Tag Archives: GEOMETRIA ANALITICA

Punti simmetrici

Punti simmetrici

Due punti si dicono simmetrici rispetto ad una retta se hanno uguale distanza dalla retta.

geometria analitica

punti simmetrici

Osserviamo la figura :

  • A (2, 3) e A’ (-2, 3) hanno ascisse opposte e ordinate uguali: sono simmetrici rispetto all’asse y.
  • A (2, 3) e B’ (-2,-3) hanno ascisse e ordinate opposte: sono simmetrici rispetto all’origine O degli assi.
  • A (2, 3) e B (2, -3) hanno ascissa uguale e ordinate opposte: sono simmetrici rispetto all’asse x.

Esercizio n° 1

Rappresenta in un piano cartesiano i simmetrici del segmento avente per estremi i punti A(-5 ; -6) e B(-1; -2).

 

SIMMETRICI

 

Esercizio n° 2

Costruisci i simmetrici del triangolo di vertici A (-5; +1), B(-2; +1), C(-7; +4)

SIMMETRIA 1

I triangoli simmetrici hanno per vertici i simmetrici dei vertici A,B e C, quindi:

a il triangolo A’B’C’ è il simmetrico rispetto all’asse x e i suoi vertici sono:

A’ (-5; -1), B’ (-2; -1) e C’ (-7; -4)

il triangolo A”B”C” è il simmetrico rispetto all’asse y e i suoi vertici somo:

A”(+5; +1), B” (+2; +1) e C”(+7; +4)

c il triangolo A”’B”’C”’ è il simmetrico rispetto all’origine e i suoi vertici sono:

A”’ (+5; -1), B”'(+2; -1) e C”'(+7; -4)

Rette perpendicolari tra loro

RETTE PERPENDICOLARI TRA LORO

Due rette perpendicolari sono caratterizzate dal fatto che, se una ha il coefficiente angolare m, l’altra ha come coefficiente angolare -\frac{1}{m} ovvero l’opposto del reciproco della prima.

Sono perpendicolari fra loro:

y=-3x+2   e    y=+\frac{1}3}x+4  perchè della prima retta m=-3 invece della seconda m =+\frac{1}3}

Possiamo allora dedurre che due rette che per coefficienti angolari hanno due numeri relativi opposti e reciproci sono perpendicolari.

Data la retta r: y = mx + q  e la retta s: y = m’x + q’

r⊥s se e solo se: m = – \frac{1}{m}, oppure m · m’= -1

Esercizio

Rappresenta in un  sistema di assi cartesiani la retta di equazione y = +3x -5 e disegna la retta a essa perpendicolare e passante per il punto P (0; +3). Qual è la sua equazione?

La retta y = +3x -5  ha coefficiente angolare m = +3 e quindi la retta ad essa perpendicolare avrà coefficiente angolare uguale a -\frac{1}{m} quindi: m’ = -\frac{1}{3}

Visto che la seconda retta dovrà passare per il punto P, sostituiamo tutti i dati conosciuti nell’equazione y = m’x + q.

+3 = -\frac{1}{3}(0) + q  ⇒ q = +3

L’equazione della seconda retta sarà: y = -\frac{1}{3} x + 3

La tabella dei valori per y = +3x -5  sarà:

x +1 0 -1
y -2 -5 -6

Quindi la retta  passera per i punti A (+1; -2), B (0; -5), C (-1; -6).

La tabella dei valori per y = -\frac{1}{3} x + 3 sarà:

x -3 0 +3
y +4 +3 +2

Quindi la retta  passera per i punti D( -3 ; +4), E (0 ; +3), F (+3 ; +2)

1016

Il punto medio

 PUNTO  MEDIO 

Il punto medio M del segmento AB , è quel punto che divide AB in due parti uguali , quindi le coordinate del punto medio M si trovano con la formula della media aritmetica;

l’ascissa del punto medio è data dalla semisomma delle ascisse degli estremi A e B; l’ordinata del punto medio si otterrà come semisomma dell’ordinata degli estremi AB.

geometria analitica

il punto medio

geometria analitica

regola del punto medio

ESEMPIO

Determinare le coordinate del punto medio M del segmento PQ in cui: P(3,2) e Q(5,8).

Si ha:

X_{{M}}=(x_{a}}+x_{{b}}) /2  ⇒X_{{M}}=\frac{-2+1}{2}=-\frac{1}{2}

Y_{M}=(y_{a}}+y_{{b}}) /2⇒ Y_{{M}}=\frac{1+(-3)}{2}=\frac{-2}{2}=-1

Il punto medio di CD è il punto M(-\frac{1}{2},-1).

Esercizio n° 1

Determina la lunghezza e le coordinate del punto medio di un segmento parallelo all’asse x.

SIMMETRIA 2

 

Esercizio n° 2

Determina la lunghezza e le coordinate del punto medio di un segmento parallelo all’asse y.

SIMMETRIA 3

Esercizio n° 3

Determina la lunghezza di un segmento AB non parallelo agli assi e le coordinate del suo punto medio.

PUNTO MEDIO

 

 

Rette parallele all’asse y

RETTE PARELLELE ALL’ASSE Y

Le rette parallele all’asse y sono caratterizzate dall’avere tutti i punti con coordinate del tipo (0;y) doveè una costante, che indica la posizione della retta rispetto all’asse y, mentre y varia nell’insieme dei numeri reali.

Questo significa che, se due punti hanno la stessa ascissa a, allora appartengono a una stessa retta parallela all’asse delle ordinate.

ESEMPIO

  • Consideriamo una retta s parallela all’asse y che incontra l’asse x nel punto Q di ascissa +3. Poichè tutti i punti di s hanno uguale distanza dall’asse y, cioè hanno l’ascissa x=+3, diciamo che x=3 è l’equazione della retta parallela all’asse y.
RETTE PARALLELE ALL'ASSE Y

retta parallela all’asse y

 

  • Se consideriamo una retta s che coincide con l’asse y, la sua distanza dall’asse y è d=0 e la sua equazione x=0.
  • Se consideriamo una retta t parallela all’asase y la sua distanza dall’asse y è d= \left \| -3  \right \|= 3u e la sua equazione è x= -3
rette parallele all'asse y

distanza di una retta dall’asse y

L’equazione di una retta parallela all’asse delle y è del tipi x = k dove k indica l’ascissa di tutti i punti della retta:

  • se k > 0 la retta giace nel I e nel IV quadrante;
  • se k < 0 la retta giace ne II e nel II quadrante;
  • se k = 0 la retta coincide con l’asse y e x = 0 è l’equazione dell’asse y.

Esercizio 

Con riferimento alla figura, esegui quanto indicato.

1014

a) Scrivi le coordinate di tre punti A, B, C, appartenenti alla retta r e aventi le ordinate rispettivamente uguali a – 7, -1 +5.

Tutti i punti della retta r hanno l’ascissa uguale a +3, quindi i punti sono:

A (+3; -7), B (+3; -1), C (+3; +5)

b) Scrivi l’equazione della retta r. L’equazione della retta r è : x = +3

c) Indica i quadranti su cui giace la retta r.

La retta r giace sul I e IV quadrante

d) Indica la distanza tra la retta r e l’asse y.

La distanza è : d= \left \|  +3| = 3u

I poligoni nel piano cartesiano

Un poligono può essere rappresentato nel piano cartesiano mediante le coordinate dei suoi vertici insieme nell’ordine in cui devono essere uniti.

TRIANGOLO RETTANGOLO

triangolo rettangolo nel piano cartesiano

triangolo rettangolo nel piano cartesiano

Siamo anche in grado di calcolare il perimetro del triangolo ABC.

AB=\left \| Y_{{A}}-Y_{{B}} \right \|=\left \| 3-(-1) \right \|=\left \| 3+1 \right \|=4.

BC=\left \| X_{{B}}-X_{{C}} \right \|=\left \| -1-2 \right \|=\left \| -3 \right \|=3.

AC= \left \| \sqrt{(-1-2) ^{2}+\left [  3-(-1)  ^{2}]}|= \left \| \sqrt{ 3^{2}+4 ^{2}} \right \| =\left \| \sqrt{9+16} \right \|=\sqrt{25}=5.

Il perimetro sarà AB+BC+AC= 4+3+5=12.

TRIANGOLO ISOSCELE

Calcolando la lunghezza dei lati di un triangolo è possibile stabilire se è isoscele,  scaleno o equilatero.

Verifichiamo, che il triangolo ABC di vertici A(7,-5);  B(2,7);  C(-3,-5) è isoscele, ma non equilatero.

Calcoliamo la lunghezza dei lati:

AB=\left \| \sqrt{\left  (7-2)    ^{2}+ (-5-7)   ^{2}} |= \left \| \sqrt{5 ^{2}+(-12) ^{2}} \right \|=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 ;

BC=\left \| \sqrt{\left [  2-(-3) ] ^{2}+\left [  7-(-5)  ^{2}]}|= \left \| \sqrt{ 5^{2}+12 ^{2}} \right \|\sqrt{25+144}\left \| \sqrt{169} \right \|=13.

I lati AB e BC del triangolo hanno la stessa misura e il triangolo è isoscele.

Per vedere se è anche equilatero calcoliamo la misura dell’ultimo lato.

AC= \left \| X_{{A}}-X_{{C}} \right \|= \left \| 7-(-3) \right \|= \left \| 7+3\right \|= 10

La misura di AC è diversa da quella degli altri due lati; quindi il triangolo non è equilatero.

triangolo isoscele

triangolo isoscele nel piano cartesiano

TRAPEZIO

Possiamo anche riconoscere, per esempio un trapezio.

Consideriamo il quadrilatero con vertice nei punti: A(2,3); B(-1,3); C(-2,-1); D(3.5, -1).

trapezio

trapezio nel piano cartesiano

RETTANGOLO

Consideriamo il quadrilatero di vertici: A(4,3); B(-2,3); C(-2,-1); (4,-1).

rettangolo

rettangolo nel piano cartesiano

Il quadrilatero ABCD è quindi un rettangolo.

PARALLELOGRAMMA

Esaminiamo il quadrilatero avente per vertici i punti: A(2,1); B(-2,1); C(-5,-3); D(-1,-3).

parallelogramma

parallelogramma nel piano cartesiano

Calcoliamo le distanze AB e CD:

AB= \left \| 2-(-2)\right \|= \left \| 2+2\right \|= 4;

CD= \left \| -5-(-1)\right \|= \left \| -5+1\right \|= 4;

Quindi AB e CD sono uguali e paralleli, allora i lati BC e AD, che congiungono gli estremi di due segmenti uguali e paralleli, sono a loro volta congruenti e paralleli.

Il poligono è un parallelogramma infatti se facciamo la prova e calcoliamo i lati obliqui vediamo che sono uguali:

BC= \left \| \sqrt{[-2-(-5)] ^{2}+\left [  1-(-3) ] ^{2}}|= \left \| \sqrt{ 3^{2}+4 ^{2}} \right \|\left \| \sqrt{9+16} \right \|=\sqrt{25}=5;

AD=\left \| \sqrt{[2-(-1)] ^{2}+\left [  1-(-3) ] ^{2}}|=\left \| \sqrt{ 3^{2}+4 ^{2}} \right \|\left \| \sqrt{9+16} \right \|=\sqrt{25}=5.

Problema n° 1

Verifica per ciascun triangolo  che è rettangolo e calcolane l’area.

a) Triangolo i cui vertici sono A(- 3 ; -1), B(+5 ; -1), C(-3; +4).

La rappresentazione sul piano cartesiano è:

 

1001

problema poligono nel piano cartesiano

 

I vertici A e B hanno la stessa ordinata, quindi il lato AB è parallelo all’asse x.

I vertici A e C hanno la stessa ascissa, quindi il lato CA è parallelo all’asse y.

I lati AB e CA sono perpendicolari, per cui il triangolo ABC è rettangolo: AB e CA sono i cateti, BC è l’ipotenusa.

Svolgimento

L’area si ottiene applicando la formula : A = \frac{AB \cdot CA}2}{

AB = \left \| (-3)- (+5) \right \|= \left \| -3-5 \right \|=  \left \|-8| = 8u

CA = \left \|(+4)- (-1)|= \left \|  +4+1|=\left \|  +5| = 5u

quindi:     A = \frac{8 \cdot5}2}{} u² = 20 u²

b)  Triangolo i cui vertici sono A(-1; -2), b (+9; -2), C(+7; +2).

La rappresentazione sul piano cartesiano è:

1002

problema poligono nel piano cartesiano

Non essendoci due lati paralleli agli assi, si calcolano le lunghezze dei lati e si verifica se formano una terna pitagorica. Si ottiene:

AB = \left \| (-1)-(+9)|= \left \| -1-9|= \left \| -10|= 10 u

BC = \sqrt{\left [ (+9)- (+7) \right ] ^{2} + \left [ (-2)- (+2) \right ] ^{2}} = \sqrt{\left  (+9-7) \ ^{2} +  (-2-2)  ^{2}} = \sqrt{\left  (+2) \ ^{2} +  (-4)  ^{2}} =

\sqrt{4 + 16} =  \sqrt{20}u

CA = \sqrt{\left [ (+7)- (-1) \right ] ^{2} + \left [ (+2)- (-2) \right ] ^{2}} = \sqrt{\left  (+7+1) \ ^{2} +  (+2+2)  ^{2}} = \sqrt{\left  (+8) \ ^{2} +  (+4)  ^{2}} =

\sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}u

I quadrati delle lunghezze dei lati sono AB² = 100 u²;   BC² = 20 u²;    CA = 80 u²

100 u² = (20 + 80) u², cioè AB² = BC² + CA²

Il triangolo è rettangolo: AB è l’ipotenusa, mentre BC e CA sono i cateti, quindi A= \frac{BC \cdot CA}2}{, per cui:

A = \frac{\sqrt{20}\cdot \sqrt{80}}{2} u² = \frac{\sqrt{1600}}{2}u² = \frac{40}{2} = 20 u²

 

Problema  n° 2

Verifica che il triangolo di vertici A(+4; 0), B(0; +3), C(+1; -4) è isoscele.

La rappresentazione sul piano cartesiano è:

1003

problema poligono nel piano cartesiano

Le lunghezze dei lati sono:

AB = \sqrt{\left [ (+4)- 0 \right ] ^{2} + \left [ 0- (+3) \right ] ^{2}} = \sqrt{\left  (4) \ ^{2} +  (-3)  ^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 u

BC = \sqrt{\left [ 0-(+1) \right ] ^{2} + \left [ (+3)- (-4) \right ] ^{2}} = \sqrt{( -1)  ^{2} +   (+3+4) ^{2}} = \sqrt{  (-1) \ ^{2} +  (+7)  ^{2}} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50 }u

CA = \sqrt{\left [ (+1)-(+4) \right ] ^{2} + \left [ (-4)- 0 \right ] ^{2}} = \sqrt{    (+1-4) ^{2}+( -4)  ^{2}} = \sqrt{  (-3) \ ^{2} +  (-4)  ^{2}} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5u

AB = CA = 5 u quindi il triangolo è isoscele.

 

 Problema n° 3

Calcola l’area di un triangolo avente uno dei lati parallelo a un asse.

1004

problema poligono nel piano cartesiano

Il lato AB è parallelo all’asse x.

Assumendo AB come base, l’altezza relativa è CH, com H (-1; -2)

La lunghezza della base è:

AB = \left \|  (-3)-(+4)| = \left \|  -3-4|=\left \|  -7| = 7u

La lunghezza dell’altezza è:

CH = \left \|  (+2)-(-2)| = \left \|  +2+2|=\left \| +4| = 4u

A = \frac{7 \cdot 4}2}{ u² = 14 u²

Problema n° 4

Riconosci la figura rappresentata sul piano cartesiano e calcolane il perimetro e l’area.

1005

problema poligono nel piano cartesiano

AB = \left \|  (-7)-(+5)| = \left \| -12|= 12 u

BC = \sqrt{\left [ (+2)- (+5) \right ] ^{2} + \left [ (+1)- (-3) \right ] ^{2}} = \sqrt{\left  (-3) \ ^{2} +  (+4)  ^{2}} = \sqrt{9+16} =   \sqrt{25}= 5u

CD = \left \|  (+2)-(-4)| = \left \| +6|= 6 u

DA = \sqrt{\left [ (-7)- (-4) \right ] ^{2} + \left [ (-3)- (+1) \right ] ^{2}} = \sqrt{\left  (-3) \ ^{2} +  (+4)  ^{2}} =  \sqrt{9+16} =   \sqrt{25}= 5u

I lati AB e CD, paralleli all’asse delle ascisse x, sono paralleli tra loro; i lati BC e DA sono congruenti.

Il quadrilatero ABCD è un trapezio isoscele, per cui:

2p = (12 + 5 + 6 + 5) u = 28 u

L’altezza CH ha per estremi i punti C (+2; +1) e H (+2; -3) quindi:

CH = \left \|  (+1)-(-3)| = \left \| +4|= 4 u

A= (\frac{12+6}{2}\cdot4) u² = 36 u²

Problema n° 5

Rappresenta in un piano cartesiano la circonferenza di centro C (+3; +2), passante per ilo punto A(+5; -1) e calcola l’area del cerchio.

Per disegnare la circonferenza con un compasso si fa centro in C e con apertura CA si traccia la circonferenza. La rappresentazione è:

1006

problema poligono nel piano cartesiano

La misura del raggio è:

CA = \sqrt{\left [ (+3)- (+5) \right ] ^{2} + \left [ (+2)- (-1) \right ] ^{2}} = \sqrt{\left  (+3-5) \ ^{2} +  (+2+1)  ^{2}} =

=\sqrt{\left  (-2) \ ^{2} +  (+3)  ^{2}} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}u

quindi l’area del cerchio è:

A = π · (\sqrt{13}) ^{2} u² = 13π u²

Le coordinate cartesiane

Se vogliamo determinare, sul piano, la posizione di un punto, rappresentato ad esempio, dalla coppia ordinata(+3,+2) dobbiamo tracciare due assi cartesiani perpendicolari x ed y che si incontrano nel punto O, fissare una unità di misura e determinare sull’asse delle x il punto A tale che OA=3u e sull’asse y il punto B tale che sia OB= 2u  e per i punti A e B condurre le perpendicolari agli assi. L’intersezione P è il punto richiesto.

COORDINATE CARTESIANE 1

I numeri +3 e +2 si dicono rispettivamente ascissa e ordinata del punto P ed entrambi si dicono coordinate di P

L’origine O degli assi ha l’ascissa 0 e l’ordinata 0. Esso si indica perciò con il simbolo O(0,0).

Esercizio

Rappresenta i punti in un piano cartesiano.

A (+2 ; +4) , B (- 3 ; -5), C (+ 1; – 6) , D (- 4; + 2), E ( -4 ; 0), F (0; – 2)

esercizio sulle coordinate

 

 Vedi esercizi dei poligoni nel piano cartesiano

 

 

Punti dell’asse x e dell’asse y

L’asse x è caratterizzato dall’avere tutti i punti con coordinate del tipo (x;o) dove x è un numero reale qualsiasi.

L’asse y è caratterizzato dall’avere tutti i punti con coordinate del tipo (0;y) dove y è un numero reale qualsiasi. L’origine O appartiene a entrambi gli assi x e y e ha coordinate (0;0)

Possiamo anche dire che l’asse x è costituito da tutti i punti di ordinate 0 e l’asse y da tutti i punti di ascissa 0.

x y

Distanza di un punto dall’origine

Se uno dei due estremi coincide con l’origine O(0,0), le cui coordinate sono entrambe uguali a 0, allora la formula della distanza tra due punti  si semplifica.

AO=|\sqrt{(x_{{a}}-0) ^{2}+(y_{{a}}-0)}²|= | \sqrt{(x_{{a}}) ^{2}+(y_{{a}}) ^{2}}|.

La distanza di un punto dall’origine è data dal valore assoluto della radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.

ESEMPIO

Calcolare la distanza del punto P(4,3) dall’origine O:

OP= \sqrt{4 ^{2}+3 ^{2}}\sqrt{16+9} =\sqrt{25}=5

distanza di un punto dall'origine

L’equazione della retta

Un retta che non passa per l’origine avrà equazione y=mx+q dove m è il coefficiente angolare  e q è il termine noto ed è l’ordinata del punto d’intersezione della retta con l’asse delle y.

Se q=0 la retta passa per l’origine degli assi.

Per disegnare una retta non passante per l’origine, poichè per due punti passa una sola retta, si possono trovare le coordinate solo dei due punti.

Ad esempio volendo disegnare la retta di equazione y=\frac{2}{3} x -2 si fa uno schemino e si attribuiscono ad x dei valori a cui corrisponderanno determinati valori di y.

equaZIONE RETTA

Avremo cioè i punti A(o,-2); B(+3,0) ed il diagramma sarà la retta AB.

Esercizio n 1

Costruisci la tabella dei valori per ciascuna funzione matematica.

a) y = \frac{3}{2} x – 2

Per costruire la tabella dei valori si attribuiscono alla variabile x alcuni valori e si calcolano i corrispondenti valori della y.

x y
-2 -5
0 -2
+2 +1
+4 +4

Per x = -2 si ottiene:   y = \frac{3}{2} · (-2) -2 = – 3 – 2= -5

Per x = 0                      y =  \frac{3}{2} · 0 – 2 = – 2

Per x = +2                    y =  \frac{3}{2} · (+2) – 2 = 3 – 2 = +1

Per x = + 4                  y =  \frac{3}{2} · ( +4) – 2 = 6 – 2 = + 4

b) y = 3 – x²

x y
-2 -1
-1 +2
0 +3
+1 +2
+3 -6

Per x = -2            y = 3 – (-2)² = 3 – 4 = -1

Per x = -1            y = 3 – (-1)² = 3 – 1 = +2

Per x = 0             y = 3 – (0)² = +3

Per x = +1          y = 3 – (+1)² = 3 – 1 = +2

Per x = +3         y = 3 – (+3)² = 3 – 9 = – 6

Esercizio n° 2

Disegna il grafico e riconosci le caratteristiche della funzione y = -2x -4, evidanziando quali sono le coordinate del punto di intersezione con l’asse y.

1011

La tabella dei valori è:

x -2 -1 0 +1 +2
y 0 -2 -4 -6 -8

La funzione è una retta non passante per l’origine, con equazione tipo: y = mx + q.

Il suo coefficienbte angolare è:

m = -2   quindi è il coefficiente di x

La retta interseca l’asse y nel punto C (0; -4), l’ordinata di tale punto coincide con il termine noto dell’equazione:    q=- 4                è l’ordinata  del punto d’intersezione con l’asse y

Esercizio n° 3

Stabilisci, semza ricorrere alla rappresentazione grafica, quale tra i due punti A(-2; +3) e B (-1; +4) appartiene alla retta y= -3x + 1.

Sostituendo le coordinate del punto A nell’equazione della retta si ottiene:

+3 = -3(-2) +1               +3 = +6 +1                  +3 = +7

L’uguaglianza non è vera, pertanto il punto A non appartiene alla retta.

Sostituendo le coordinate del punto B si ottiene:

+4 = -3(-1) +1                  +4 = +3 +1              +4 = +4

L’uguaglianza è vera, quindi il punto B appartiene alla retta.

Grafico di una funzione

La rappresentazione grafica dei punti mediante le coordinate cartesiane ha una notevole importanza. Infatti, mediante tali coordinate possiamo rappresentare graficamente le funzioni.

ESEMPIO:

Consideriamo la funzione y=2x+1, in cui x è la variabile indipendente. Se diamo ad x successivamente dei valori scelti a piacere vediamo che si determinano i corrispondenti valori di y.

prova

Tracciamo un sistema di assi cartesiani e riportiamo i valori trovati in tabella e cioè A(0,1); B(+1,+3); C(+2,+5);…. D(-1,-1); E(-2,-3); F(-3,-5); quindi ad ogni coppia di ascissa e ordinata corrisponde un punto, dove l’ascissa si trova nella prima colonna e l’ordinata nella seconda.

FUNZIONE ALGEBRICA

Tutti questi punti sono legati dalla relazione y=2x+1 che si dice grafico della funzione