)\frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{5} -3\sqrt{2}} =\frac{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{5} +3\sqrt{2})}{(2\sqrt{5} -3\sqrt{2})(2\sqrt{5} +3\sqrt{2})} = \frac{4\sqrt{15}+6\sqrt{6}+2\sqrt{5} +3\sqrt{2}}{(20 -18)} =\frac{4\sqrt{15}+6\sqrt{6}+2\sqrt{5} +3\sqrt{2}}{2}

7)\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}  \frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}

Programma di matematica secondo superiore

 

Esercizi addizione,sottrazione di radicali

Esercizio n° 1

Calcola le seguenti somme algebriche di radicali.

1) 11\sqrt{5}+6\sqrt{2}-(8\sqrt{5}+3 \sqrt{2}) 

2) \sqrt{x ^{3}+4 x^{2}+4x} - \sqrt{x ^{3}}

3) \frac{1}{2x+1}\sqrt{8x ^{3}+12x ^{2}+6x+1}-\frac{1}{x+1}\sqrt{(x ^{2}+2x+1)(2x +1)}

 

 

Esercizio n° 2

Svolgi le seguenti espressioni con addizioni e sottrazioni di radicali.

1) \frac{1}{3}\sqrt{8}+ \frac{1}{2}\sqrt{27}-\frac{1}{3}\sqrt{12}+\frac{3}{4}\sqrt{2}+2\sqrt{243}+5\sqrt{2}-\sqrt{3}

2) \sqrt{2a ^{2}b}-\frac{3}{a}\sqrt{2a ^{4}b}+\frac{5a}{x}\sqrt{2x ^{2}b}+\frac{2}{3}a\sqrt{18b}

3) \frac{2\sqrt{a ^{3}+3a ^{2}b+3ab ^{2}+b ^{3}}}{a+b} + \frac{3\sqrt{a ^{3}+a ^{2}b}}{a} -\frac{3\sqrt{ab ^{2}+b ^{3}}}{b}  +5\sqrt{a+b}

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Calcola le seguenti somme algebriche di radicali.

1) 11\sqrt{5}+6\sqrt{2}-(8\sqrt{5}+3 \sqrt{2}) 

= 11\sqrt{5}+6\sqrt{2}-8\sqrt{5} -3 \sqrt{2} = (11-8)\sqrt{5}+ (6-3)\sqrt{2} = 3\sqrt{5}+ 3\sqrt{2}

2) \sqrt{x ^{3}+4 x^{2}+4x} - \sqrt{x ^{3}} = \sqrt{x(x ^{2}+4 x+4)} - \sqrt{x \cdot x ^{2}} =

\sqrt{x(x +2)^{2}} - \sqrt{x \cdot x ^{3}} = (x +2)\sqrt{x} - x \sqrt{x } =

(x+2-x)\sqrt{x} = 2\sqrt{x}

 3) \frac{1}{2x+1}\sqrt{8x ^{3}+12x ^{2}+6x+1}-\frac{1}{x+1}\sqrt{(x ^{2}+2x+1)(2x +1)}=

= \frac{1}{2x+1}\sqrt{(2x+1) ^{3}}-\frac{1}{x+1}\sqrt{(x +1)^{2}(2x +1)}=

\frac{2x+1}{2x+1}\sqrt{(2x+1) }-\frac{x+1}{x+1}\sqrt{(2x +1)} =

=\sqrt{(2x+1) }-\sqrt{(2x +1)}= 0

Esercizio n° 2

Svolgi le seguenti espressioni con addizioni e sottrazioni di radicali.

1) \frac{1}{3}\sqrt{8}+ \frac{1}{2}\sqrt{27}-\frac{1}{3}\sqrt{12}+\frac{3}{4}\sqrt{2}+2\sqrt{243}+5\sqrt{2}-\sqrt{3} =

=\frac{1}{3}\sqrt{2^{3}}+ \frac{1}{2}\sqrt{3^{3}}-\frac{1}{3}\sqrt{3 \cdot 2^{2}}+\frac{3}{4}\sqrt{2}+2\sqrt{3^{5}}+5\sqrt{2}-\sqrt{3} =

= \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{2}+ \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3}-\frac{1}{3} \cdot 2\sqrt{3  }+\frac{3}{4}\sqrt{2}+2 \cdot 3^{2}\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\sqrt{3} =

\frac{2}{3} \sqrt{2}+ \frac{3}{2} \sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3  }+\frac{3}{4}\sqrt{2}+18\sqrt{3}+5\sqrt{2}-\sqrt{3}  =

(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+5)\sqrt{2}+ (\frac{3}{2} -\frac{2}{3}+18-1)\sqrt{3} =

=(\frac{8+9+60}{12})\sqrt{2}+ (\frac{9-4+108-6}{6}) \sqrt{3} =

=(\frac{77}{12})\sqrt{2}+ (\frac{107}{6}) \sqrt{3}.

2) \sqrt{2a ^{2}b}-\frac{3}{a}\sqrt{2a ^{4}b}+\frac{5a}{x}\sqrt{2x ^{2}b}+\frac{2}{3}a\sqrt{18b} =

a\sqrt{2b}-\frac{3}{a} \cdot a ^{2}\sqrt{2b}+\frac{5a}{x} \cdot x\sqrt{2b}+\frac{2}{3}a\sqrt{3 ^{2} \cdot2 b} =

a\sqrt{2b}-\frac{3}{a} \cdot a ^{2}\sqrt{2b}+\frac{5a}{x} \cdot x\sqrt{2b}+\frac{2}{3}a \cdot 3\sqrt{2 b} = semplifichiamo le frazioni

a\sqrt{2b}-3 \cdot a \sqrt{2b}+5a \sqrt{2b}+2a \sqrt{2 b} = (a-3a +5a+2a)\sqrt{2b} =

5a\sqrt{2b}   a e x devono essere diverse da zero

3) \frac{2\sqrt{a ^{3}+3a ^{2}b+3ab ^{2}+b ^{3}}}{a+b} + \frac{3\sqrt{a ^{3}+a ^{2}b}}{a} -\frac{3\sqrt{ab ^{2}+b ^{3}}}{b}  +5\sqrt{a+b}

=  \frac{2\sqrt{(a +b)^{3}}}{a+b} + \frac{3\sqrt{a ^{2}(a+b)}}{a} -\frac{3\sqrt{b ^{2}(a+b)}}{b}  +5\sqrt{a+b} =

=  \frac{2 \cdot (a+b)\sqrt{(a +b)}}{a+b} + \frac{3a\sqrt{(a+b)}}{a} -\frac{3b\sqrt{(a+b)}}{b}  +5\sqrt{a+b}= semplifico a+b nella prima frazione

 2 \sqrt{(a +b)} + 3\sqrt{(a+b)} -3\sqrt{(a+b)}  +5\sqrt{a+b} =

( 2+3-3+5) \sqrt{(a +b)}  = 7\sqrt{(a +b)}  con a,b ≠0

Vedi programma di matematica secondo superiore

Esercizi sulla potenza e radice di radice

Esercizio n° 1

Esegui le seguenti potenze di radicali.

1) (\sqrt[4]{2}) ^{2};  (\sqrt[3]{3}) ^{6}(\sqrt[9]{3}) ^{3}

2) (\frac{2}{3}\sqrt{3}) ^{3}(2\sqrt{\frac{1}{2}}) ^{2}; (\sqrt[6]{2xy^{2}})^{3}con x≥0

3) (a\sqrt{a+2b}) ^{3}(\frac{a+2}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}) ^{2}

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni  con potenze di radicali.

4) (\sqrt[6]{1-\frac{x-3y}{x+y}}\cdot \sqrt[6]{\frac{x-y}{4y}})  ^{3} : \sqrt{\frac{1}{x+y}}

5) \sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)}  \cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} : (\sqrt[3]{x ^{3}-2x ^{2}y+xy ^{2}}) ^{2}

6) 
(\sqrt[3]{ a^{2}-4a+4 }) ^{2}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  (\sqrt[6]{\frac{a-2}{a+2}}) ^{5} : \sqrt[]{\frac{a}{a^{2}-4}}] 

Esercizio n° 4

Esegui le seguenti radici di radici.

7) \sqrt[6]{\sqrt{3}} ; \sqrt{\sqrt[3]{3a ^{2}b ^{3}}} ; \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}}}}

8)\sqrt{a\sqrt[4]{a}}\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}\sqrt[3]{2\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}

9)\sqrt[5]{ a ^{4}\sqrt[3]{\frac{1}{a ^{2}}}}}  ; \sqrt[]{x\sqrt[3]{x}}\cdot\sqrt[3]{x\sqrt[]{x}} \cdot\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}} con x≥o

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Esegui le seguenti potenze di radicali.

1) (\sqrt[4]{2}) ^{2};  (\sqrt[3]{3}) ^{6}(\sqrt[9]{3}) ^{3}

Applichiamo il teorema della potenza:(\sqrt[n]{a})   ^{m} = \sqrt[n]{a ^{m} }

  •  (\sqrt[4]{2}) ^{2} =  \sqrt[4]{2^{2}} =  \sqrt[]{2}
  •  (\sqrt[3]{3}) ^{6}\sqrt[3]{3^{6}} = semplificando l’indice con l’esponente del radicando otteniamo: 9
  • (\sqrt[9]{3}) ^{3} = \sqrt[9]{3^{3} = \sqrt[3]{3

2) (\frac{2}{3}\sqrt{3}) ^{3}(2\sqrt{\frac{1}{2}}) ^{2}; (\sqrt[6]{2xy^{2}})^{3} con x≥0

  • (\frac{2}{3}\sqrt{3}) ^{3} = \frac{8}{27}\sqrt{3^{3}}   =  \frac{8}{27} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}   =  \frac{8}{27} \cdot3 \sqrt{3}   =  \frac{8}{9}\sqrt{3}

(2\sqrt{\frac{1}{2}}) ^{2}4\sqrt{\frac{1}{2} ^{2}}  = 4\sqrt{\frac{1}{4}}  = 4\sqrt{\frac{1}{2 ^{2}}} = \frac{4}{2} = 2

  • (\sqrt[6]{2xy^{2}})^{3}= \sqrt[6]{2^{3}   x^{3}  y^{6}} = \sqrt[2]{2  xy^{2}} =\left \|  y|\sqrt[2]{2  x}

3) (a\sqrt{a+2b}) ^{3}(\frac{a+2}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}) ^{2}

  • (a\sqrt{a+2b}) ^{3} =  a^{3}\sqrt{(a+2b)^{3}} =  a^{3}\sqrt{(a+2b)^{2}(a+2b)}=

 a^{3}(a+2b)\sqrt{(a+2b)}

  • (\frac{a+2}{a+1}\sqrt{\frac{a+1}{a+2}}) ^{2} \frac{(a+2) ^{2}}{(a+1) ^{2}}\sqrt{\frac{(a+1) ^{2}}{(a+2) ^{2}}}=

 \frac{(a+2) ^{2}}{(a+1) ^{2}} \cdot \frac{(a+1)}{(a+2)} semplificando si ottiene  \frac{(a+2) }{(a+1) }

Esercizio n° 2

Semplifica le seguenti espressioni  con potenze di radicali.

4) (\sqrt[6]{1-\frac{x-3y}{x+y}}\cdot \sqrt[6]{\frac{x-y}{4y}})  ^{3} : \sqrt{\frac{1}{x+y}} =   \sqrt[6]{(1-\frac{x-3y}{x+y})^{3}}\cdot \sqrt[6]{(\frac{x-y}{4y}) ^{3} }: \sqrt{\frac{1}{x+y}}=

= \sqrt[6]{(\frac{x+y -(x-3y)}{x+y})^{3}}\cdot \sqrt[6]{(\frac{x-y}{4y}) ^{3} }: \sqrt{\frac{1}{x+y}} = \sqrt[6]{(\frac{x+y -x+3y}{x+y})^{3}}\cdot \sqrt[6]{(\frac{x-y}{4y}) ^{3} }: \sqrt{\frac{1}{x+y}} = semplifichiamo il 6 dell’indice con l’esponente del radicando.

 \sqrt[]{(\frac{4y}{x+y})}\cdot \sqrt[]{(\frac{x-y}{4y}) }: \sqrt{\frac{1}{x+y}} = \sqrt[]{(\frac{4y}{x+y})\cdot(\frac{x-y}{4y}): \frac{1}{x+y}  } = \sqrt[]{(\frac{4y}{x+y})\cdot(\frac{x-y}{4y})\cdot (x+y)

= semplifico (x+y) e poi 4y ottengo:  \sqrt[]{x-y}.

5) \sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)}  \cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} : (\sqrt[3]{x ^{3}-2x ^{2}y+xy ^{2}}) ^{2}

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)} 
\cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}} :   \sqrt[3]{[x(x ^{2}-2x y+y ^{2})} ]^{2}

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)} 
\cdot \sqrt[3]{\frac{x}{y}-2+\frac{y}{x}}  :   \sqrt[3]{x^{2}(x -y) ^{4}} =

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)} \cdot \sqrt[3]{\frac{x ^{2}-2xy+y ^{2}}{xy}} ^{} :   \sqrt[3]{x^{2}(x -y) ^{4}} =

 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)}  \cdot \sqrt[3]{\frac{(x -y) ^{2}}{xy}} :   \sqrt[3]{x^{2}(x -y) ^{4}}=

=  
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)\cdot\frac{(x -y) ^{2}}{xy}:x^{2}(x -y) ^{4} } 
=

= 
\sqrt[3]{x^{2}y(x-y) ^{2}(x+y)\cdot\frac{(x -y) ^{2}}{xy} \cdot  \frac{1}{x^{2}(x -y) ^{4} } } 
 = semplificando tutto rimane  
\sqrt[3]{ \frac{(x+y)}{x}  }

6) 
(\sqrt[3]{ a^{2}-4a+4 }) ^{2}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  (\sqrt[6]{\frac{a-2}{a+2}}) ^{5} : \sqrt[]{\frac{a}{a^{2}-4}}] =

 
\sqrt[3]{( a^{2}-4a+4 ) ^{2}}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}} : \sqrt[]{\frac{a}{a^{2}-4}}] = porto l’ultima radice ad indice 6 in kodo che si possano svolgere i calcoli

 
\sqrt[3]{( a-2 ) ^{4}}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}} : \sqrt[6]{\frac{a^{3}}{(a^{2}-4)^{3}}}]  =

 
\sqrt[3]{( a-2 ) ^{4}}: \sqrt[3]{ a^{2}+2a }:  [  \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}\cdot\frac{(a^{2}-4)^{3}}{a^{3}}} ] =

=  
\sqrt[3]{( a-2 ) ^{4}}: \sqrt[3]{ a(a+2) }:    \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}\cdot\frac{(a-2)^{3}(a+2)^{3}}{a^{3}}}  = portiamo tutti allo stesso indice

= 
\sqrt[6]{( a-2 ) ^{8}}: \sqrt[6]{ a^{2}(a+2)^{2} }:    \sqrt[6]{\frac{(a-2)^{5}}{(a+2)^{5}}\cdot\frac{(a-2)^{3}(a+2)^{3}}{a^{3}}}  =

= 
\sqrt[6]{( a-2 ) ^{8} \cdot \frac{1}{a^{2}(a+2)^{2}}\cdot \frac{(a+2)^{5}}{(a-2)^{5}}\cdot\frac{ a^{3}   }{(a-2)^{3}(a+2)^{3}}}
= semplificando tutto rimane

\sqrt[6]{a}

Esercizio n° 4

Esegui le seguenti radici di radici.

7) \sqrt[6]{\sqrt{3}} ; \sqrt{\sqrt[3]{3a ^{2}b ^{3}}} ; \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}}}}

  •  \sqrt[6]{\sqrt{3}}  = si moltiplicano gli indice delle radici ottenendone una sola

\sqrt[12]{3}

  • \sqrt{\sqrt[3]{3a ^{2}b ^{3}}} = 
\sqrt[6]{3a ^{2}b ^{3}}}
  • \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt{\frac{1}{2}}}} =\sqrt[12]{\frac{1}{2}}

8)\sqrt{a\sqrt[4]{a}}\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}}\sqrt[3]{2\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}

  • \sqrt{a\sqrt[4]{a}} = \sqrt{\sqrt[4]{a^{4} \cdot a} }  = \sqrt[8]{a^{4} \cdot a}  = \sqrt[8]{a^{5} }  
  • \sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{x^{2} \cdot x\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}} =  \sqrt[3]{\sqrt{x^{3} \sqrt[3]{x\sqrt{x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{x^{9} \cdot x\sqrt{x}}}}=

\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{x^{10} \sqrt{x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{x^{10} \sqrt{x^{20} \cdot x}}}} = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{ \sqrt{x^{21} }}}} = \sqrt[36]{x^{21}} divido indice della radice ed esponente del radicando per tre.

\sqrt[12]{x^{7}}

  • \sqrt[3]{2\sqrt{\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}=  \sqrt[3]{\sqrt{4\cdot\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}}}}   = \sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot\frac{1}{4}}}}  =

\sqrt[3]{\sqrt{\sqrt[3]{2}}}   = \sqrt[18]{2}

9)\sqrt[5]{ a ^{4}\sqrt[3]{\frac{1}{a ^{2}}}}}  ; \sqrt[]{x\sqrt[3]{x}}\cdot\sqrt[3]{x\sqrt[]{x}} \cdot\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}} con x≥o

  • \sqrt[5]{ a ^{4}\sqrt[3]{\frac{1}{a ^{2}}}}}  = \sqrt[5]{\sqrt[3]{ a ^{4} \cdot \frac{1}{a ^{2}}}}}  = \sqrt[5]{\sqrt[3]{ a ^{2} }}}  =

\sqrt[15]{a ^{2}}}

  •  \sqrt[]{x\sqrt[3]{x}}\cdot\sqrt[3]{x\sqrt[]{x}} \cdot\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x}}        con x≥o

=  \sqrt[]{\sqrt[3]{x ^{3}  \cdot x}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[]{x ^{2} \cdot x}} \cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{x ^{3} \cdot x}}  \sqrt[]{\sqrt[3]{x ^{4}  }}\cdot\sqrt[3]{\sqrt[]{x ^{3} }} \cdot\sqrt[3]{\sqrt[3]{x ^{4}}} =

 \sqrt[6]{x ^{4}  }\cdot\sqrt[6]{x ^{3} }} \cdot\sqrt[9]{{x ^{4}}} =il minimo comune multiplo tra 6 e 9 è 18

=   \sqrt[18]{x ^{12}  }\cdot\sqrt[18]{x ^{9} }} \cdot\sqrt[18]{{x ^{8}}}  =  \sqrt[18]{x ^{12}\cdot x ^{9}   \cdot x ^{8}}  =  \sqrt[18]{x ^{39}}

Vedi programma di matematica del secondo superiore

Esercizi sul trasporto fuori e dentro radice

Esercizio n°1

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

1) \sqrt{\frac{27}{21}}\sqrt{\frac{15}{500}}\sqrt[3]{\frac{4}{250}}\sqrt[3]{\frac{54}{22}}

2) \sqrt[]{2a^{2}b}\sqrt[3]{3b^{6}}\sqrt[4]{16a^{8}b^{3}}

3) \sqrt[3]{x^{5}-3x^{4}y + 3x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3} }

4) \sqrt[]{\frac{x^{2}y-6xy^{2} + 9y^{3}}{x^{2}+2xy +y^{2}}}

5) (a + \frac{a^{2}}{a+b} ) \sqrt[4]{\frac{(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})^{2}}{(4a^{4}+4a^{3}b +a^{2}b^{2})^{3}}

Esercizio n° 2

Portare sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali.

1) \frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{2}} ;  2\sqrt[3]{2a};  \frac{2a ^{2}}{3b}\sqrt{\frac{3b}{4a ^{3}}}

2) (x + 1) \sqrt{x + 1}

 

3) \frac{a+b}{a}\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ a^{2}+2ab+ b^{2}} }

 

 

SVOLGIMENTO

Esercizio n°1

Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.

1) \sqrt{\frac{27}{21}}\sqrt{\frac{15}{500}}\sqrt[3]{\frac{4}{250}}\sqrt[3]{\frac{54}{22}}

\sqrt{\frac{27}{21}} prima di tutto semplifichiamo il 27 con il 21 dividendoli per 3. \sqrt{\frac{9}{7}}

\sqrt{\frac{9}{7}} = \sqrt{\frac{3 ^{2}}{7}}  =\sqrt{3^{2}}  · \sqrt{\frac{1}{7}}  = 3\sqrt{\frac{1}{7}}

\sqrt{\frac{15}{500}} prima di tutto semplifichiamo per 5 e otteniamo \sqrt{\frac{3}{100}}

\sqrt{\frac{3}{100}} = \sqrt{\frac{3}{5 ^{2} \cdot2 ^{2}}} =\sqrt{3} · \sqrt{\frac{1}{5 ^{2} \cdot2 ^{2}}} = \sqrt{3} · \frac{1}{10} = \frac{1}{10}\sqrt{3}

\sqrt[3]{\frac{4}{250}} semplifichiamo numeratore e denominatore per 2 e otteniamo \sqrt[3]{\frac{2}{125}}

\sqrt[3]{\frac{2}{125}}\sqrt[3]{\frac{2}{5 ^{3}}} = \frac{1}{5} \sqrt[3]{2}

\sqrt[3]{\frac{54}{22}} semplifichiamo per 2 e otteniamo\sqrt[3]{\frac{27}{11}}

\sqrt[3]{\frac{27}{11}}  = \sqrt[3]{\frac{3 ^{3}}{11}}  = 3\sqrt[3]{\frac{1}{11}}

2) \sqrt[]{2a^{2}b}\sqrt[3]{3b^{6}}\sqrt[4]{16a^{8}b^{3}}

\sqrt[]{2a^{2}b} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{2b}

\sqrt[3]{3b^{6}} = \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{b^{6}}  = b^{2} \sqrt[3]{3}

\sqrt[4]{16a^{8}b^{3}} = \sqrt[4]{2^{4}a^{8}b^{3}} = \sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{a^{8}}\cdot \sqrt[4]{b^{3}} = 2\cdot a ^{2} \sqrt[4]{b^{3}}

3) \sqrt[3]{x^{5}-3x^{4}y + 3x^{3}y^{2}-x^{2}y^{3} } = \sqrt[3]{x^{2}(x^{3}-3x^{2}y + 3x^{}y^{2}-y^{3}) }  = \sqrt[3]{x^{2}(x-y)^{3} }  = (x-y)\sqrt[3]{x^{2}}

4) \sqrt[]{\frac{x^{2}y-6xy^{2} + 9y^{3}}{x^{2}+2xy +y^{2}}}=  \sqrt[]{\frac{y(x^{2}-6xy^{} + 9y^{2})}{(x^ +y^){2}}} =  \sqrt[]{\frac{y(x- 3y)^{2}}{(x^ +y)^{2}}} =   \frac{x- 3y}{x^ +y}\sqrt[]{y}

5)(a + \frac{a^{2}}{a+b} ) \sqrt[4]{\frac{(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3})^{2}}{(4a^{4}+4a^{3}b +a^{2}b^{2})^{3}} = (a + \frac{a^{2}}{a+b} )\sqrt[4]{\frac{((a+b)^{3})^{2}}{((2a^{2}+ab)^{2})^{3}} =

 (a + \frac{a^{2}}{a+b} )\sqrt[4]{\frac{(a+b)^{4}(a+b)^{2}}{(2a^{2}+ab)^{4}(2a^{2}+ab)^{2}} =   \frac{a(a+b) +a^{2}}{a+b}  · (  \frac{a+b}{2a^{2}+ab} \sqrt[4]{\frac{(a+b)^{2}}{(2a^{2}+ab)^{2}}=

  \frac{a^{2}+b +a^{2}}{a+b}    · (  \frac{a+b}{2a^{2}+ab} ) ·  \sqrt[]{\frac{a+b}{2a^{2}+ab} ho semplificato il 4 dell’indice della radice con l’esponente del radicando.

  \frac{2a^{2}+b }{a+b}   · (  \frac{a+b}{2a^{2}+ab} ) ·  \sqrt[]{\frac{a+b}{2a^{2}+ab} semplificando si ottiene   \sqrt[]{\frac{a+b}{2a^{2}+ab}

Esercizio n° 2

Portare sotto il segno di radice il fattore esterno dei seguenti radicali.

1) \frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{2}} ;  2\sqrt[]{2a};  \frac{2a ^{2}}{3b}\sqrt{\frac{3b}{4a ^{3}}}

\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{9}{2}} = \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{4^{3}}{3^{3}}}  = \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{64}{27}}  =semplifichiamo il 9 con il 27 e il 2 con il 64 \sqrt[3]{\frac{32}{3} }

2\sqrt[]{2a};= \sqrt[]{ 2^{2} \cdot  2a} = \sqrt[]{ 2^{3}a}  = \sqrt[]{ 8a}

\frac{2a ^{2}}{3b}\sqrt{\frac{3b}{4a ^{3}}} = \sqrt{\frac{2^{2}a^{4}}{3^{2^}b^{2}} =  \sqrt{\frac{2^{2}a^{4}}{3^{2^}b^{2} } \cdot \frac{3b}{4a^{3} semplificando \sqrt{\frac{a}{3b}}

2) (x + 1) \sqrt{x + 1} = \sqrt{ (x + 1) (x + 1)^{2}}  =  \sqrt{  (x + 1)^{3}}

 

3) \frac{a+b}{a}\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ a^{2}+2ab+ b^{2}} } = \frac{a+b}{a}\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ (a+ b)^{2}} }  

= \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ (a+ b)^{2}} \cdot (\frac{a+b}{a})^{3} } \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{ (a+ b)^{2}} \cdot \frac{(a+b)^{3}}{a^{3}} } dalla radice semplificando  otteniamo = \sqrt[3]{ \frac{a+b}{a} }

Vedi programma di matematica secondo superiore

 

Esercizi moltiplicazioni e divisioni radicali

Esercizio n° 1

Esegui le seguenti moltiplicazioni tra radicali .

1) \sqrt[3]{\frac{5}{3}} · \sqrt[3]{\frac{9}{25}}  · \sqrt[3]{\frac{5}{2}}

2)\sqrt[]{2} ·7 \sqrt[]{13}

3)\sqrt[10]{8 a^{3}b^{2} }   · \sqrt[10]{2ab^{2} }  · \sqrt[10]{2ab }

4) \sqrt[]{\frac{x+1}{x-1} }   · \sqrt[]{\frac{2}{x+1} }

5) \sqrt[6]{\frac{8a}{27b^{3}} }   · \sqrt[]{\frac{3b}{2} }   · \sqrt[3]{\frac{1}{4a} }

6) \sqrt[15]{\frac{27a}{8b^{3}} }    · \sqrt[5]{\frac{2b}{3a} }    · \sqrt[3]{\frac{a}{2b} }

Esercizio n° 2

Esegui le seguenti divisioni tra radicali.

7) \sqrt{3} : \sqrt{\frac{3}{2}}

8) \sqrt[]{5} : \sqrt[4]{\frac{25}{81}}   ;   \sqrt[3]{2} ; \sqrt[12]{\frac{8}{9}}

9) \sqrt{x} : \sqrt[4]{\frac{x^{5}}{y^{4}}}

10) \sqrt[4]{12a^{3}b^{2}c}  : \sqrt[4]{4a^{2}bc}

 

 

SVOLGIMENTO

1) \sqrt[3]{\frac{5}{3}} · \sqrt[3]{\frac{9}{25}}  · \sqrt[3]{\frac{5}{2}}

\sqrt[3]{\frac{5}{3} \cdot   \frac{9}{25} \cdot  \frac{5}{2}  }  = \sqrt[3]{\frac{3}{2}  }   semplifichiamo i due 5 dei numeratori con il 25 del denominatore e il 9 con il 3 del denominatore.

2) \sqrt[]{2} ·7 \sqrt[]{13} = 7 · \sqrt{13 \cdot2 } = 7\sqrt{26 }

3)\sqrt[10]{8 a^{3}b^{2} }   · \sqrt[10]{2ab^{2} }  · \sqrt[10]{2ab }

\sqrt[10]{(8 a^{3}b^{2})(2ab^{2})(2ab) }    = \sqrt[10]{32 a^{5}b^{5} }    = \sqrt[10]{2^{5} a^{5}b^{5} }    = \sqrt[10]{(2 ab)^{5} }    = \sqrt[]{2 ab}

4) \sqrt[]{\frac{x+1}{x-1} }   · \sqrt[]{\frac{2}{x+1} }

\sqrt[]{(\frac{x+1}{x-1})(\frac{2}{x+1}) }   = \sqrt[]{(\frac{2}{x-1}) }     i due x+1 si semplificano

5) \sqrt[6]{\frac{8a}{27b^{3}} }   · \sqrt[]{\frac{3b}{2} }   · \sqrt[3]{\frac{1}{4a} }

m.c.m (6,2,3)= 6

\sqrt[6]{\frac{8a}{27b^{3}} }   ·\sqrt[6]{\frac{27b ^{3}}{8} }    · \sqrt[6]{\frac{1}{16a ^{2}} }    = \sqrt[6]{(\frac{8a}{27b^{3}})(\frac{27b ^{3}}{8})(\frac{1}{16a ^{2}}) }  = \sqrt[6]{\frac{1}{16a}}

6) \sqrt[15]{\frac{27a}{8b^{3}} }    · \sqrt[5]{\frac{2b}{3a} }    · \sqrt[3]{\frac{a}{2b} }

m.c.m (15, 5, 3)= 15

 \sqrt[15]{\frac{27a}{8b^{3}} }    ·\sqrt[15]{\frac{8b ^{3}}{27a ^{3}} }      · \sqrt[15]{\frac{a^{5}}{32b^{5}} }   = \sqrt[15]{(\frac{27a}{8b^{3}})(\frac{8b ^{3}}{27a ^{3}})(\frac{a^{5}}{32b^{5}}) }           =  \sqrt[15]{\frac{a ^{3}}{32b ^{5}} }

Esercizio n° 2

Esegui le seguenti divisioni tra radicali.

7) \sqrt{3} : \sqrt{\frac{3}{2}}

\sqrt{3 : \frac{3}{2}}  = \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3}}  = \sqrt{2}

8) \sqrt[]{5} : \sqrt[4]{\frac{25}{81}}   ;   \sqrt[3]{2} ; \sqrt[12]{\frac{8}{9}}

\sqrt[]{5} : \sqrt[4]{\frac{25}{81}}   m.c.m (2,4)= 4

\sqrt[4]{5^{2} }  : \sqrt[4]{\frac{25}{81}}    ⇒ \sqrt[4]{25 }  : \sqrt[4]{\frac{25}{81}} = \sqrt[4]{25 : \frac{81}{25}}   i 25 si semplificano e si ottiene \sqrt[4]{81}  = \sqrt[4]{3^{4}} = 3

\sqrt[3]{2} : \sqrt[12]{\frac{8}{9}} m.c.m (3, 12)= 12

\sqrt[12]{2^{4}} :  \sqrt[12]{\frac{8}{9}} ⇒  \sqrt[12]{16} :  \sqrt[12]{\frac{8}{9}}  =  \sqrt[12]{16 \cdot \frac{9}{8}}  =  \sqrt[12]{18}

9) \sqrt{x} : \sqrt[4]{\frac{x^{5}}{y^{4}}}

\sqrt[4]{x ^{4}}   : \sqrt[4]{\frac{x^{5}}{y^{4}}} =  \sqrt[4]{\frac{x ^{4} \cdot y^{4}}{x^{5}}}  =  \sqrt[4]{\frac{y^{4}}{x}}

10) \sqrt[4]{12a^{3}b^{2}c}  : \sqrt[4]{4a^{2}bc}

 \sqrt[4]{(12a^{3}b^{2}c) \cdot \frac{1}{4a^{2}bc}} =  \sqrt[4]{3ab}

Vedi programma di matematica del secondo superiore

Esercizi proprietà invariantiva radicali

Esercizio n° 1

Semplifica i seguenti radicali.

1) \sqrt[10]{32}\sqrt[4]{9}\sqrt[6]{25}

2) \sqrt[6]{27a ^{3}b ^{6}} con a>0;    \sqrt[10]{32a ^{5}b ^{5}}   a·b>0

3)\sqrt[20]{x ^{10}y ^{5}z ^{5}t ^{20}}    y ·z>0

4) \sqrt[]{a ^{4}b ^{6}};   \sqrt[]{a ^{2}b ^{4}}\sqrt[3]{a ^{6}b ^{9}}     b>0

5)\sqrt[6]{a ^{4}-8a^{2}b ^{2}+ 16b^{4}}

6) \sqrt[4]{a ^{2}+2ab +b ^{2}}

7) \sqrt[6]{\frac{8a ^{3}+ 24a ^{2}b+24a b ^{2}+ 8b ^{3}}{(27a ^{3}-81a^{2}b +81a b ^{2}-27b ^{3})(x ^{3}+ 3x ^{2}y +3xy ^{2}+y^{3})}}

8) \sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{4(a -b)^{2}}}

9) \sqrt[3n]{\frac{x ^{n}a ^{9n}}{b^{2n}}}

Esercizio n° 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali

10) \sqrt[3]{5} ; \sqrt{2} ; \sqrt[4]{7} ; \sqrt[6]{3}

11) \sqrt[6]{(a-b) ^{2}}    ; \sqrt[]{(a+b) }   \sqrt[3]{(a+b) }

12) \sqrt[7]{ 2x ^{6}}   \sqrt[]{ x y}   \sqrt[14]{ x y ^{7}}

13) \sqrt[]{\frac{2xy}{x+1}} ; \sqrt[6]{\frac{xz}{2x - 1}} ; \sqrt[4]{\frac{x^{3}y}{3}} ;

SVOLGIMENTO

Esercizio n° 1

Semplifica i seguenti radicali.

1) \sqrt[10]{32}\sqrt[4]{9}\sqrt[6]{25}

\sqrt[10]{32} = \sqrt[10]{2 ^{5}} = \sqrt[10: 5]{2 ^{5: 5}} = \sqrt{2}

\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{3 ^{2}} = \sqrt[4: 2]{3 ^{2: 2}} = \sqrt{3}

2) \sqrt[6]{27a ^{3}b ^{6}} con a>0;    \sqrt[10]{32a ^{5}b ^{5}}   a·b>0

\sqrt[6]{27a ^{3}b ^{6}} con a>0 = \sqrt[6]{3 ^{3}a ^{3}b ^{6}}  = \sqrt[6]{(3 ab^{2} )^{3}}  = \sqrt[]{3 ab^{2} }

\sqrt[10]{32a ^{5}b ^{5}}   a·b>0 = \sqrt[10]{2^{5}a ^{5}b ^{5}}   = \sqrt[10]{(2a b) ^{5}}   = \sqrt[]{2a b}

3)\sqrt[20]{x ^{10}y ^{5}z ^{5}t ^{20}}    y ·z>0

\sqrt[20]{x ^{10}y ^{5}z ^{5}t ^{20}}   = \sqrt[20]{(x ^{2}y z t ^{4}) ^{5}}   = \sqrt[4]{x ^{2}y z t ^{4} }

4) \sqrt[]{a ^{4}b ^{6}};   \sqrt[]{a ^{2}b ^{4}}\sqrt[3]{a ^{6}b ^{9}}     b>0

\sqrt[]{a ^{4}b ^{6}} =   \sqrt[]{(a ^{2}b ^{3})^{2}} = a ^{2}\left \|   b| ^{3} si mette il valore assoluto perchè la b deve essere per forza positiva

\sqrt[]{a ^{2}b ^{4}} = \sqrt[]{(a b ^{2})^{2}} = \left \| a| b^{2}

\sqrt[3]{a ^{6}b ^{9}}  = \sqrt[3]{(a ^{2}b ^{3})^{3}}  =  a ^{2}\left \|   b| ^{3}

5)\sqrt[6]{a ^{4}-8a^{2}b ^{2}+ 16b^{4}} = \sqrt[6]{(a ^{2}-4b^{2})^{2}} = \sqrt[3]{a ^{2}-4b^{2}}

6) \sqrt[4]{a ^{2}+2ab +b ^{2}} =  \sqrt[4]{(a +b) ^{2}} =  \sqrt[2]{\left \|  (a +b) |}  in pratica il valore assoluto lo mettiamo ogni qual volta il radicale è pari è quando i componenti del radicando hanno un esponente dispari.

7)\sqrt[6]{\frac{8a ^{3}+ 24a ^{2}b+24a b ^{2}+ 8b ^{3}}{(27a ^{3}-81a^{2}b +81a b ^{2}-27b ^{3})(x ^{3}+ 3x ^{2}y +3xy ^{2}+y^{3})}}

\sqrt[6]{\frac{8a ^{3}+ 24a ^{2}b+24a b ^{2}+ 8b ^{3}}{(27a ^{3}-81a^{2}b +81a b ^{2}-27b ^{3})(x ^{3}+ 3x ^{2}y +3xy ^{2}+y^{3})}} = \sqrt[6]{\frac{(2a +2b) ^{3}}{(3a -3b) ^{3}(x +y) ^{3}}} = \sqrt[2]{\frac{2a +2b}{(3a -3b) (x +y) }}  con a>0 e x≠y

8) \sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{4(a -b)^{2}}} 

\sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{4(a -b)^{2}}} =  \sqrt[4]{\frac{c ^{4}a ^{2}(x -2z)^{2}}{2^{2}(a -b)^{2}}} =  \sqrt[2]{\frac{c ^{2}\left \|  a|  \left \|  x-2z|}{2 \left \|  a-b|}}

 9) \sqrt[3n]{\frac{x ^{n}a ^{9n}}{b^{2n}}}

 \sqrt[3n]{\frac{x ^{n}a ^{9n}}{b^{2n}}} = \sqrt[3n]{\frac{(x a ^{9})^{n}}{b^{2n}}} = \sqrt[3]{\frac{x a ^{9}}{b^{2}}}

Esercizio n° 2

Ridurre allo stesso indice i seguenti radicali.

10) \sqrt[3]{5} ; \sqrt{2} ; \sqrt[4]{7} ; \sqrt[6]{3}

il m.c.m (3, 2, 4, 6 ) = 12

A questo punto per passare a tutti radicali con indice 12, bisogna elevare ogni radicando fra il m.c.m e l’indice di partenza.

\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^{4}}  = \sqrt[12]{5^{4}}  =  \sqrt[12]{625}

\sqrt{2} =  \sqrt[2 \cdot 6]{2^{6}}   =  \sqrt[12]{64}

\sqrt[4]{7} =  \sqrt[4 \cdot 3]{7^{3}}   =  \sqrt[12]{343}}

\sqrt[6]{3} =  \sqrt[6 \cdot 2]{3^{2}}    =  \sqrt[12]{9}}

11) \sqrt[6]{(a-b) ^{2}}    ; \sqrt[]{(a+b) }   \sqrt[3]{(a+b) }

m.c.m = (6, 2, 3) = 6

\sqrt[6]{(a-b) ^{2}}

\sqrt[]{(a+b) }    = \sqrt[2 \cdot3]{(a-b) ^{3}}    = \sqrt[6]{(a-b) ^{3}}

\sqrt[3]{(a+b) }   \sqrt[3 \cdot2]{(a-b) ^{2}}    = \sqrt[6]{(a-b) ^{2}}

 

12) \sqrt[7]{ 2x ^{6}}   \sqrt[]{ x y}   \sqrt[14]{ x y ^{7}}

m.c.m (7,2,14) = 14

\sqrt[7]{ 2x ^{6}}    = \sqrt[7 \cdot2]{ (2x ^{6})^{2}}     = \sqrt[14]{ 4x ^{12}}

\sqrt[]{ x y}    = \sqrt[2 \cdot 7]{( x y) ^{7}}     = \sqrt[14]{ x^{7} y ^{7}}

\sqrt[14]{ x y ^{7}}

13) \sqrt[]{\frac{2xy}{x+1}} ; \sqrt[6]{\frac{xz}{2x - 1}} ; \sqrt[4]{\frac{x^{3}y}{3}} ;

m.c.m. tra (2,6,4)= 12

\sqrt[]{\frac{2xy}{x+1}} = \sqrt[2 \cdot 6]{(\frac{2xy}{x+1})^{6}}  = \sqrt[12]{\frac{32 x^{6}y^{6}}{(x+1) ^{6}}}

\sqrt[6]{\frac{xz}{2x - 1}}  = \sqrt[6 \cdot 2]{(\frac{xz}{2x - 1}) ^{2}}  = \sqrt[12]{\frac{ x^{2}z ^{2} }{(2x - 1)^{2}}}

Vedi programma di matematica secondo superiore

Equazioni,disequazioni, sistemi e radicali

Esercizi sulle equazioni con i radicali

1) (\sqrt{2} + 1 )(x + 1) = 2 (2 – x)                                risultato:  \frac{ 11 -6\sqrt{2}}{7}

2) \sqrt{2}(x + \sqrt{2})+ \sqrt{5}(x - \sqrt{5})=0                       risultato:  (\sqrt{5} - \sqrt{2})

 

3) 5 \sqrt{2}(x +  \sqrt{10}) – 10  \sqrt{5} (1 +  \sqrt{5}x) – 5( \sqrt{2} – 10) = 0           risultato: 1

4)(2x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2}) - (x - \sqrt{3})  ^{2} - (x + \sqrt{2}) ^{2} = (1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2} 
) - \sqrt{2}(\sqrt{2}+ 3)          risultato: 1

5) \sqrt{2}\left [ 3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) + 5\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) \right ] = 3(1 - \sqrt{2}x)(1 - x)- (3 - 7x)                risultato: \frac{16(\sqrt{2}-1)}{3}

6)\frac{2x - 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x - 3}{3} = \frac{4x}{3\sqrt{2}}                                   risultato: 6(\sqrt{2} + 1)

Esercizi sulle equazioni fratte con i radicali

7) \frac{1}{ 3 - 3\sqrt{3}x} +\frac{2\sqrt{3}}{1 - 3x ^{2}}  = \frac{\sqrt{3}}{3 + 3\sqrt{3}x}                    risultato: \frac{6 - 7\sqrt{3}}{3}

8) \frac{5x - \sqrt{2}}{5x+\sqrt{2}} - \frac{5x + \sqrt{2}}{5x-\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}- 9x)}{25x ^{2}-2}                  risultato: -\sqrt{2}

Disequazioni con i radicali

9) x(x + 1) + 1 + \sqrt{2} > x² + \sqrt{2} (x + 1)                         risultato: x < 1 + \sqrt{2}

10) (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(x + \sqrt{3}) – (x + 4\sqrt{2})(\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) < – 7             risultato: x < \sqrt{2}

11) \frac{x - \sqrt{7}}{2\sqrt{7}} - \frac{2x - 3\sqrt{7}}{4\sqrt{7}}+ \frac{5x - \sqrt{7}}{3\sqrt{7}} > \frac{7x + 12\sqrt{7}}{12\sqrt{7}}                      risultato: x > \sqrt{7}

 

Sistemi con i radicali

13)

 sistema-con-radicali risultato: x = 2\sqrt{5};  y= -\sqrt{10}

 

sistema-con-radicalirisultato:x = 3 ;   y= 2\sqrt{3}

 

Svolgimento

1) (\sqrt{2} + 1 )(x + 1) = 2 (2 – x)

\sqrt{2} x + \sqrt{2}  + x + 1 = 4 – 2x   Portiamo tutte le x al primo membro

\sqrt{2} x +x + 2x = 4 – \sqrt{2}  – 1

3x + \sqrt{2} x = 3 – \sqrt{2}   raccogliamo la x

x(3 +  \sqrt{2} ) = 3 – \sqrt{2}

x = \frac{3 - \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}   Razionalizziamo il denominatore moltiplicano numeratore e denominatore per  3 - \sqrt{2}  in modo di ottenere al denominatore la somma per differenza

x = \frac{3 - \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2} · \frac{3 - \sqrt{2}}{3 - \sqrt{2} = \frac{(3 - \sqrt{2}) ^{2}}{9 - 2} =  \frac{9 + 2 -6 \sqrt{2} }{7} =  \frac{11 -6 \sqrt{2} }{7}

x = \frac{11 -6 \sqrt{2} }{7}

2) \sqrt{2}(x + \sqrt{2})+ \sqrt{5}(x - \sqrt{5})=0       

\sqrt{2}x + 2 + \sqrt{5}x – 5 =0

\sqrt{2}x+ \sqrt{5}x = – 2 + 5

x( \sqrt{2} + \sqrt{5}) = 3

x = \frac{3}{\sqrt{2} + \sqrt{5}} ⋅ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{2 - 5} = -\frac{3(\sqrt{2} - \sqrt{5})}{3} = -\sqrt{2}+ \sqrt{5}

x = -\sqrt{2}+ \sqrt{5}

3) 5 \sqrt{2}(x +  \sqrt{10}) – 10 \sqrt{5} (1 +  \sqrt{5}x) – 5( \sqrt{2} – 10) = 0

5 \sqrt{2} x+ 5\sqrt{20}  – 10 \sqrt{5} – 10·5 x –  5 \sqrt{2} +50  = 0

5 \sqrt{2} x+ 10\sqrt{5} – 10 \sqrt{5} – 50 x –  5 \sqrt{2} + 50 = 0

5 \sqrt{2} x -50x  =+  5 \sqrt{2} – 50

x(5\sqrt{2} – 50) =  5 \sqrt{2} – 50

x = \frac{5 \sqrt{2} - 50}{5 \sqrt{2} - 50}  = 1

x = 1

4)(2x - \sqrt{3})(x - \sqrt{2}) - (x - \sqrt{3})  ^{2} - (x + \sqrt{2}) ^{2} = (1 - \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2} 
) - \sqrt{2}(\sqrt{2}+ 3) 

2x² -2\sqrt{2}x -\sqrt{3}x + \sqrt{6} – ( x² + 3 -2\sqrt{3}x) – (x² + 2 +2\sqrt{2}x) = \sqrt{3} – \sqrt{2} – 3 + \sqrt{6}  – 2 – 3\sqrt{2}

2x² -2\sqrt{2}x -\sqrt{3}x + \sqrt{6} –  x² – 3  +2\sqrt{3}x – x² – 2  -2\sqrt{2}x = \sqrt{3} – \sqrt{2} – 3 + \sqrt{6}  – 2 – 3\sqrt{2}

2x²-  x²-  x²-2\sqrt{2}x-\sqrt{3}x +2\sqrt{3}x -2\sqrt{2}x   = \sqrt{3} – \sqrt{2} – 3 + \sqrt{6}  – 2 – 3\sqrt{2} – \sqrt{6}  + 3 + 2

-4\sqrt{2}x +\sqrt{3} x = \sqrt{3} -4\sqrt{2}

x( +\sqrt{3} -4\sqrt{2}) = \sqrt{3} -4\sqrt{2}

x = \frac{\sqrt{3} -4\sqrt{2}}{\sqrt{3} -4\sqrt{2}} = 1

x = 1

5) \sqrt{2}\left [ 3(x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) + 5\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) \right ] = 3(1 - \sqrt{2}x)(1 - x)- (3 - 7x)

\sqrt{2}\left [ (3x + 3\sqrt{2})(x - \sqrt{2}) + 5\sqrt{2}x - 10 \right ] = (3 - 3\sqrt{2}x)(1 - x)- 3 + 7x

\sqrt{2}( 3x ^{2}-3\sqrt{2}x+ 3\sqrt{2}x-6 + 5\sqrt{2}x -10)= 3 - 3x - 3\sqrt{2}x+ 3\sqrt{2}x ^{2}- 3 + 7x

3\sqrt{2}x ^{2} -6x +6x-6 \sqrt{2} -10x - 10\sqrt{2}= 3 - 3x - 3\sqrt{2}x+ 3\sqrt{2}x ^{2}- 3 + 7x

3\sqrt{2}x ^{2}-3\sqrt{2}x ^{2} -6x +6x +10x  +3x+3\sqrt{2}x} -7x= 3 - 3 + 6 \sqrt{2} +10\sqrt{2}

6x +3\sqrt{2}x} =16 \sqrt{2}

x(6 +3\sqrt{2}} )=16 \sqrt{2}

x =  \frac{16 \sqrt{2} }{6 +3\sqrt{2}} } ·  \frac{6 -3\sqrt{2}}{6 -3\sqrt{2}} } = \frac{96\sqrt{2}-96}{36 - 18} = \frac{96(\sqrt{2}-1)}{18} = \frac{16(\sqrt{2}-1)}{3}

x = \frac{16(\sqrt{2}-1)}{3}

6)\frac{2x - 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x - 3}{3} = \frac{4x}{3\sqrt{2}}             

\frac{3(2x - 3\sqrt{2})-\sqrt{2}(x - 3) }{3\sqrt{2}} = \frac{4x}{3\sqrt{2}}

\frac{6x - 9\sqrt{2}-\sqrt{2}x + 3\sqrt{2} }{3\sqrt{2}} = \frac{4x}{3\sqrt{2}}

\frac{6x -\sqrt{2}x -4x  }{3\sqrt{2}} = \frac{+9\sqrt{2}- 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}

\frac{2x -\sqrt{2}x  }{3\sqrt{2}} = \frac{+6\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}

\frac{x(2 -\sqrt{2})  }{3\sqrt{2}} = \frac{2}{1}

x  = \frac{2(3\sqrt{2})}{(2 -\sqrt{2})}       = \frac{6\sqrt{2}}{(2 -\sqrt{2})}       ·\frac{(2 +\sqrt{2})}{(2 +\sqrt{2})}       = \frac{12\sqrt{2}+ 2}{4 - 2}       = \frac{2(6\sqrt{2}+ 1)}{2}

x =   6\sqrt{2}+ 1

7) \frac{1}{ 3 - 3\sqrt{3}x} +\frac{2\sqrt{3}}{1 - 3x ^{2}}  = \frac{\sqrt{3}}{3 + 3\sqrt{3}x}    

\frac{1}{ 3 (1 -\sqrt{3}x)} +\frac{2\sqrt{3}}{(1 -\sqrt{3}x)(1 +\sqrt{3}x)}  = \frac{\sqrt{3}}{3(1 + \sqrt{3}x)}

    
\frac{1 +\sqrt{3}x+3(2\sqrt{3})}{3(1 -\sqrt{3}x)(1 +\sqrt{3}x)}= \frac{\sqrt{3}(1 -\sqrt{3}x)}{3(1 + \sqrt{3}x)(1 -\sqrt{3}x)}

C.E. 1 - \sqrt{3}x ≠ 0  ⇒ x ≠\frac{1}{\sqrt{3}} ⇒ x ≠ \frac{\sqrt{3}}{3}

1 + \sqrt{3}x≠ 0⇒ x ≠ –\frac{1}{\sqrt{3}}⇒ x ≠ – \frac{\sqrt{3}}{3}

    
1 +\sqrt{3}x+3(2\sqrt{3})= \sqrt{3}(1 -\sqrt{3}x)

    
1 +\sqrt{3}x+6\sqrt{3}= \sqrt{3} -3x

    
\sqrt{3}x+ 3x = \sqrt{3} -1   -6\sqrt{3}

    
x(\sqrt{3}+ 3) =-1   -5\sqrt{3}

x =     
\frac{-1   -5\sqrt{3}}{\sqrt{3}+ 3} =     
\frac{-1   -5\sqrt{3}}{\sqrt{3}+ 3}•     
\frac{\sqrt{3}- 3}{\sqrt{3}- 3}

x =     
\frac{-\sqrt{3}+ 3-15+15 \sqrt{3}}{3 - 9} =     
\frac{14\sqrt{3}-12 }{-6} =     
\frac{2(7\sqrt{3}-6) }{-6}

x =     
-\frac{7\sqrt{3}-6 }{3} =     
\frac{-7\sqrt{3}+6 }{3}   questa soluzione è accettabile perchè è diversa da +\frac{\sqrt{3}}{3} e – \frac{\sqrt{3}}{3}

8) \frac{5x - \sqrt{2}}{5x+\sqrt{2}} - \frac{5x + \sqrt{2}}{5x-\sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2}- 9x)}{25x ^{2}-2}           

\frac{5x - \sqrt{2}}{5x + \sqrt{2}} - \frac{5x + \sqrt{2}}{5x - \sqrt{2}} = \frac{4 -18\sqrt{2}x}{(5x - \sqrt{2})(5x - \sqrt{2})}

\frac{(5x - \sqrt{2})(5x - \sqrt{2})-(5x + \sqrt{2})(5x + \sqrt{2})}{(5x + \sqrt{2})(5x - \sqrt{2})}  = \frac{4 -18\sqrt{2}x}{(5x - \sqrt{2})(5x - \sqrt{2})}

\frac{(25x ^{2}+2  - 10\sqrt{2}x)-(25x ^{2}+2  + 10\sqrt{2}x)}{(5x + \sqrt{2})(5x - \sqrt{2})}  = \frac{4 -18\sqrt{2}x}{(5x - \sqrt{2})(5x - \sqrt{2})}

C.E.

5x – \sqrt{2} ≠0 ⇒   x  ≠ \frac{\sqrt{2}}{5}

5x + \sqrt{2} ≠0 ⇒   x  ≠ –  \frac{\sqrt{2}}{5}


25x ^{2}+2  - 10\sqrt{2}x-25x ^{2}-2  - 10\sqrt{2}x = 4 -18\sqrt{2}x


25x ^{2} -25x ^{2}  - 10\sqrt{2}x - 10\sqrt{2}x +18\sqrt{2}x  = 4 -2+2

-2\sqrt{2}x= 4

x = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}}

x =  \frac{-2}{\sqrt{2}}  • \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}

x = -\sqrt{2}  La soluzione è accettabile perchè diversa da ± \frac{\sqrt{2}}{5}

9) x(x + 1) + 1 + \sqrt{2} > x² + \sqrt{2} (x + 1)

  +x + 1 + \sqrt{2} > \sqrt{2} x +\sqrt{2} 

x + 1 >\sqrt{2}  x

x –  \sqrt{2} x > – 1    ⇒ x(1 – \sqrt{2} )> -1

x < \frac{-1}{1-\sqrt{2}}  quindi x < \frac{-1}{1-\sqrt{2}} • \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}

x < -\frac{1+\sqrt{2}}{-1}

x < 1+\sqrt{2}

10) (3\sqrt{3} + 2\sqrt{2})(x + \sqrt{3}) – (x + 4\sqrt{2})(\sqrt{3} + 2\sqrt{2}) < – 7

3\sqrt{3}x + 9 + 2\sqrt{2}x + 2\sqrt{6 }- (\sqrt{3}x + 2 \sqrt{2}x + 4 \sqrt{6} + 16) < -7

3\sqrt{3}x + 9 + 2\sqrt{2}x + 2\sqrt{6 }- \sqrt{3}x - 2 \sqrt{2}x - 4 \sqrt{6} - 16 < -7


3\sqrt{3}x + 2\sqrt{2}x - \sqrt{3}x- 2 \sqrt{2}x < -7 -9 -2\sqrt{6}+4\sqrt{6}+16

2\sqrt{3}x < 2\sqrt{6}

x  < \frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}  ⇒ x <\frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}  ⇒  x <\sqrt{2}

11) \frac{x - \sqrt{7}}{2\sqrt{7}} - \frac{2x - 3\sqrt{7}}{4\sqrt{7}}+ \frac{5x - \sqrt{7}}{3\sqrt{7}} > \frac{7x + 12\sqrt{7}}{12\sqrt{7}}     

\frac{x - \sqrt{7}}{2\sqrt{7}} - \frac{2x - 3\sqrt{7}}{4\sqrt{7}}+ \frac{5x - \sqrt{7}}{3\sqrt{7}} - \frac{7x-12\sqrt{7}}{12\sqrt{7}}     > 0

\frac{6(x -\sqrt{7})- 3(2x-3\sqrt{7})+4(5x-\sqrt{7})-7x-12\sqrt{7}}{12\sqrt{7}}     > 0

6x -6\sqrt{7}- 6x+9\sqrt{7}+20x-4\sqrt{7}-7x-12\sqrt{7} > 0

6x – 6x + 20x – 7x > 
12\sqrt{7}+6\sqrt{7}-9\sqrt{7}+4\sqrt{7}

13x > 13\sqrt{7}  ⇒ x  > \frac{13\sqrt{7}}{13}

x > \sqrt{7}

13

sistema-con-radicali

sistema-con-radicali

 

x = 2\sqrt{5};  y= -\sqrt{10}

sistema-con-radicali

sistema-con-radicali

risultato:x = 3 ;   y= 2\sqrt{3}

Vedi programma di matematica secondo superiore

Esercizi sulle equazioni e disequazioni con valore assoluto

Esercizi sulle equazioni e disequazioni con valore assoluto

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

2| x | – 1 = 5

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 1 + x| = 5

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

|x | – 6 = 1 + 5x

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

1 – x + |1 – x| = 0

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 3x + 2| – 1 = 2x + 5

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|3x – 6 | -1 >2(x + 2) – x – 2

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|1 – x| <6

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

2(\frac{1}{3} – |x|) <4x – 1

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|\frac{4}{3} x – \frac{1}{4}| > – \frac{13}{12} + \frac{x}{4}

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

2| x | – 1 = 5

Essendoci il valore assoluto bisogna analizzare il segno. Consideriamo il sistema per x≥0 e x<0

valore-assoluto

 

Per x≥0, x = 3 è una soluzione accettabile  perchè appunto è più grande di 0.

Per x<0 , x = – 3 è una soluzione accettabile  perchè appunto è minore di 0.

L’equazione quindi avrà due soluzioni x=3 e x= -3.

Esercizio n° 2

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 1 + x| = 5

Essendoci il valore assoluto bisogna analizzare il segno. Consideriamo il sistema per 1+x≥0 e 1+x<0

valore-assoluto-1

 

Per  x≥ -1, x= 0 è una soluzione accettabile  perchè appunto è più grande di -1

Per x < -1 x = -6 è una soluzione accettabile  perchè appunto è minore di -1.

L’equazione quindi avrà due soluzioni x=4 e x= -6.

Esercizio n° 3

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

|x | – 6 = 1 + 5x

valore-assoluto-3

 

Per x≥0, x = -\frac{7}{4} è una soluzione non accettabile  perchè non è maggiore di 0.

Per x<0 , x =  -\frac{7}{6} è una soluzione accettabile  perchè appunto è minore di 0.

L’equazione avrà come soluzione solo x= -\frac{7}{6}

Esercizio n° 4

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

1 – x + |1 – x| = 0

valore-assoluto-4

 

Per x≥1, x=1 è soluzione

L’equazione avrà come soluzione solo x=1

Esercizio n° 5

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.

| 3x + 2| – 1 = 2x + 5

valore-assoluto-5

Per x≥0, x= 4 è soluzione.

Per x<0, x = -\frac{8}{5} è soluzione

L’equazione avrà come soluzioni x=4 e x= -\frac{8}{5}

Esercizio n° 6

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|3x – 6 | -1 >2(x + 2) – x – 2

Si scriverà la disequazione in modo che la disequazione sia scritta in forma |A|>B.

|3x – 6 |>2x + 4 – x – 2 +1

|3x – 6 |>x + 3

Analizziamo il segno di 3x – 6 e avremo:

3x – 6 ≥0 ⇒ x ≥ \frac{6}{3} ⇒ x  ≥ 2

La disequazione si divide in due sistemi:

valore-assoluto-7

 

La disequazione ha per soluzioni:

x <\frac{3}{4} e x >\frac{9}{2}

 

Esercizio n° 7

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|1 – x| <6

valore-assoluto-8

 

La disequazione ha per soluzione -5 <x<7.

Esercizio n° 8

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

2(\frac{1}{3} – |x|) <4x – 1

\frac{2}{3} – 2|x|<4x – 1

– 2|x| <4x – 1 –\frac{2}{3} ⇒ -6|x| <12x -3 -2 ⇒ -6|x| <12x – 5

valore-assoluto-9

La disequazione ha per soluzione solo x > \frac{5}{18}

Esercizio n° 9

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto.

|\frac{4}{3} x – \frac{1}{4}| > – \frac{13}{12} + \frac{x}{4}

valore-assoluto-10

Esercizi sui sistemi di disequazioni

Esercizi sui sistemi di disequazioni

Esercizio n° 1

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-1

Esercizio n° 2

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-3

Esercizio n° 3

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-5

Esercizio n° 4

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-7

Esercizio n° 5

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-9

Esercizio n° 6

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-11

 

Esercizio n° 7

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-13

Svolgimento

Esercizio n° 1

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-1

3(1 – x) < 2x + 1 ⇒ 3 – 3x < 2x + 1 ⇒ -3x – 2x < 1 – 3 ⇒ -5x < -2  ⇒ 5x > 2⇒  x > \frac{2}{5}

2x – 6 > 5x – 2 ⇒  2x – 5x  > -2 + 6 ⇒ -3x > 4 ⇒  3x < – 4 ⇒ x < -\frac{4}{3}

Rappresentiamo su due rette le due disequazioni.

sistema-2

Non eseistono valori di x per cui le disequazioni sono verificate contemporaneamente quindi il sistema è impossibile.

Esercizio n° 2

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-3

x + 7 – 3x ≥ -x(x + 1) + x² – 3 – 2x ⇒ x + 7 – 3x  ≥ – – x + – 3 – 2x ⇒ x  – 3x  +x + 2x ≥ – 3 -7 ⇒ x ≥ – 10

2x + 3 < 7 ⇒ 2x  < 7  – 3 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2

sistema-4

Esercizio n° 3

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-5

2x – 3 < (x + 1)² – x (x-1) ⇒ 2x – 3 < x² + 2x + 1 – x² + x ⇒ 2x -x² – 2x +x²-x< 1  + 3 ⇒ – x < 4 ⇒ x > -4

x + 3 -2x ≥ 4  ⇒x – 2x ≥ 4 – 3 ⇒ -x   ≥ 1⇒ x ≤ – 1

sistema-6

Esercizio n° 4

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-7

(x -1 )² + 2x – 7 < 1 + x² ⇒ + 12x + 2x – 7 <  1 + x² ⇒  -7 <0  ∀ x ∈ R

7x + 1 < 7 + x(x -2 ) – x² + 9x  ⇒ 7x + 1 < 7 + – 2x – + 9x ⇒    7x +2x – 9x  < 7 – 1   ⇒0 < 6   ∀ x ∈ R

sistema-8

Esercizio n° 5

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

sistema-9

\frac{x-1}{2} – \frac{2x (x+1)}{3} < \frac{1 - 2x^{2}}{3} + 1 ⇒ \frac{3(x-1)-4x (x + 1)-2(1 - 2x^{2})-6}{6}  < 0 ⇒ 3x – 3 – 4x² – 4x – 2 + 4x² – 6 < 0 ⇒-x < +11 ⇒ x>-11

\frac{2}{3} (x – \frac{1}{4}) + \frac{1}{6} – (x – 1)(x + 1) ≤ 1 – x² ⇒ \frac{2}{3}x – \frac{1}{6} +  \frac{1}{6} – (x² – 1) ≤ 1 – x² ⇒  \frac{2}{3}x- + 1  ≤ 1 –  ⇒ \frac{2}{3}x ≤ 0 ⇒ x ≤ 0

sistema-10

Esercizio n° 6

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-11con a ≠0

5ax < 10a ⇒ \frac{5ax}{5a}  <  \frac{10a}{5a} dobbiamo considerare i  due casi (a>0 e a<o)poichè abbiamo diviso entrambe i membri per 5a

3x > 12 ⇒ x >4

sistema-12

Il sistema ammette soluzioni solo se a< 0 e  l’insieme delle soluzioni è dato da x> 4

Esercizio n° 7

Risolvi il seguente sistema di disequazionia coefficiente letterale.

sistema-13

3a (x+2) <2a(x+3) – a ⇒ 3ax + 6a < 2ax + 6a – a ⇒ 3ax  -2ax <6a – a  – 6a ⇒ ax  <-a ⇒ \frac{a}{a}\frac{}{}x <- \frac{a}{a}\frac{}{}

2(x + 3) > 6 – (2 – x) ⇒ 2x + 6 > 6 -2 +x   ⇒  2x -x > 6 – 2 – 6  ⇒ x> -2

sistema-14