Divisione fra due polinomi

 

Divisione esatta fra due polinomi

Un polinomio A è divisibile per un polinomio B se esiste un terzo polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come prodotto A.

Possiamo scrivere A:B   se e solo se B·Q=A

A è il dividendo, B è il divisore, Q è il quoziente.

Il polinomio:

A=  2x^{7}+ x^{5}- 6x^{3}+ 8x^{2}-3x + 4

è divisibile per il polinomio B=2x²+1

Infatti esiste il polinomio:

Q = x^{5}-3x + 4 tale che:

(2x² + 1)(x^{5}-3x + 4)=  2x^{7}+ x^{5}- 6x^{3}+ 8x^{2}-3x + 4

Il grado del polinomio quoziente

Il grado del polinomio prodotto è la somma dei gradi dei polinomi fattori: dunque, poichè B·Q=A, se A è di grado n e B è di grado p, il grado di Q deve essere n – p.

Se prendiamo l’esempio:  2x^{7}+ x^{5}- 6x^{3}+ 8x^{2}-3x + 4, il divisore è 2x²+1; il grado di A è 7, il grado di B è 2, il grado del polinomio quoziente Q è 5, cioè 7-2.

Divisione con resto fra due polinomi

Possiamo eseguire la divisione fra polinomi anche se uno non è divisibile per l’altro.

Dati due polinomi A e B nella variabile x, col grado di B minore o uguale al grado di A, si può dimostrare che è sempre possibile ottenere due polinomi Q e R tali che:

A = B ·Q + R,  dove Q è polinomio quoziente e R il polinomio resto.

Il grado  di Q è la differenza fra il grado di A e il grado di B; il grado di R è minore del grado B.

Nel caso particolare in cui R=0, si ha A=B·Q, ossia A è divisibile per B.

Per esempio:

A= 13x² + 6x³ + 6 + 5x

B= 2 – x+ 3x²

 
 

Per svolgere la divisione bisogna mettere in ordine secondo le potenze decrescenti della variabile:

( 6x³ + 13x² +  5x + 6):( 3x²- x + 2)

divisione-tra-polinomi
divisione tra polinomi con il resto

Per verificare se il risultato è giusto moltiplichiamo il quoziente (2x+5) per il divisore ( 3x²- x + 2) a cui ci aggiungiamo il resto (6x-4)

(2x+5)( 3x²- x + 2) + (6x-4)= 6x³ + 13x² +  5x + 6

Vedi gli esercizi

 

Programma matematica primo superiore

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